2021年浙江省温州市平阳县中考数学一模试卷

这是一份2021年浙江省温州市平阳县中考数学一模试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）的相反数是（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
2．（4分）1938年出版的第一部中国现代数学词典《算学名词汇编》是温籍数学家姜立夫领导审定的，共收入7400多数学词汇，从而奠定了中国现代数学名词的基础．其中数据7400用科学记数法表示为（ ）
A．74×102B．7.4×104C．0.74×104D．7.4×103
3．（4分）某物体如图所示，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）某校九年级学生中考体育选考项目组合情况的统计图如图所示，若九年级学生共有400人，则选择跳远、游泳、篮球项目组合的有（ ）
A．60人B．80人C．120人D．140人
5．（4分）分式的值是零，则x的值为（ ）
A．2B．3C．﹣2D．﹣3
6．（4分）已知现有的8瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这8瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（4分）已知反比例函数y＝（k＞0）的图象如图所示，当1≤x≤2时，y的取值范围是（ ）
A．1≤y≤2B．0≤y≤4C．1≤y≤4D．2≤y≤4
8．（4分）如图，A，B两个物体分别在倾斜角为β，α的斜面上向上运动，物体A上升的高度比物体B上升的高度高（ ）
A．msinβ﹣ntanαB．
C．D．
9．（4分）小慧在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图1所示（其中b＞a＞c＞0），售货员分别可按图2、图3、图4三种方法进行捆绑，设图2、图3、图4的捆绑绳长分别为l1，l2，l3，则l1，l2，l3的大小关系为（ ）
A．l1＞l3＞l2B．l3＞l1＞l2C．l1＞l2＞l3D．l3＞l2＞l1
10．（4分）几千年来，在勾股定理的多种证明方法中，等面积法是典型的一种证法，清代数学家李锐运用这一方法借助三个正方形也证明了勾股定理．如图，四边形ABCD，四边形DEFG，四边形CGHI均为正方形，EF交BG于点L，DG交IH于点K，点B，L，C，G在同一条直线上，若S△ADE＝9，S△GHK＝4，记四边形DELC的面积为S1，四边形CGKI的面积为S2，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式：a2﹣4a＝ ．
12．（5分）不等式组的解为 ．
13．（5分）学校为了解七年级学生参加课外兴趣小组的情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了如图所示的统计图，则七年级学生参加书法兴趣小组的频率是 ．
14．（5分）已知扇形的半径为6cm，弧长为5πcm，则扇形的圆心角为 度．
15．（5分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将菱形ABCD绕点O按逆时针方向旋转90°得到菱形EFGH，若两个菱形重叠部分八边形的周长为16，∠BAD＝60°，则HG的长为 ．
16．（5分）图1是一种360°自动旋转农业灌溉摇臂喷枪，点P为喷水口，水雾喷出的路径可以近似看作抛物线y＝﹣x2+x+c的一部分（如图2），已知＝，则喷洒半径OQ为 米（喷枪长度忽略不计）；现有一块四边形农田，它的四个顶点A，B，C，D恰好在⊙O上（如图3），∠ABC＝90°，AD＝60米，BD＝25米，cs∠C＝．焊接一个底座支架可升高喷水口，如果喷水口上升时，水雾喷出的形状与原来相同，要使喷水区域覆盖整块四边形ABCD农田，那么喷水口点P应至少升高 米．
三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骚或证明过程）
17．（10分）（1）计算：（﹣3）2﹣+（4+）0﹣|﹣5|．
（2）化简：（x+3）2﹣（x+2）（x﹣2）．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DA⊥AC，点E在线段AC上，AB∥DE，AC＝DE．
（1）求证：△ABC≌△EAD．
（2）连接CD，当AC＝4，AB＝3，求CD的长．
