2021年山东省泰安市新泰市中考数学综合能力训练试卷（一）

这是一份2021年山东省泰安市新泰市中考数学综合能力训练试卷（一），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年山东省泰安市新泰市中考数学综合能力训练试卷（一）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分）
1．（4分）|﹣2021|的相反数是（　　）
A．2021 B． C．﹣2021 D．
2．（4分）下列运算中，正确的是（　　）
A．a2•a3＝a5 B．2a﹣a＝2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．2a+3b＝5ab
3．（4分）一条信息在一周内被转发0.0000218亿次，将数据0.0000218用科学记数法表示为（　　）
A．2.18×10﹣6 B．2.18×106 C．21.8×10﹣5 D．2.18×10﹣5
4．（4分）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为（　　）

A．4 B．6 C． D．8
5．（4分）某班组织了一次读书活动，统计了10名同学在一周内的读书时间，他们一周内的读书时间累计如表，则这10名同学一周内累计读书时间的中位数是（　　）
一周内累计的读书时间（小时）
5
8
10
14
人数（个）
1
4
3
2
A．8 B．7 C．9 D．10
6．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为（　　）

A．4 B．2 C．3 D．2.5
7．（4分）一元二次方程y2﹣y﹣＝0配方后可化为（　　）
A．（y+）2＝1 B．（y﹣）2＝1 C．（y+）2＝ D．（y﹣）2＝
8．（4分）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（　　）
A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
9．（4分）如图，函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（　　）

A． B． C． D．
11．（4分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
12．（4分）如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（　　）

A． B． C．6 D．3
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分）
13．（4分）方程组的解是　 　．
14．（4分）如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点B的坐标为（0，2），将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为（2，2），则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为　 　．

15．（4分）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7米，升旗台坡面CD的坡度i＝1：0.75，坡长CD＝2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC＝1米，则旗杆AB的高度约为　 　．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6）

16．（4分）如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为　 　．

17．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2．下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④＜a＜．其中正确结论有　 　．

18．（4分）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为　 　．

三、解答题（本大题共7个题，满分78分）
19．（10分）（1）化简求值：，已知x+y＝4，x﹣y＝．
（2）解不等式组：．
20．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．

21．（10分）2020年6月26日是第33个国际禁毒日，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从广安市某校800名学生中随机抽取部分学生进行调查，调查分为“不了解”“了解较少”“比较了解”“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有　 　人，估计该校800名学生中“比较了解”的学生有　 　人．
（2）请补全条形统计图．
（3）“不了解”的4人中有3名男生A1，A2，A3，1名女生B，为了提高学生对禁毒知识的了解，对这4人进行了培训，然后随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．

22．（10分）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．
（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；
（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；
（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？

23．（12分）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B′处，连接AB'，BB'，延长CD交BB'于点E，设∠ABC＝2α（0°＜α＜45°）．

（1）如图1，若AB＝AC，求证：CD＝2BE；
（2）如图2，若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系（用含α的式子表示）；
（3）如图3，将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC，连接EF交BC于点O，设△COE的面积为S1，△COF的面积为S2，求（用含α的式子表示）．
24．（13分）如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．
（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；
（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；
（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
25．（13分）如图，抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于A点，其中A、B、C三点构成直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4．
（1）求经过点A、B、C的抛物线的解析式；
（2）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，设所得△PAC的面积为S，求S等于多少时，相应的点P有且只有2个？
（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在．请说明理由．


2021年山东省泰安市新泰市中考数学综合能力训练试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分）
1．（4分）|﹣2021|的相反数是（　　）
A．2021 B． C．﹣2021 D．
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：|﹣2021|＝2021，
2021的相反数是﹣2021，
故选：C．
2．（4分）下列运算中，正确的是（　　）
A．a2•a3＝a5 B．2a﹣a＝2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．2a+3b＝5ab
【分析】根据合并同类项的法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，正确；
B、2a﹣a＝a，错误；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，错误；
D、2a+3b＝2a+3b，错误；
故选：A．
3．（4分）一条信息在一周内被转发0.0000218亿次，将数据0.0000218用科学记数法表示为（　　）
A．2.18×10﹣6 B．2.18×106 C．21.8×10﹣5 D．2.18×10﹣5
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000218＝2.18×10﹣5．
故选：D．
4．（4分）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为（　　）

