信息必刷卷01（甲卷理科）-高考数学考前信息必刷卷（全国甲卷地区专用）

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绝密★启用前
高考数学考前信息必刷卷01
全国甲卷地区专用
理科数学

全国甲卷的使用将接近于尾声，往后会是新高考的题型。
全国甲卷的题型会相对稳定，考试题型为12（单选题）＋4（填空题）＋6（解答题），其中结构不良型试题是对接新高考地区新增加的题型，主要涉及解三角形与数列两大模块，以解答题的方式进行考查。
2023年的对于三视图的考察也将近有尾声，留意的是三视图的组合体与表面积、体积计算相结合。还有立体几何中对圆锥的考察（侧面积的计算也会成一个热点）。
其他的题目难度变化不大，但侧重于考察学生运算能力与分析能力。

2022年全国甲卷地区解答题中，虽也有结构不良型方式考查数列与解三角形这两大知识模块。因此，预测2023年新高考地区将以结构不良型方式考查数列与解三角形这两大知识模块中的一个，出现在17题的可能性较大，难度中等偏下，例如本卷第17题。
同时应特别注意以数学文化为背景的新情景问题，此类试题蕴含浓厚的数学文化气息，将数学知识、方法等融为一体，注意归纳题目意思。对于数学文化的知识会结合数列及对数（指数）函数知识进行考察，难度不大，但计算能力为考察重点（如第7题）。当然对于有能力的学生应该多阅读《九章算术》，这是个建议。
对于函数知识的考察也将会是一个重点：图像、性质、导数、构造函数等，也是考察的热点题型。
对于大题中概率统计的考察会侧向与卡方分布（但也要留意分布列）。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知复数满足(其中为虚数单位)，则（    ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘法运算化简求得，然后利用复数模的公式计算．
【详解】因为，
所以.
故选：.
2．已知集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解不等式得到集合，根据函数的值域得到集合，然后求交集即可.
【详解】，，则.
故选：B.
3．某单位职工参加某APP推出的“二十大知识问答竞赛”活动，参与者每人每天可以作答三次，每次作答20题，每题答对得5分，答错得0分，该单位从职工中随机抽取了10位，他们一天中三次作答的得分情况如图：

根据图，估计该单位职工答题情况，则下列说法正确的是（    ）
A．该单位职工一天中各次作答的平均分保持一致
B．该单位职工一天中各次作答的正确率保持一致
C．该单位职工一天中第三次作答得分的极差小于第二次的极差
D．该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差
【答案】D
【分析】根据给出统计图数据，分别计算出三次作答的平均分、正确率、极差、标准差，即可作出判断．
【详解】由题可得，该单位抽取的10位员工三次作答的得分分别为：

1号员工
2号员工
3号员工
4号员工
5号员工
6号员工
7号员工
8号员工
9号员工
10号员工
第一次作答
65
80
85
80
90
90
90
85
90
90
第二次作答
80
85
90
90
95
90
95
90
95
95
第三次作答
85
90
95
95
100
100
100
95
100
100

对于A：第一次作答的平均分为：，
第二次作答的平均分：，
第三次作答的平均分：，
故该单位职工一天中各次作答的平均分不一致，故A错误；
对于B：第一次作答的正确率： ，
第二次作答的正确率： ，
第三次作答的正确率： ，
故该单位职工一天中各次作答的正确率不一致，故B错误；
对于C：该单位职工一天中第三次作答得分的极差：，
该单位职工一天中第二次作答得分的极差：，
故该单位职工一天中第三次作答得分的极差等于第二次的极差，故C错误；
对于D：该单位职工一天中第三次作答得分的标准差：，
该单位职工一天中第一次作答得分的标准差：
，
故该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差，故D正确，
故选：D．
4．棱锥的内切球半径，其中，分别为该棱锥的体积和表面积，如图为某三棱锥的三视图，若每个视图都是直角边长为的等腰直角形，则该三棱锥内切球半径为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三视图还原三棱锥，求得棱锥表面积和体积后，代入公式即可求得内切球半径.
【详解】由三视图可还原三棱锥如下图所示，
其中平面，，，
，
棱锥表面积，
该棱锥的内切球半径.
故选：C.
5．已知函数的大致图像如图所示，则函数的解析式应为(　　)