19．（8分）4月7日是世界卫生日．某校在七、八年级共1000名学生中开展“爱国卫生”知识竞赛，从七、八年级学生中随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分100分，80分及以上为优秀）进行整理和分析，绘制出如下统计表．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
学校对平均数、中位数、众数、优秀率进行分析，绘制成如下统计表．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的a，b，c，d的值．
（2）请你从平均数、中位数、众数、优秀率的角度进行分析，评价哪个年级的学生在知识竞赛中表现更加优异．
20．（8分）在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段AB的两个端点都在格点上，请按下列要求作图，所作图形的顶点都在格点上．
（1）在图1中画一个以AB为斜边的Rt△ABC，且满足两直角边都是无理数．
（2）在图2中画一个▱ABCD，且满足两条对角线互相垂直．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形ABCD的顶点A与原点重合，顶点B，D分别在x轴正半轴，y轴正半轴上，抛物线经过点B，D，E，E为CD的中点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）点P为抛物线上一点，向左平移与抛物线上点G重合，向下平移与线段BD上点H重合，若PG＝2PH，求点P的坐标．
22．（10分）如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，∠ABC的平分线分别交AC，⊙O，CD的延长线于点E，F，G，过点F作⊙O的切线FH，交CG于点H．
（1）证明：FH∥AC．
（2）若BA＝BE，tan∠BAC＝3，OE＝2，求FH的长．
23．（12分）某超市销售A，B两种饮料，A种饮料进价比B种饮料每瓶低2元，用500元进货A种饮料的数量与用600元进货B种饮料的数量相同．
（1）求A，B两种饮料平均每瓶的进价．
（2）经市场调查表明，当A种饮料售价在11元到17元之间（含11元，17元）浮动时，每瓶售价每增加0.5元时，日均销售量减少20瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为320瓶；B种饮料的日均毛利润m（元）与售价为n（元/瓶）（12.5≤n≤18）构成一次函数，部分数据如下表：（每瓶毛利润＝每瓶售价﹣每瓶进价）
①当B种饮料的日均毛利润超过A种饮料的最大日均毛利润时，求n的取值范围．
②某日该超市B种饮料每瓶的售价比A种饮料高3元，售价均为整数，当A种饮料的售价定为每瓶多少元时，所得总毛利润最大？最大总毛利润是多少元？
24．（14分）如图，点E，F分别在矩形ABCD的边BC，AD上，BE＝DF＝4，AF＝2，CD＝4．点G为CF上一点，连接BG交AE于H，HE＝2FG．点P从点H匀速运动到终点E，点Q在线段CG上．记PH＝x，CQ＝y，满足y＝kx+（k为常数，k≠0）．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）求HE的长．
（3）在点P的运动过程中，当Q为CG的中点时，点B，P，Q在同一条直线上．
①求k的值．
②过点Q作QR⊥BC于点R，连接PQ，PR，当△PQR为直角三角形时，求所有满足条件的PH的长．
2021年浙江省温州市平阳县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）的相反数是（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案，相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：的相反数是．
故选：C．
2．（4分）1938年出版的第一部中国现代数学词典《算学名词汇编》是温籍数学家姜立夫领导审定的，共收入7400多数学词汇，从而奠定了中国现代数学名词的基础．其中数据7400用科学记数法表示为（ ）
A．74×102B．7.4×104C．0.74×104D．7.4×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：7400＝7.4×103．
故选：D．
3．（4分）某物体如图所示，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看有2层，底层是一个矩形，上层中间是一个上底比下底小的等腰梯形，