A．4 B．6 C． D．8
【分析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，
∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，
∴∠B＝30°，
∵AN＝1，
∴MN＝2，
∴AC＝AN+NC＝3，
∴BC＝6，
故选：B．
5．（4分）某班组织了一次读书活动，统计了10名同学在一周内的读书时间，他们一周内的读书时间累计如表，则这10名同学一周内累计读书时间的中位数是（　　）
一周内累计的读书时间（小时）
5
8
10
14
人数（个）
1
4
3
2
A．8 B．7 C．9 D．10
【分析】根据中位数的概念求解．
【解答】解：∵共有10名同学，
∴第5名和第6名同学的读书时间的平均数为中位数，
则中位数为：＝9．
故选：C．
6．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为（　　）

A．4 B．2 C．3 D．2.5
【分析】直接利用切线的性质得出∠PDO＝90°，再利用相似三角形的判定与性质分析得出答案．
【解答】解：连接DO，
∵PD与⊙O相切于点D，
∴∠PDO＝90°，
∵∠C＝90°，
∴DO∥BC，
∴△PDO∽△PCB，
∴＝＝＝，
设PA＝x，则＝，
解得：x＝4，
故PA＝4．
故选：A．

7．（4分）一元二次方程y2﹣y﹣＝0配方后可化为（　　）
A．（y+）2＝1 B．（y﹣）2＝1 C．（y+）2＝ D．（y﹣）2＝
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：y2﹣y﹣＝0
y2﹣y＝
y2﹣y+＝1
（y﹣）2＝1
故选：B．
8．（4分）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（　　）
A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【解答】解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，
∴AM＝AB＝×8＝4（cm），OD＝OC＝5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，
∴OM＝＝＝3（cm），
∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），
∴AC＝＝＝4（cm）；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，
∵OC＝5cm，
∴MC＝5﹣3＝2（cm），
在Rt△AMC中，AC＝＝＝2（cm）．
故选：C．

9．（4分）如图，函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＞0，故选项正确；
C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；
D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．
故选：B．
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF＝AF，EF＝AE，由矩形的对称性得：AE＝DE，得出EF＝DE，设EF＝x，则DE＝3x，由勾股定理求出DF＝＝2x，再由三角函数的定义即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE＝BC＝AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴＝，
∴EF＝AF，
∴EF＝AE，
∵点E是边BC的中点，
由矩形的对称性得：AE＝DE，
∴EF＝DE，设EF＝x，则DE＝3x，
∴DF＝＝2x，
∴tan∠BDE＝＝＝；
故选：A．
11．（4分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△AFE≌Rt△ADE；在直角△ECG中，根据勾股定理即可求出DE的长．
【解答】解：如图，连接AE，

∵AB＝AD＝AF，∠D＝∠AFE＝90°，
在Rt△AFE和Rt△ADE中，
∵，
∴Rt△AFE≌Rt△ADE，
∴EF＝DE，
设DE＝FE＝x，则EC＝6﹣x．
∵G为BC中点，BC＝6，
∴CG＝3，
在Rt△ECG中，根据勾股定理，得：（6﹣x）2+9＝（x+3）2，
解得x＝2．
则DE＝2．
故选：C．
12．（4分）如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（　　）

A． B． C．6 D．3
【分析】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，利用轴对称的性质得MP＝MC，NP＝ND，OP＝OD＝OC＝，∠BOP＝∠BOD，∠AOP＝∠AOC，所以∠COD＝2∠AOB＝120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH＝DH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CD即可．
【解答】解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，
则MP＝MC，NP＝ND，OP＝OD＝OC＝，∠BOP＝∠BOD，∠AOP＝∠AOC，
∴PN+PM+MN＝ND+MN+MC＝DC，∠COD＝∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC＝2∠AOB＝120°，
∴此时△PMN周长最小，
作OH⊥CD于H，则CH＝DH，
∵∠OCH＝30°，
∴OH＝OC＝，
CH＝OH＝，
∴CD＝2CH＝3．
故选：D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分）
13．（4分）方程组的解是　　．
【分析】利用加减消元法求解可得．
【解答】解：，
②﹣①，得：3y＝3，
解得：y＝1，
将y＝1代入①，得：x﹣1＝2，
解得：x＝3，
所以方程组的解为，
故答案为：．
14．（4分）如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点B的坐标为（0，2），将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为（2，2），则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为　4　．