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题是选择题，可采用排除法，根据函数的不关于轴对称可排除选项D，再根据函数定义域是，排除选项A，利用极限思想可排除B，即可得到所求．
【详解】解：如图，因为函数定义域是，排除A选项，
当，，排除B，
因为，所以函数为偶函数，
根据函数图象不关于轴对称可知函数不是偶函数，故可排除选项D.
故选：C．
6．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案.
【详解】对求导得，
由得，则，即，
所以，
当且仅当时取等号．
故选：D．
7．我国古代数学典籍《九章算术》卷九“勾股”中有一测量问题：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何?这个问题体现了古代对直角三角形的研究，现有一竖立的木头柱子，高4米，绳索系在柱子上端，牵着绳索退行，当绳索与底面夹角为75°时绳索未用尽，再退行米绳索用尽（绳索与地面接触），则绳索长为（   ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】依题意画出图形，利用两角差的正切公式及锐角三角函数求出，最后利用勾股定理计算可得.
【详解】解：依题意可得如下图形：
则，，，所以，
所以
，
所以，所以，
所以绳索长为米.
故选：B
8．如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得出圆锥的母线，进而根据圆锥、圆台的轴截面，即可得出答案.
【详解】假设圆锥半径，母线为，则.设圆台上底面为，母线为，则.
由已知可得，，所以.
如图，作出圆锥、圆台的轴截面
则有，所以.
所以圆台的侧面积为.
故选：C.
9．如图，四棱锥的底面为矩形，底面，，，点是的中点，过，，三点的平面与平面的交线为，则下列结论中正确的有（    ）
（1）平面；
（2）平面；
（3）直线与所成角的余弦值为；
（4）平面截四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比为．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】对A，取的中点，连接，证明平面，即平面，可判断A；对B，若平面，则，结合，可判断B；对C， 根据，故判断C；对D，连接，分别求出两部分的体积即可判断D.
【详解】
对A，取的中点，连接，则，即，，，四点共面，即为，
因为，平面，平面，所以平面，即平面，故A正确；
对B：由，若平面．则必有，即四边形为平行四边形，则，因为，，所以矛盾，故B错误；
对C：与所成角，即与所成角，即与所成角，由底面得．则，故C正确；
对D：连接，由A知截面就是平面，下半部分分为四棱锥和三棱锥.
，，
由底面得，又，，平面，所以平面，即平面.
所以，即下半部分体积为.
所以上半部分体积与下半部分体积之比为，故D正确．
因此正确的结论有3个.
故选：C．
10．已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（    ）
A．-1 B．2 C．-3 D．4
【答案】B
【分析】对求导，由函数在处取极小值，所以，所以，，对求导，求单调区间及极大值，由的极大值为4，列方程得解.
【详解】解：，所以
因为函数在处取极小值，所以，所以，，，
令，得或，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，所以在处有极大值为，解得，所以.
故选：B
11．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，若离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知，结合椭圆的定义解得，再由求解.
【详解】因为，所以，
由椭圆的定义得：，解得，
因为，所以，
两边同除以a得，解得 ，
因为 ，所以，
所以该离心率的取值范围是
故选：D.
12．定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”.已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“凹函数”的定义得到，即在上恒成立，构造函数推得，再构造函数推得，从而得到，由此得解.
【详解】因为，所以，，
则，，
因为在区间上为“凹函数”，所以，
即在上恒成立，则在上恒成立，
当，即时，因为，，所以，
故显然成立，
当，即时，令，则在上恒成立，
又因为，所以在上单调递增，
所以，即，则在上恒成立，
令，则，
又，当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
所以，
综上：，即.
故选：D.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知空间中三点，则点A到直线的距离为__________．
【答案】
【分析】利用向量的模公式及向量的夹角公式，结合同角三角函数的平方关系及锐角三角函数的定义即可求解.
【详解】，
,
，
，
设点A到直线的距离为，则
.
故答案为：.
14．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.
【答案】.
【分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.
【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有种情况.
若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况，
若选出的2名学生都是女生，有种情况，
所以所求的概率为.
【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”.
15．已知双曲线（）的焦距为，右顶点为，抛物线的焦点为,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为___________.
【答案】
【详解】由已知，所以，把代入双曲线方程得，所以，直线被双曲线截得的线段长为，从而，所以，，所求渐近线方程为.
考点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系..