故选：C．
4．（4分）某校九年级学生中考体育选考项目组合情况的统计图如图所示，若九年级学生共有400人，则选择跳远、游泳、篮球项目组合的有（ ）
A．60人B．80人C．120人D．140人
【分析】用总人数乘以样本中选择跳远、游泳、篮球项目组合的人数所占比例即可．
【解答】解：根据题意知选择跳远、游泳、篮球项目组合的人数为400×20%＝80（人），
故选：B．
5．（4分）分式的值是零，则x的值为（ ）
A．2B．3C．﹣2D．﹣3
【分析】根据分式的值为零的条件为分子为零，且分母不为零，进行求解即可．
【解答】解：由题意得，x+3＝0且x﹣2≠0，
解得x＝﹣3．
故选：D．
6．（4分）已知现有的8瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这8瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用概率公式求解．
【解答】解：从这8瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率＝＝．
故选：A．
7．（4分）已知反比例函数y＝（k＞0）的图象如图所示，当1≤x≤2时，y的取值范围是（ ）
A．1≤y≤2B．0≤y≤4C．1≤y≤4D．2≤y≤4
【分析】根据反比例函数图象中的信息即可得到结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k＞0）的图象过点（1，4），
∴k＝1×4＝4，
∴y＝，
当x＝2时，y＝2，
由图象知，当1≤x≤2时，y的取值范围是2≤y≤4，
故选：D．
8．（4分）如图，A，B两个物体分别在倾斜角为β，α的斜面上向上运动，物体A上升的高度比物体B上升的高度高（ ）
A．msinβ﹣ntanαB．
C．D．
【分析】根据正弦函数可求物体A上升的高度，根据正切函数可求物体B上升的高度，再求出它们的差即可求解．
【解答】解：由正弦函数可知物体A上升的高度为msinβ，
由正切函数可知物体B上升的高度为ntanα，
则物体A上升的高度比物体B上升的高度高msinβ﹣ntanα．
故选：A．
9．（4分）小慧在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图1所示（其中b＞a＞c＞0），售货员分别可按图2、图3、图4三种方法进行捆绑，设图2、图3、图4的捆绑绳长分别为l1，l2，l3，则l1，l2，l3的大小关系为（ ）
A．l1＞l3＞l2B．l3＞l1＞l2C．l1＞l2＞l3D．l3＞l2＞l1
【分析】图2的捆绑绳长l1＝2a×2+2b×2+4c×2＝4a+4b+8c，图3的捆绑绳长l2＝2a×2+2b×2+2c×2＝4a+4b+4c，图4的捆绑绳长l3＝3a×2+2b×2+3c×2＝6a+4b+6c，进而表示出它们之间的差，即可得出大小关系．
【解答】解：图2的捆绑绳长l1＝2a×2+2b×2+4c×2＝4a+4b+8c，
图3的捆绑绳长l2＝2a×2+2b×2+2c×2＝4a+4b+4c，
图4的捆绑绳长l3＝3a×2+2b×2+3c×2＝6a+4b+6c，
∵l1﹣l2＝4a+4b+8c﹣（4a+4b+4c）＝4c＞0，
∴l1＞l2，
∵l3﹣l2＝6a+4b+6c﹣（4a+4b+4c）＝2a+2c＞0，
∴l3﹣l1＝6a+4b+6c﹣（4a+4b+8c）＝2（a﹣c），
∵a＞c，
∴2（a﹣c）＞0，
∴l3＞l1．
∴l3＞l1＞l2．
故选：B．
10．（4分）几千年来，在勾股定理的多种证明方法中，等面积法是典型的一种证法，清代数学家李锐运用这一方法借助三个正方形也证明了勾股定理．如图，四边形ABCD，四边形DEFG，四边形CGHI均为正方形，EF交BG于点L，DG交IH于点K，点B，L，C，G在同一条直线上，若S△ADE＝9，S△GHK＝4，记四边形DELC的面积为S1，四边形CGKI的面积为S2，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由△ADE∽△HGK，设AD＝3x，则CG＝2x，证明△ADE≌△CDG，由图建立关于x的方程解得x，作EM⊥DC，KN⊥CG，证明△DKI≌△ELB，得出LB＝IK，此时只需算出四边形ELCM、KNCI的面积即可计算的值．
【解答】解：∵∠ADE+∠EDC＝90°＝∠EDC+∠IDK，
∴∠ADE＝∠IDK，
又∵DC∥HG，
∴∠IDK＝∠HGK＝∠ADE，
又∵∠EAD＝∠KHG＝90°，
