高三数学一轮复习： 第8章 第2节 两条直线的位置关系

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1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2．两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
3．距离
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( )
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )
(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq \f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).( )
(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.( )
(5)若点P，Q分别是两条平行线l1，l2上的任意一点，则P，Q两点的最小距离就是两条平行线的距离．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2．(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于
( )
A.eq \r(2) B.2－eq \r(2)
C.eq \r(2)－1 D.eq \r(2)＋1
C [由题意得eq \f(|a－2＋3|,\r(2))＝1，即|a＋1|＝eq \r(2)，
又a>0，∴a＝eq \r(2)－1.]
3．直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．
(2，－2) [直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,－2x＋y＋6＝0，))解得x＝2，y＝－2，
所以直线l恒过定点(2，－2)．]
4．已知直线l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：x－2y＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________．
2 [由eq \f(a,a－3)＝－2，得a＝2.]
5．(2017·唐山调研)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为________．
eq \f(8\r(2),3) [由l1∥l2，得a(a－2)＝1×3，
∴a＝3或a＝－1.
但a＝3时，l1与l2重合，舍去，
∴a＝－1，则l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋eq \f(2,3)＝0.
故l1与l2间的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(6－\f(2,3))),\r(12＋－12))＝eq \f(8\r(2),3).]
(1)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则直线xsin A＋ay＋c＝0与直线bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是( )
A．平行 B.垂直
C．重合 D.相交但不垂直
(1)A (2)B [(1)当a＝1时，显然l1∥l2，
若l1∥l2，则a(a＋1)－2×1＝0，
所以a＝1或a＝－2.
所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．
(2)在△ABC中，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
得eq \f(b,sin B)·eq \f(sin A,a)＝1.
又xsin A＋ay＋c＝0的斜率k1＝－eq \f(sin A,a)，
bx－ysin B＋sin C＝0的斜率k2＝eq \f(b,sin B)，
因此k1·k2＝eq \f(b,sin B)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(sin A,a)))＝－1，两条直线垂直．]
[规律方法] 1.判定直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
2．在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，可避免讨论．另外当A2B2C2≠0时，比例式eq \f(A1,A2)与eq \f(B1,B2)，eq \f(C1,C2)的关系容易记住，在解答选择、填空题时，有时比较方便．
[变式训练1] 已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为( )
A．－10 B.－2
C.0 D.8
A [∵l1∥l2，∴kAB＝eq \f(4－m,m＋2)＝－2，解得m＝－8.
又∵l2⊥l3，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,n)))×(－2)＝－1，
解得n＝－2，∴m＋n＝－10.]
(1)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________．
(2)过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程.
【导学号：01772289】
(1)x＋3y－5＝0或x＝－1 [法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由题意知eq \f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq \f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，
即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－eq \f(1,3)，
∴直线l的方程为y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．
法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－eq \f(1,3)，直线l的方程为
y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)，
∴直线l的方程为x＝－1.
故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.]
(2)设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，则直线l与l2的交点B(6－x0，－y0)，2分
由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x0－y0－2＝0，,6－x0－y0＋3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝\f(11,3)，,y0＝\f(16,3)，))6分
即Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,3)，\f(16,3)))，从而直线l的斜率k＝eq \f(\f(16,3)－0,\f(11,3)－3)＝8，10分
直线l的方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.12分
[规律方法] 1.求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数．
2．利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．
[变式训练2] 若直线l过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点，且|AB|＝5，求直线l的方程．
[解] ①过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,2x＋y－6＝0，))求得B点坐标为(1,4)，
此时|AB|＝5，即直线l的方程为x＝1.4分
②设过点A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－6＝0，,y＋1＝kx－1，))
得x＝eq \f(k＋7,k＋2)且y＝eq \f(4k－2,k＋2)(k≠－2，否则l与l1平行)．
则B点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k＋7,k＋2)，\f(4k－2,k＋2))).8分
又A(1，－1)，且|AB|＝5，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k＋7,k＋2)－1))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4k－2,k＋2)＋1))2＝52，解得k＝－eq \f(3,4).10分
因此y＋1＝－eq \f(3,4)(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.
综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.12分
(1)平面直角坐标系中直线y＝2x＋1关于点(1,1)对称的直线方程是________．
(2)光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，则BC所在的直线方程是________．
(1)y＝2x－3 (2)10x－3y＋8＝0 [(1)法一：在直线l上任取一点P′(x，y)，其关于点(1,1)的对称点P(2－x,2－y)必在直线y＝2x＋1上，
∴2－y＝2(2－x)＋1，即2x－y－3＝0.
因此，直线l的方程为y＝2x－3.
法二：由题意，l与直线y＝2x＋1平行，设l的方程为2x－y＋c＝0(c≠1)，则点(1,1)到两平行线的距离相等，
∴eq \f(|2－1＋c|,\r(22＋1))＝eq \f(|2－1＋1|,\r(22＋1))，解得c＝－3.
因此所求直线l的方程为y＝2x－3.
法三：在直线y＝2x＋1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于点(1,1)对称的点M(2,1)，B关于点(1,1)对称的点N(1，－1)．由两点式求出对称直线MN的方程为eq \f(y＋1,1＋1)＝eq \f(x－1,2－1)，即y＝2x－3.
(2)作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，
则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．
由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.
故BC所在的直线方程为eq \f(y－6,－4－6)＝eq \f(x－1,－2－1)，即10x－3y＋8＝0.]
[迁移探究1] 在题(1)中“将结论”改为“求点A(1,1)关于直线y＝2x＋1的对称点”，则结果如何？
[解] 设点A(1,1)关于直线y＝2x＋1的对称点为A′(a，b)，2分
则AA′的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋a,2)，\f(1＋b,2)))，4分
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1＋b,2)＝2×\f(1＋a,2)＋1，,\f(b－1,a－1)×2＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\f(3,5)，,b＝\f(9,5)，))10分
故点A(1,1)关于直线y＝2x＋1的对称点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(9,5))).12分
[迁移探究2] 在题(1)中“关于点(1,1)对称”改为“关于直线x－y＝0对称”，则结果如何？
[解] 在直线y＝2x＋1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于直线x－y＝0的对称点为M(1,0)，点B关于直线x－y＝0的对称点为N(3,1)，6分
∴根据两点式，得所求直线的方程为eq \f(y－1,0－1)＝eq \f(x－3,1－3)，即x－2y－1＝0.12分
[规律方法] 1.第(1)题求解的关键是利用中点坐标公式，将直线关于点的中心对称转化为点关于点的对称．
2．解决轴对称问题，一般是转化为求对称点问题，关键是要抓住两点，一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上．
[变式训练3] (2017·广州模拟)直线x－2y＋1＝0关于直线x＋y－2＝0对称的直线方程是( )
A．x＋2y－1＝0 B.2x－y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D.x＋2y－3＝0
B [由题意得直线x－2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0的交点坐标为(1,1)．
在直线x－2y＋1＝0上取点A(－1,0)，
设A点关于直线x＋y－2＝0的对称点为B(m，n)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－0,m＋1)×－1＝－1，,\f(m－1,2)＋\f(n,2)－2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝3.))
故所求直线的方程为eq \f(y－1,3－1)＝eq \f(x－1,2－1)，即2x－y－1＝0.]
[思想与方法]
1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意．
2．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，点与线的对称，利用坐标转移法．
[易错与防范]
1．判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．
2．(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式；
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|
d＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
两条直线的平行与垂直
两直线的交点与距离问题
对称问题