高三数学一轮复习： 第5章 第4节 数列求和

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1．公式法
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝na1＋eq \f(nn－1,2)d；
(2)等比数列的前n项和公式：
2．分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
3．裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
(2)裂项时常用的三种变形：
①eq \f(1,nn＋1)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)；
②eq \f(1,2n－12n＋1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))；
③eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
4．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解．
5．倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
6．并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12
＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝eq \f(a1－an＋1,1－q).( )
(2)当n≥2时，eq \f(1,n2－1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1))).( )
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．( )
(4)如果数列{an}是周期为k(k为大于1的正整数)的周期数列，那么Skm＝mSk.( )．
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．(教材改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝eq \f(1,nn＋1)，则S5等于( )
A．1 B.eq \f(5,6)
C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,30)
B [∵an＝eq \f(1,nn＋1)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，
∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋…－eq \f(1,6)＝eq \f(5,6).]
3．(2016·广东中山华侨中学3月模拟)已知等比数列{an}中，a2·a8＝4a5，等差数列{bn}中，b4＋b6＝a5，则数列{bn}的前9项和S9等于( )
A．9 B.18
C．36 D.72
B [∵a2·a8＝4a5，即aeq \\al(2,5)＝4a5，∴a5＝4，
∴a5＝b4＋b6＝2b5＝4，∴b5＝2，
∴S9＝9b5＝18，故选B.]
4．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn＝__________.
【导学号：01772188】
2n＋1－2＋n2 [Sn＝eq \f(21－2n,1－2)＋eq \f(n1＋2n－1,2)＝2n＋1－2＋n2.]
5．3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n＋2)·2－n＝__________.
4－eq \f(n＋4,2n) [设S＝3×eq \f(1,2)＋4×eq \f(1,22)＋5×eq \f(1,23)＋…＋(n＋2)×eq \f(1,2n)，
则eq \f(1,2)S＝3×eq \f(1,22)＋4×eq \f(1,23)＋5×eq \f(1,24)＋…＋(n＋2)×eq \f(1,2n＋1).
两式相减得eq \f(1,2)S＝3×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,22)＋\f(1,23)＋…＋\f(1,2n)))－eq \f(n＋2,2n＋1).
∴S＝3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,22)＋…＋\f(1,2n－1)))－eq \f(n＋2,2n)
＝3＋eq \f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1)),1－\f(1,2))－eq \f(n＋2,2n)＝4－eq \f(n＋4,2n).]
(2016·北京高考)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．
[解] (1)设等比数列{bn}的公比为q，则q＝eq \f(b3,b2)＝eq \f(9,3)＝3，
所以b1＝eq \f(b2,q)＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3n－1(n＝1,2,3，…).2分
设等差数列{an}的公差为d.
因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2.
所以an＝2n－1(n＝1,2,3，…).5分
(2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1.
因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.7分
从而数列{cn}的前n项和
Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1
＝eq \f(n1＋2n－1,2)＋eq \f(1－3n,1－3)＝n2＋eq \f(3n－1,2).12分
[规律方法] 分组转化法求和的常见类型
(1)若an ＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
易错警示：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论．
[变式训练1] (2016·浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.
(1)求通项公式an；
(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．
[解] (1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a2＝4，,a2＝2a1＋1，))则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,a2＝3.))2分
又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，
所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.5分
(2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，则b1＝2，b2＝1.
当n≥3时，由于3n－1>n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3.8分
设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3，
当n≥3时，Tn＝3＋eq \f(91－3n－2,1－3)－eq \f(n＋7n－2,2)＝eq \f(3n－n2－5n＋11,2)，
所以Tn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2， n＝1，,\f(3n－n2－5n＋11,2)， n≥2，n∈N*.))12分
(2015·全国卷Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和．已知an＞0，aeq \\al(2,n)＋2an＝4Sn＋3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝eq \f(1,anan＋1)，求数列{bn}的前n项和．
[解] (1)由aeq \\al(2,n)＋2an＝4Sn＋3，①
可知aeq \\al(2,n＋1)＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.②
②－①，得aeq \\al(2,n＋1)－aeq \\al(2,n)＋2(an＋1－an)＝4an＋1，
即2(an＋1＋an)＝aeq \\al(2,n＋1)－aeq \\al(2,n)＝(an＋1＋an)(an＋1－an).3分
由an>0，得an＋1－an＝2.