16．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第__________行中从左至右第14与第15个数的比为．

【答案】34
【分析】由杨辉三角形得出第行的第14和第15个数的表示形式，然后由它们的比值可求得．
【详解】设在第行满足题意，因此，解得．
故答案为：34.


三、 解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q，且，____________．
（1）求数列，的通项公式．
（2）记，求数列，的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】三个条件都可以填入求解，总体思想就是代入通过基本公式求出首项，公差，公比即可，（2）数列是一个等差乘以等比的式子求和，用错位相减法即可解决。
【详解】方案一：选条件①
（1）

解得或（舍去）




（2）







方案二：选条件②
（1）


解得或（舍去）




（2）







方案三：选条件③


解得或（舍去）





（2）







【点睛】此题考查等差等比数列综合应用，掌握乘公比错位相减求和的题型特点，属于较易题目。

年轻人
非年轻人
合计
健身达人



健身爱好者



合计



18．相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上.某市一健身连锁机构对其会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图1为会员年龄分布图（年龄为整数），图2为会员一个月内到健身房次数分布扇形图. 若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁—39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一个月内到健身房锻炼16次及以上的会员称为”健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有是“年轻人”.


(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本，根据图的数据，补全上方2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“健身达人”与年龄有关？
(2)将（1）中相应的频率作为概率，该健身连锁机构随机选取3名会员进行回访，设3名会员中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.
附：.

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

【分析】（1）根据题意完善列联表，进而可求值，并与临界值对比分析；
（2）根据题意结合二项分布求分布列和期望.
【详解】（1）根据年轻人标准结合图1可得年轻人占比为80%，则年轻人人数为10080%=80，非年轻人为20人，
根据图2表格得健身达人所占比60%，所以其人数为10060%=60，
根据其中年轻人占比，所以健身达人中年轻人人数为，非年轻人为10人；
健身爱好者人数为，再通过总共年轻人合计为80人，则健身爱好者中年轻人人数为，
根据非年轻人总共为20人，健身爱好者中非年轻人人数为，所以列联表为：

年轻人
非年轻人
合计
健身达人
50
10
60
健身爱好者
30
10
40
合计
80
20
100

可得，没有95%的把握认为“健身达人”与年龄有关.
（2）由（1）可知，既是年轻人又是健身达人的概率为，则，
可得：，，
，，
故X的分布列如图则的数学期望为

0
1
2
3





可得
19．如图，在四棱锥P-ABCD中，，且，底面ABCD是边长为2的菱形，．
(1)证明：平面PAC⊥平面ABCD；
(2)若，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．