∴△ADE∽△HGK，
∵＝，
∴＝，
设AD＝3x，则CG＝2x，
由已知：AD＝CD，DG＝DE，∠DAE＝∠DCG＝90°，
∴Rt△ADE≌Rt△CDG（HL），
∴AE＝CG＝2x，
又∵AE＝＝，
∴2x＝，
解得x＝，检验是方程的解，
∴AD＝3，HG＝2，
作EM⊥DC，KN⊥CG，四边形AEMD、KNGH、ICNK、EBCM是矩形，
∴S△ADE＝S△DME＝9，S△HGK＝S△KNG＝4，
∵HK＝＝，
∴IK＝HI﹣HK＝，
∴S四边形ICNK＝×2＝4，
∴S2＝S四边形ICNK+S△KNG＝4+4＝8，
∵∠LEB+∠ADE＝90°，
∴∠LEB+∠ADE＝∠IDK，
又∵DI＝DC﹣CI＝EB＝AB﹣AE＝x＝，∠EBL＝∠DIK＝90°，
∴△DIK≌△EBL（ASA），
∴IK＝BL＝，
∴LC＝BC﹣BL＝，
∴S四边形EICM＝＝8，
S1＝S四边形EICM+S△DEM＝8+9＝17，
∴＝，
故选：B．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式：a2﹣4a＝ a（a﹣4） ．
【分析】由于原式子中含有公因式a，可用提取公因式法求解．
【解答】解：a2﹣4a＝a（a﹣4）．
故答案为：a（a﹣4）．
12．（5分）不等式组的解为 1≤x＜6 ．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＜6，
∴原不等式组的解集为：1≤x＜6，
故答案为1≤x＜6．
13．（5分）学校为了解七年级学生参加课外兴趣小组的情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了如图所示的统计图，则七年级学生参加书法兴趣小组的频率是 0.2 ．
【分析】根据频率＝频数÷数据总和，可得答案．
【解答】解：七年级学生参加书法兴趣小组的频率是8÷40＝0.2，
故答案为：0.2．
14．（5分）已知扇形的半径为6cm，弧长为5πcm，则扇形的圆心角为 150 度．
【分析】根据弧长公式l＝和题目中的数据，可以计算出该扇形对应的圆心角的度数．
【解答】解：设扇形的圆心角为n°，
∵扇形的半径为6cm，弧长为5πcm，
∴5π＝，
解得n＝150，
故答案为：150．
15．（5分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将菱形ABCD绕点O按逆时针方向旋转90°得到菱形EFGH，若两个菱形重叠部分八边形的周长为16，∠BAD＝60°，则HG的长为 ．
【分析】根据已知可得重叠部分是个八边形，求得其一边长即可解决问题．
【解答】解：过点D作DJ⊥TG于J.
由旋转的性质可得：重叠部分为各边长相等的八边形，
∴TH＝DT＝2，
∵菱形ABCD的一个内角是60°，将它绕对角线的交点O顺时针旋转90°后得到菱形A′B′C′D′，
∴∠DAO＝∠OGH＝30°，
∴∠ADO＝60°，
∵∠ADO＝∠DGT+∠DTG，
∴∠DTG＝∠DGT＝30°，
∴DG＝DT＝2，
∵DJ⊥TG，
∴TJ＝JG＝DG•cs30°＝
∴TG＝2，
∴HG＝HT+TG＝2+2
故答案为：2+2．
16．（5分）图1是一种360°自动旋转农业灌溉摇臂喷枪，点P为喷水口，水雾喷出的路径可以近似看作抛物线y＝﹣x2+x+c的一部分（如图2），已知＝，则喷洒半径OQ为 40 米（喷枪长度忽略不计）；现有一块四边形农田，它的四个顶点A，B，C，D恰好在⊙O上（如图3），∠ABC＝90°，AD＝60米，BD＝25米，cs∠C＝．焊接一个底座支架可升高喷水口，如果喷水口上升时，水雾喷出的形状与原来相同，要使喷水区域覆盖整块四边形ABCD农田，那么喷水口点P应至少升高 10.5 米．
【分析】由P（0，c）可知Q（20c，0）代入关系式可得c，进而可知OQ的长；连接DO并延长交⊙O于E，可知cs∠DEB＝cs∠C＝，进而可得圆的半径，再把坐标代入升高后的关系式可得答案．
【解答】解：图2中，
由y＝﹣x2+x+c可知P（0，c），
∵＝，
∴Q（20c，0），
代入y＝﹣x2+x+c得：c＝2．
∴OQ＝20c＝40（米）．
图3中，连接DO并延长交⊙O于E，
∵DE是⊙O直径，
∴∠DBE＝90°，
∵∠C＝∠DEB，
∴cs∠DEB＝cs∠C＝，
设BE＝a，则DE＝4a，
∴a2+（25）2＝（4a）2，解得a＝25，
∴DE＝4a＝100，即圆的半径是50．
∵喷水口上升时，水雾喷出的形状与原来相同，
∴设底部支架高m米，上升后水雾喷出的路径y＝﹣x2+x+（2+m），
把（50，0）代入可得m＝10.5．