又aeq \\al(2,1)＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.
所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.5分
(2)由an＝2n＋1可知
bn＝eq \f(1,anan＋1)＝eq \f(1,2n＋12n＋3)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋3))).8分
设数列{bn}的前n项和为Tn，则
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝
eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)－\f(1,7)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋3)))))
＝eq \f(n,32n＋3).12分
[规律方法] 1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵捎，要注意消去了哪些项，保留了哪些项，从而达到求和的目的．
2．消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
[变式训练2] (2017·石家庄一模)已知等差数列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10项和S10＝100.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝eq \f(1,anan＋1)，求数列{bn}的前n项和．
[解] (1)由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a2＋a3＋a5＝4a1＋8d＝20，,10a1＋\f(10×9,2)d＝10a1＋45d＝100，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝2，))3分
所以数列{an}的通项公式为an＝1＋2(n－1)＝2n－1.5分
(2)bn＝eq \f(1,2n－12n＋1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))，8分
所以Tn＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋…＋\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq \f(n,2n＋1).12分
(2016·山东高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)令cn＝eq \f(an＋1n＋1,bn＋2n)，求数列{cn}的前n项和Tn.
[解] (1)由题意知当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5.
当n＝1时，a1＝S1＝11，符合上式．
所以an＝6n＋5.2分
设数列{bn}的公差为d.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝b1＋b2，,a2＝b2＋b3，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(11＝2b1＋d，,17＝2b1＋3d，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b1＝4，,d＝3.))所以bn＝3n＋1.5分
(2)由(1)知cn＝eq \f(6n＋6n＋1,3n＋3n)＝3(n＋1)·2n＋1.7分
又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，
得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，9分
两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]
＝3×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4＋\f(41－2n,1－2)－n＋1×2n＋2))
＝－3n·2n＋2，
所以Tn＝3n·2n＋2.12分
[规律方法] 1.如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，若{bn}的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论．
2．在书写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，即公比q的同次幂项相减，转化为等比数列求和．
[变式训练3] (2016·广东肇庆第三次模拟)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝6，S5＝15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝eq \f(an,2an)，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d，首项为a1.
∵S3＝6，S5＝15，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a1＋\f(1,2)×3×3－1d＝6，,5a1＋\f(1,2)×5×5－1d＝15，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋d＝2，,a1＋2d＝3，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝1.))3分
∴{an}的通项公式为an ＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n.5分
(2)由(1)得bn＝eq \f(an,2an)＝eq \f(n,2n)，6分
∴Tn＝eq \f(1,2)＋eq \f(2,22)＋eq \f(3,23)＋…＋eq \f(n－1,2n－1)＋eq \f(n,2n)，①
①式两边同乘eq \f(1,2)， 得
eq \f(1,2)Tn＝eq \f(1,22)＋eq \f(2,23)＋eq \f(3,24)＋…＋eq \f(n－1,2n)＋eq \f(n,2n＋1)，②
①－②得eq \f(1,2)Tn＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,23)＋…＋eq \f(1,2n)－eq \f(n,2n＋1)
＝eq \f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))－eq \f(n,2n＋1)＝1－eq \f(1,2n)－eq \f(n,2n＋1)，10分
∴Tn＝2－eq \f(1,2n－1)－eq \f(n,2n).12分
[思想与方法]
解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：
(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．
(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和．
[易错与防范]
1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．
2．利用裂项相消法求和的注意事项：
(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．
(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，
则eq \f(1,anan＋1)＝eq \f(1,d)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)－\f(1,an＋1)))，eq \f(1,anan＋2)＝eq \f(1,2d)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)－\f(1,an＋2))).
分组转化求和
裂项相消法求和
错位相减法求和