高考数学一轮复习 第2章 第7节 函数的图象

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1．利用描点法作函数的图象
方法步骤：(1)确定函数的定义域；
(2)化简函数的解析式；
(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；
(4)描点连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)的图象eq \(―――――→,\s\up17(关于x轴对称))y＝－f(x)的图象；
②y＝f(x)的图象eq \(――――――→,\s\up17(关于y轴对称))y＝f(－x)的图象；
③y＝f(x)的图象eq \(――――――→,\s\up17(关于原点对称))y＝－f(－x)的图象；
④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象eq \(――――――――→,\s\up17(关于直线y＝x对称))y＝lgax(a＞0且a≠1)的图象．
(3)伸缩变换
①y＝f(x)的图象
y＝f(ax)的图象；
②y＝f(x)的图象
eq \(―――――――――――――――――――――→,\s\up17(a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变),\s\d15(0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a，横坐标不变))y＝af(x)的图象．
(4)翻转变换
①y＝f(x)的图象eq \(―――――――――――→,\s\up17(x轴下方部分翻折到上方),\s\d15(x轴及上方部分不变))y＝|f(x)|的图象；
②y＝f(x)的图象eq \(―――――――――――――→,\s\up17(y轴右侧部分翻折到左侧),\s\d15(原y轴左侧部分去掉，右侧不变))y＝f(|x|)的图象．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．( )
(2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．( )
(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同．( )
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是( )
① ② ③ ④
图2­7­1
A．甲是图①，乙是图② B．甲是图①，乙是图④
C．甲是图③，乙是图②D．甲是图③，乙是图④
B [设甲骑车速度为V甲骑，甲跑步速度为V甲跑，乙骑车速度为V乙骑，乙跑步速度为V乙跑，依题意V甲骑＞V乙骑＞V乙跑＞V甲跑，故选B.]
3．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝( )
A．ex＋1B．ex－1
C．e－x＋1D．e－x－1
D [依题意，与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线是y＝e－x，于是f(x)相当于y＝e－x向左平移1个单位的结果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.]
4．(2016·浙江高考)函数y＝sin x2的图象是( )
D [∵y＝sin(－x)2＝sin x2，
∴函数为偶函数，可排除A项和C项；当x＝eq \f(π,2)时，sin x2＝sin eq \f(π2,4)≠1，排除B项，故选D.]
5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________.
【导学号：31222055】
(0，＋∞) [在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示．由图象知当a＞0时，方程|x|＝a－x只有一个解．]
作出下列函数的图象：
(1)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|；(2)y＝|lg2(x＋1)|；
(3)y＝eq \f(2x－1,x－1)；(4)y＝x2－2|x|－1.
[解] (1)先作出y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象，保留y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x图象中x≥0的部分，再作出y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|的图象，如图①实线部分.3分
① ②
(2)将函数y＝lg2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|lg2(x＋1)|的图象，如图②.6分
(3)∵y＝2＋eq \f(1,x－1)，故函数图象可由y＝eq \f(1,x)图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③.9分
③ ④
(4)∵y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x＜0，))且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④.12分
[规律方法] 画函数图象的一般方法
(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；
(2)图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．
易错警示：注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
[变式训练1] 分别画出下列函数的图象：
(1)y＝|lg x|；(2)y＝sin|x|.
[解] (1)∵y＝|lg x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg x，x≥1，,－lg x，0＜x＜1.))
∴函数y＝|lg x|的图象，如图①.6分
(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图②.12分
(1)(2016·全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( )
(2)(2015·全国卷Ⅱ)如图2­7­2，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )
图2­7­2
A B C D
(1)D (2)B [(1)∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B.设g(x)＝2x2－ex，则g′(x)＝4x－ex.又g′(0)＜0，g′(2)＞0，∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.
(2)当点P沿着边BC运动，即0≤x≤eq \f(π,4)时，
在Rt△POB中，|PB|＝|OB|tan∠POB＝tan x，
在Rt△PAB中，|PA|＝eq \r(|AB|2＋|PB|2)＝eq \r(4＋tan2x)，
则f(x)＝|PA|＋|PB|＝eq \r(4＋tan2x)＋tan x，它不是关于x的一次函数，图象不是线段，故排除A和C；
当点P与点C重合，即x＝eq \f(π,4)时，由上得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(4＋tan2\f(π,4))＋taneq \f(π,4)＝eq \r(5)＋1，又当点P与边CD的中点重合，即x＝eq \f(π,2)时，△PAO与△PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝|PA|＋|PB|＝eq \r(2)＋eq \r(2)＝2eq \r(2)，知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))，故又可排除D.综上，选B.]