∴喷水口点P应至少升高10.5米．
故答案为：40；10.5．
三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骚或证明过程）
17．（10分）（1）计算：（﹣3）2﹣+（4+）0﹣|﹣5|．
（2）化简：（x+3）2﹣（x+2）（x﹣2）．
【分析】直接利用绝对值、乘方的相关结论、二次根式的化简、完全平方公式和平方差公式进行计算即可
【解答】解：（1）原式＝9﹣
＝5﹣；
（2）原式＝x2+6x+9﹣（x2﹣4）
＝x2+6x+9﹣x2+4
＝6x+13．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DA⊥AC，点E在线段AC上，AB∥DE，AC＝DE．
（1）求证：△ABC≌△EAD．
（2）连接CD，当AC＝4，AB＝3，求CD的长．
【分析】（1）先根据条件证明∠BAC＝∠AED，∠DAC＝∠B＝90°，由AAS可得△ABC≌△EAD；
（2）先根据勾股定理可行是BC的长，即可得AD的长，最后再根据勾股定理可得CD的长．
【解答】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠BAC＝∠DEA，
∵AD⊥AC，
∴∠DAE＝90°，
∴∠DAE＝∠B＝90°，
在△ABC和△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD（AAS）；
（2）解：∵AC＝4，AB＝3，∠B＝90°，
∴
∵△ABC≌△EAD，
∴
∴．
19．（8分）4月7日是世界卫生日．某校在七、八年级共1000名学生中开展“爱国卫生”知识竞赛，从七、八年级学生中随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分100分，80分及以上为优秀）进行整理和分析，绘制出如下统计表．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
学校对平均数、中位数、众数、优秀率进行分析，绘制成如下统计表．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的a，b，c，d的值．
（2）请你从平均数、中位数、众数、优秀率的角度进行分析，评价哪个年级的学生在知识竞赛中表现更加优异．
【分析】（1）根据中位数、众数、优秀率的意义求解即可；
（2）从平均数、中位数、众数、优秀率的角度进行分析，得出答案．
【解答】解：（1）将七年级20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是70分，因此中位数是70分，即a＝70，
将八年级20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝75，因此中位数是75分，即b＝75，
八年级20名学生成绩出现次数最多的是80分，共出现6次，因此众数是80分，即c＝80，
八年级的优秀率为×100%＝50%，即d＝50%，
答：a＝70，b＝75，c＝80，d＝50%；
（2）七、八年级竞赛成绩的平均数相同，八年级学生竞赛成绩的中位数、众数、优秀率高于七年级，因此，八年级学生在知识竞赛中表现更加优异．
20．（8分）在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段AB的两个端点都在格点上，请按下列要求作图，所作图形的顶点都在格点上．
（1）在图1中画一个以AB为斜边的Rt△ABC，且满足两直角边都是无理数．
（2）在图2中画一个▱ABCD，且满足两条对角线互相垂直．
【分析】（1）根据直角三角形的定义，利用数形结合的思想解决问题即可．
（2）画菱形或正方形即可．
【解答】解：（1）画法不唯一，如图1或图2等．
（2）画法不唯一，如图3或图4等．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形ABCD的顶点A与原点重合，顶点B，D分别在x轴正半轴，y轴正半轴上，抛物线经过点B，D，E，E为CD的中点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）点P为抛物线上一点，向左平移与抛物线上点G重合，向下平移与线段BD上点H重合，若PG＝2PH，求点P的坐标．
【分析】（1）根据正方形的性质得出B（4，0），D（0，4）．E为CD的中点，则E（2，4）．即可得出抛物线的对称轴为直线x＝1．设二次函数表达式为y＝a（x﹣1）2+k，代入B（4，0），D（0，4），利用待定系数法即可求得；
