2021全国甲卷全国一卷理科数学

这是一份2021全国甲卷全国一卷理科数学，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合，则（ ）

2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
该地农户家庭年收入低于万元的农户比率估计为
该地农户家庭年收入不低于万元的农户比率估计为
估计该地农户家庭年收入的平均值不超过万元
估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于万元至万元之间
3.已知，则（ ）

4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足，已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为（）（ ）

5.已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）

6.在一个正方体中，过顶点的三条棱的中点分别为，该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是（ ）

7.等比数列的公比为，前项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
甲是乙的充分条件但不是必要条件 甲是乙的必要条件但不是充分条件
甲是乙的充要条件 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为（单位：），三角高程测量法是珠穆高峰测量法之一，右图是三角高程测量法的一个示意图，现有三点，且在同一水平面上的投影满足，，由点测得点的仰角为，与的差为，由点测得点的仰角为，则两点到水平面的高度差约为（）（ ）

9.若，，则（ ）

10.将个和个随机排成一行，则个不相邻的概率为（ ）

11.已知是半径为的球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
12.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.曲线在点处的切线方程为 .
14.已知向量，若，则 .
15.已知为椭圆的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两
点，且，则四边形的面积为 .
16.已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数为 .
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
17.（12分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：，
18.（12分）已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ① = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ② = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①数列是等差数列； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②数列是等差数列； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
19.（12分）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，分别为和的中点，为棱上的点，.
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？
20.（12分）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于两点，且，已知点，且⊙与相切.（1）求，⊙的方程；
（2）设是上的三个点，直线，均与⊙相切，判断直线与⊙的位置关系，并说明理由.
21.（12分）已知且，函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第一题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）将的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点的直角坐标为，为上的动点，点满足，写出的轨迹的参数方程，并判断与是否有公共点.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）画出和的图像；
（2）若，求的取值范围.
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400