[规律方法] 函数图象的识辨可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
[变式训练2] (1)已知函数f(x)的图象如图2­7­3所示，则f(x)的解析式可以是( )
图2­7­3
A．f(x)＝eq \f(ln|x|,x)
B．f(x)＝eq \f(ex,x)
C．f(x)＝eq \f(1,x2)－1
D．f(x)＝x－eq \f(1,x)
(2)(2016·河南平顶山二模)函数y＝a＋sin bx(b＞0且b≠1)的图象如图2­7­4所示，那么函数y＝lgb(x－a)的图象可能是( )
图2­7­4
(1)A (2)C [(1)由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f(x)＝x－eq \f(1,x)，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A.
(2)由题图可得a＞1，且最小正周期T＝eq \f(2π,b)＜π，所以b＞2，则y＝lgb(x－a)是增函数，排除A和B；当x＝2时，y＝lgb(2－a)＜0，排除D，故选C.]
eq \a\vs4\al(☞)角度1 研究函数的性质
已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
C [将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．]
eq \a\vs4\al(☞)角度2 确定函数零点的个数
已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|lg x|，x>0，,2|x|，x≤0，))则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
5 [方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝eq \f(1,2)或1.作出y＝f(x)的图象，
由图象知零点的个数为5.]
eq \a\vs4\al(☞)角度3 求参数的值或取值范围
(2016·浙江杭州五校联盟一诊)若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kx－1，x＞0，,－ln－x，x＜0))有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(0,1)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))D．(0，＋∞)
B [根据题意可知，“伙伴点组”的点满足：
都在函数图象上，且关于坐标原点对称．
可作出函数y＝－ln(－x)(x<0)关于原点对称的函数y＝ln x(x>0)的图象，
使它与直线y＝kx－1(x>0)的交点个数为2即可．
当直线y＝kx－1与y＝ln x的图象相切时，设切点为(m，ln m)，又y＝ln x的导数为y′＝eq \f(1,x)，
即km－1＝ln m，k＝eq \f(1,m)，解得m＝1，k＝1，
可得函数y＝ln x(x>0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，
结合图象可知k∈(0,1)时两函数图象有两个交点．故选B.]
eq \a\vs4\al(☞)角度4 求不等式的解集
函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图2­7­5所示，那么不等式eq \f(fx,cs x)＜0的解集为________．
图2­7­5
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－1))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2))) [在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上，y＝cs x＞0，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，4))上，y＝cs x＜0.
由f(x)的图象知在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2)))上eq \f(fx,cs x)＜0，
因为f(x)为偶函数，y＝cs x也是偶函数，
所以y＝eq \f(fx,cs x)为偶函数，
所以eq \f(fx,cs x)＜0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－1))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2))).]
[规律方法] 函数图象应用的常见题型与求解方法
(1)研究函数性质：
①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．
②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．
③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．
(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．
(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．
[思想与方法]
1．识图：对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．
2．用图：借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质．利用函数的图象，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数，求不等式的解集等．
[易错与防范]
1．图象变换是针对自变量x而言的，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移eq \f(1,2)个单位，先作如下变形f(－2x＋1)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))))，可避免出错．
2．明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．
3．当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用．
课时分层训练(十) 函数的图象
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．为了得到函数y＝2x－2的图象，可以把函数y＝2x的图象上所有的点
( )
A．向右平行移动2个单位长度
B．向右平行移动1个单位长度
C．向左平行移动2个单位长度
D．向左平行移动1个单位长度
B [因为y＝2x－2＝2(x－1)，所以只需将函数y＝2x的图象上所有的点向右平移1个单位长度，即可得到y＝2(x－1)＝2x－2的图象，故B正确．]
2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
【导学号：31222056】
A B C D
C [出发时距学校最远，先排除A，中途堵塞停留，距离没变，再排除D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B.]
3．(2016·广西桂林高考一调)函数y＝(x3－x)2|x|的图象大致是( )
A B C D
B [由于函数y＝(x3－x)2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称，当0＜x＜1时，y＜0；当x>1时，y>0，故选B.]