（2）设BD与PG交于点M，由正方形的性质以及PG∥AB，得出∠PMH＝∠ABD＝45°．得到PM＝PH，进而得到点M为PG的中点，点M落在抛物线的对称轴上，求得M（1，3），把y＝3代入抛物线解析式，求得x的值即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴AB＝CD＝AD＝4．
∴B（4，0），D（0，4）．
∵E为CD的中点，
∴E（2，4）．
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
∴设二次函数表达式为y＝a（x﹣1）2+k，
代入B（4，0），D（0，4），得解得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+或y＝﹣+x+4．
（2）设BD与PG交于点M，如图，
∵PG∥AB，
∴∠PMH＝∠ABD＝45°．
∴PM＝PH，
∵PG＝2PH，
∴PG＝2PM．
∴点M为PG的中点，
∴点M落在抛物线的对称轴上，
∵直线BD的表达式为y＝﹣x+4，
∴M（1，3）．
令﹣+x+4＝3，
解得x1＝1+，x2＝1﹣（舍去），
∴点P的坐标为．
22．（10分）如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，∠ABC的平分线分别交AC，⊙O，CD的延长线于点E，F，G，过点F作⊙O的切线FH，交CG于点H．
（1）证明：FH∥AC．
（2）若BA＝BE，tan∠BAC＝3，OE＝2，求FH的长．
【分析】（1）由切线的性质可得∠OFH＝90°，由圆周角定理可得∠COF＝2∠CBG＝90°，可得结论；
（2）作HI⊥AC于点I，作EL⊥AB于点L，则四边形FOIH是矩形，可得HF＝OI，设设EL＝BL＝3a，则AL＝a．由平行线分线段成比例可求a＝，即可求解．
【解答】解：（1）连接OF，如图1，
∵FH是切线，
∴∠OFH＝90°，
在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，BG平分∠ABC，
∴，
∴∠COF＝2∠CBG＝90°，
∴HF∥AC；
（2）如图2，作HI⊥AC于点I，作EL⊥AB于点L，则四边形FOIH是矩形，
∴HF＝OI，
∵tan∠BAC＝，∠ABG＝45°，
设EL＝BL＝3a，则AL＝a．
∴，
∵BC∥LE，
∴，
∴，
∴，
∴OE＝a＝2，
∴a＝，
∴OC＝OF＝HI＝2a＝4，
∴，
∴．
23．（12分）某超市销售A，B两种饮料，A种饮料进价比B种饮料每瓶低2元，用500元进货A种饮料的数量与用600元进货B种饮料的数量相同．
（1）求A，B两种饮料平均每瓶的进价．
（2）经市场调查表明，当A种饮料售价在11元到17元之间（含11元，17元）浮动时，每瓶售价每增加0.5元时，日均销售量减少20瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为320瓶；B种饮料的日均毛利润m（元）与售价为n（元/瓶）（12.5≤n≤18）构成一次函数，部分数据如下表：（每瓶毛利润＝每瓶售价﹣每瓶进价）
①当B种饮料的日均毛利润超过A种饮料的最大日均毛利润时，求n的取值范围．
②某日该超市B种饮料每瓶的售价比A种饮料高3元，售价均为整数，当A种饮料的售价定为每瓶多少元时，所得总毛利润最大？最大总毛利润是多少元？
【分析】（1）设A饮料进价为x元/瓶，B饮料进价为（x+2）元/瓶，根据等量关系A种饮料进价比B种饮料每瓶低2元，列出分式方程，求解并检验即可得出答案．
（2）①设A饮料售价为y元/瓶，日均毛利润为z元，根据日均毛利润＝每瓶毛利润×实际日均销售量，列出z关于y的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得最大日均毛利润；设m＝kn+b，利用待定系数法求得函数解析式，再令m＝最大日均毛利润，可解得n的值，根据一次函数的性质及12.5≤n≤18，可得答案．
②设A饮料售价为a元/瓶，则B饮料售价为（a+3）元/瓶，总毛利润为W元．根据总毛利润等于A饮料和B饮料的毛利润之和，列出W关于a的二次函数，根据二次函数的性质及问题的实际意义，可得答案．
【解答】解：（1）设A饮料进价为x元/瓶，B饮料进价为（x+2）元/瓶．
∴，解得x＝10．
经检验，x＝10是所列方程的根，且符合题意．
∴x+2＝12．
答：A饮料进价为10元/瓶，B饮料进价为12元/瓶．
（2）设A饮料售价为y元/瓶，日均毛利润为z元．