【分析】（1）连接，证明BD⊥平面APC，再由平面ABCD，得出平面APC⊥平面ABCD．
（2）作辅助线，利用线面垂直的判定证明PH⊥平面ABCD，以O为坐标原点，建立坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）连接DB交AC于点O，连接PO．
因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC，且O为BD的中点．
因为PB＝PD，所以PO⊥BD．
又因为AC，平面APC，且，所以BD⊥平面APC．
又平面ABCD，所以平面APC⊥平面ABCD．
（2）取AB中点M，连接DM交AC于点H，连接PH．
因为，所以△ABD是等边三角形，所以DM⊥AB．
又因为PD⊥AB，，平面PDM，
所以AB⊥平面PDM．所以AB⊥PH．
由（1）知BD⊥PH，且，所以PH⊥平面ABCD．
由ABCD是边长为2的菱形，在△ABC中，，．
由AP⊥PC，在△APC中，
，所以．
以O为坐标原点，、分别为x轴、y轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，．
设平面PAB的法向量为，
所以，
令得．
设平面PBC的法向量为，
所以，
令得．
设平面PAB与平面PBC的夹角为．
所以，

所以，平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为．
20．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线l：经过抛物线C的焦点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线1与抛物线C相交于A､B两点，过A､B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P.求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）设抛物线C的方程为，根据题意得到，求得，即可
求得抛物线C的方程；
（2）设､，联立方程组得到，求得，化简抛物线方程，结合导数的几何意义求得点和点处的切线方程，联立方程组求得点的坐标和到直线的距离，得出的面积，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，设抛物线C的方程为，
因为直线经过抛物线C的焦点，
所以，解得，
所以抛物线C的方程为.
（2）解：设､，
联立方程组，整理得，
因为，且，，
所以，
由，可得，则，
所以抛物线经过点的切线方程是，
将代入上式整理得，
同理可得抛物线C经过点B的切线方程为，
联立方程组，解得，所以，
所以到直线的距离，
所以的面积，
因为，所以，
即当时，，所以面积的最小值为.
21．设函数，.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若函数在上有两个零点，求实数m的取值范围；
(3)若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)函数的极小值为1，没有极大值；
(2)；
(3).

【分析】（1）由题可求，利用导数判断单调性，由单调性即可求解；
（2）令可得，令，求，判断单调性求得最值，即可求解；
（3）不等式可转化为，构造函数，可得在上单调递减，即在上恒成立，分离转化为最值问题即可求解.
【详解】（1）解：因为
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
所以当时，取得极小值，无极大值.
所以函数的极小值为1，没有极大值.
（2）由题可得，
令，得．
设，则．
所以当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
所以的最大值为，又，，可知：
当时，函数有2个零点，
即实数取值范围为.
（3）原命题等价于恒成立，
令，
则等价于在上单调递减，在恒成立,
所以恒成立，又，
所以，
即的取值范围是．
【点睛】方法点睛：函数零点问题的研究，常用的方法有三种，1.方程法（解方程即得解）；2.图象法（作出函数的图象分析即得解）；3.方程+图象法（令得到，再分析函数图象即得解）.


（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22． [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线与直线交于点，点的坐标为（3，1），求.
【答案】（1）（2）
【解析】利用极坐标与直角坐标的互化公式:即可求解;
联立直线的方程和曲线的方程,整理化简得到关于的一元二次方程,由题知点在直线上,利用参数方程中参数的几何意义及一元二次方程中的韦达定理即可求出的值.
【详解】因为曲线的方程，
∴，

∴，
化简得,曲线的直角坐标方程为：.
（2）把直线代入曲线得，
整理得，.
∵，所以方程有两个不等实根，
设为方程的两个实数根，由韦达定理可得,
，，∴为异号，
又∵点（3，1）在直线上，由参数方程中参数的几何意义可得,
.
所以.
【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程中参数的几何意义等知识，考查学生的运算能力、推理论证能力；其中正确掌握参数方程中参数的几何意义是求解本题的关键;属于中档题.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数，，且的解集为.
（1）求的值；
（2）若都为正数，且，证明：.
【答案】（1）； （2）见解析.
【分析】（1）根据题意，分析可得的解集为，化简可得m的值；
（2）由（1）的结论，则，，结合基本不等式的性质分析可得结论．
【详解】（1），，且的解集为，
可得的解集为，所以.
（2）因为都为正数，所以，
所以


，
当且仅当时，等号成立，即.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的性质，关键是求出m的值．