4．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)D．(0,1]
D [作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示：
由图可知k∈(0,1]，故选D.]
5．(2017·洛阳模拟)若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)<0的解集是( )
A．(－1,0)B．(－∞，0)∪(1,2)
C．(1,2)D．(0,2)
D [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,fx<0，))得0≤x<1.由f(x)为偶函数．结合图象(略)知f(x)<0的解集为－1所以f(x－1)<0⇔－1二、填空题
6．已知函数f(x)的图象如图2­7­6所示，则函数g(x)＝lgeq \r(2)f(x)的定义域是________. 【导学号：31222057】
图2­7­6
(2,8] [当f(x)＞0时，函数g(x)＝lgeq \r(2)f(x)有意义，
由函数f(x)的图象知满足f(x)＞0时，x∈(2,8]．]
7．如图2­7­7，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________．
图2­7­7
f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，－1≤x≤0，,\f(1,4)x－22－1，x＞0)) [当－1≤x≤0时，
设解析式为y＝kx＋b，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－k＋b＝0，,b＝1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝1，,b＝1，))∴y＝x＋1.
当x＞0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1.
∵图象过点(4,0)，∴0＝a(4－2)2－1，
得a＝eq \f(1,4)，即y＝eq \f(1,4)(x－2)2－1.
综上，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，－1≤x≤0，,\f(1,4)x－22－1，x＞0.))]
8．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
[－1，＋∞) [如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x2，x∈[－1，2]，,x－3，x∈2，5].))
(1)在如图2­7­8所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；
图2­7­8
(2)写出f(x)的单调递增区间；
(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值．
[解] (1)函数f(x)的图象如图所示．
4分
(2)由图象可知，
函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5].8分
(3)由图象知当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－1，
当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝3.12分
10．已知f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；
(3)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．
[解] (1)当x2－4x＋3≥0时，x≤1或x≥3，
∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4x＋3，x≤1或x≥3，,－x2＋4x－3，1＜x＜3，))
∴f(x)的图象为：
4分
(2)由函数的图象可知f(x)的单调区间是(－∞，1]，(2,3]，(1,2]，(3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3]是减区间；[1,2]，[3，＋∞)是增区间.8分
(3)由f(x)的图象知，当0＜m＜1时，f(x)＝m有四个不相等的实根，所以M＝{m|0＜m＜1}.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则eq \i\su(i＝1,m,x)i＝( )
A．0 B．m
C．2m D．4m
B [∵f(x)＝f(2－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图象关于直线x＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x＝1对称．
当m为偶数时，eq \i\su(i＝1,m,x)i＝2×eq \f(m,2)＝m；
当m为奇数时，eq \i\su(i＝1,m,x)i＝2×eq \f(m－1,2)＋1＝m.故选B.]
2．已知函数f(x)＝若对任意的x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，则实数k的取值范围为________．
【导学号：31222058】
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，＋∞)) [对任意的x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，
即f(x)max≤|k－1|.
因为f(x)的草图如图所示，
观察f(x)＝的图象可知，
当x＝eq \f(1,2)时，函数f(x)max＝eq \f(1,4)，
所以|k－1|≥eq \f(1,4)，解得k≤eq \f(3,4)或k≥eq \f(5,4).]
3．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋eq \f(1,x)＋2的图象关于点A(0,1)对称．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)＋eq \f(a,x)，g(x)在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a的取值范围．
[解] (1)设f(x)图象上任一点坐标为(x，y)，
∵点(x，y)关于点A(0,1)的对称点(－x,2－y)在h(x)的图象上，
∴2－y＝－x＋eq \f(1,－x)＋2，3分
∴y＝x＋eq \f(1,x)，即f(x)＝x＋eq \f(1,x).5分
(2)由题意g(x)＝x＋eq \f(a＋1,x)，
且g(x)＝x＋eq \f(a＋1,x)≥6，x∈(0,2].7分
∵x∈(0,2]，∴a＋1≥x(6－x)，
即a≥－x2＋6x－1.9分
令q(x)＝－x2＋6x－1，x∈(0,2]，
q(x)＝－x2＋6x－1＝－(x－3)2＋8，
∴x∈(0,2]时，q(x)max＝q(2)＝7，
故a的取值范围为[7，＋∞).12分
作函数的图象
识图与辨图
函数图象的应用