∴z＝（y﹣10）[320﹣20÷0.5×（y﹣12）]
＝﹣40y2+1200y﹣8000
＝﹣40（y﹣15）2+1000，
∴y＝15时，zmax＝1000，
设m＝kn+b，
∴，
解得，
∴m＝﹣120n+2800．
令﹣120n+2800＝1000，
解得n＝15，
∵m随着n的减小而增大，
∴n＜15，而12.5≤n≤18，
∴12.5≤n＜15．
即n的取值范围是12.5≤n＜15．
（3）设A饮料售价为a元/瓶，则B饮料售价为（a+3）元/瓶，总毛利润为W元．
∴W＝﹣40a2+1200a﹣8000﹣120（a+3）+2800＝﹣40a2+1080a﹣5560，
∵，而11≤a≤17，
∴11≤a≤15．
∵，且a为整数，
∴当a＝13或14时，Wmax＝1720．
∴当A种饮料的售价定为每瓶13或14元时，所得总毛利润最大，最大总毛利润是1720元．
24．（14分）如图，点E，F分别在矩形ABCD的边BC，AD上，BE＝DF＝4，AF＝2，CD＝4．点G为CF上一点，连接BG交AE于H，HE＝2FG．点P从点H匀速运动到终点E，点Q在线段CG上．记PH＝x，CQ＝y，满足y＝kx+（k为常数，k≠0）．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）求HE的长．
（3）在点P的运动过程中，当Q为CG的中点时，点B，P，Q在同一条直线上．
①求k的值．
②过点Q作QR⊥BC于点R，连接PQ，PR，当△PQR为直角三角形时，求所有满足条件的PH的长．
【分析】（1）利用四边形ABCD是矩形，得到AD与BC平行且相等，再证明AF＝CE即可；
（2）利用平行，先证明△BEH∽△BCG相似，利用线段比＝相似比求出HE的长度；
（3）①先证明△BCG是等边三角形，根据Q为CG的中点，P为HE的中点分别求出x和y的值，从而求出k；
②△PQR为直角三角形，需分三种情况讨论：（i）∠PQR＝90°，（ii）∠QPR＝90°，（iii）∠PRQ＝90°时，对每种情况分别计算，求出PH的值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∵BE＝DF，
∴AF＝CE．
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）∵BE＝DF＝4，AF＝2，
∴BC＝AD＝6，
∵，
∴．
∵HE＝2FG，
设FG＝a，
则HE＝2a，CG＝8﹣a，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴△BEH∽△BCG，
∴，
∴，
解得a＝2，
∴HE＝2a＝4．
（3）①∵CF＝2DF，
∴∠DCF＝30°．
∴∠BCF＝∠BEH＝60°．
∵FG＝2，CG＝6，
∴BC＝CG＝6，
∴△BCG是等边三角形．
∵Q为CG的中点时，点B，P，Q在同一条直线上，
∴P为HE的中点，y＝CQ＝3．
∴x＝PH＝2，代入中，
得：，
∴．
②（i）当∠PQR＝90°时（如图2）．
∵QR⊥EC，
∴PQ∥EC，
∴四边形PECQ为平行四边形，
∴PE＝CQ，
∴，
∴．
（ii）当∠QPR＝90°时（如图3）．
取QR的中点O，作PM⊥QR于点M，作PN⊥BC于点N，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵OM2+PM2＝OP2，
∴，
解得x1＝，x2＝，
即或．
（iii）当∠PRQ＝90°时（如图4）．
此时点P恰好与点E重合，PH＝HE＝4．
综上所述，当PH的长为或或或4时，△PQR是直角三角形．
成绩（分）
40
50
60
70
80
90
100
抽取的七年级人数（人）
1
2
1
7
5
3
1
抽取的八年级人数（人）
2
0
4
4
6
2
2
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
七年级
73
a
70
45%
八年级
73
b
c
d
售价n（元/瓶）
18
17.5
16
…
日均毛利润m（元）
640
700
880
…
成绩（分）
40
50
60
70
80
90
100
抽取的七年级人数（人）
1
2
1
7
5
3
1
抽取的八年级人数（人）
2
0
4
4
6
2
2
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
七年级
73
a
70
45%
八年级
73
b
c
d
售价n（元/瓶）
18
17.5
16
…
日均毛利润m（元）
640
700
880
…