【分析】利用平移的性质得出AA′的长，根据等腰直角三角形的性质得到AA′对应的高，再结合平行四边形面积公式求出即可．
【解答】解：∵点B的坐标为（0，2），将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为（2，2），
∴AA′＝BB′＝2，
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴A（，），
∴AA′对应的高，
∴线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为2×＝4．
故答案为：4．
15．（4分）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7米，升旗台坡面CD的坡度i＝1：0.75，坡长CD＝2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC＝1米，则旗杆AB的高度约为　13.1米　．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6）

【分析】延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．在Rt△CDJ中求出CJ、DJ，再根据tan∠AEM＝构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．
在Rt△CJD中，＝＝，
设CJ＝4k，DJ＝3k，
则有9k2+16k2＝4，
∴k＝，
∴BM＝CJ＝，BC＝MJ＝1，DJ＝，EM＝MJ+DJ+DE＝，
在Rt△AEM中，tan∠AEM＝，
∴1.6＝，
解得AB≈13.1．
故旗杆AB的高度约为13.1米．
故答案为：13.1米．

16．（4分）如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为　　．

【分析】连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S扇形AOC﹣S菱形ABCO可得答案．
【解答】解：连接OB和AC交于点D，如图所示：

∵圆的半径为2，
∴OB＝OA＝OC＝2，
又四边形OABC是菱形，
∴OB⊥AC，OD＝OB＝1，
在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD＝＝，AC＝2CD＝2，
∵sin∠COD＝＝，
∴∠COD＝60°，∠AOC＝2∠COD＝120°，
∴S菱形ABCO＝OB×AC＝×2×2＝2，
S扇形AOC＝＝，
则图中阴影部分面积为S扇形AOC﹣S菱形ABCO＝﹣2，
故答案为：﹣2．
17．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2．下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④＜a＜．其中正确结论有　①②③④　．

【分析】根据开口方向、对称轴，与y轴的交点即可判断①；根据二次函数的对称性和图像上点的坐标特征即可判断②；根据二次函数的对称性和增减性即可判断③；通过求得c＝﹣5a，由2＜c＜3，即可判断④．
【解答】解：①由开口可知：a＜0，
∴对称轴x＝＞0，
∴b＞0，
由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），
对称轴为直线x＝2，
∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），
∴x＝3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②正确；
③由于＜2，
且（，y2）关于直线x＝2的对称点的坐标为（，y2），
∵，
∴y1＜y2，故③正确，
④∵﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∵x＝﹣1，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∵2＜c＜3，
∴2＜﹣5a＜3，
∴＜a＜，故④正确
故答案为①②③④．
18．（4分）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为　386　．

【分析】由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n＝，第n个正方形数为n2，据此可以得出最大的三角形数和正方形数，即可以求得m和n的值，从而可以计算出m+n的值．
【解答】解：由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n＝，第n个正方形数为n2，
当n＝19时，＝190＜200，当n＝20时，＝210＞200，
所以最大的三角形数m＝190；
当n＝14时，n2＝196＜200，当n＝15时，n2＝225＞200，所以最大的正方形数n＝196；
则m+n＝190+196＝386，
故答案为：386．
三、解答题（本大题共7个题，满分78分）
19．（10分）（1）化简求值：，已知x+y＝4，x﹣y＝．
（2）解不等式组：．
【分析】（1）根据分式的加减法和乘法可以化简题目中的式子，然后将x+y＝4，x﹣y＝代入化简后的式子即可解答本题；
（2）根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
＝（x+y）（x﹣y），
当x+y＝4，x﹣y＝时，原式＝4×＝12；
（2），
解不等式①，得
x≥2，
解不等式②，得
x＜5，
∴原不等式组的解集是2≤x＜5．
20．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．

【分析】（1）根据三角形相似，可求出点C坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；
（2）联立解析式，可求交点坐标；
（3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系．
【解答】解：（1）由已知，OA＝6，OB＝12，OD＝4
∵CD⊥x轴
∴OB∥CD
∴△ABO∽△ACD
∴
∴
∴CD＝20
∴点C坐标为（﹣4，20）
∴n＝xy＝﹣80
∴反比例函数解析式为：y＝﹣
把点A（6，0），B（0，12）代入y＝kx+b得：

解得：
∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+12
（2）当﹣＝﹣2x+12时，解得
x1＝10，x2＝﹣4
当x＝10时，y＝﹣8
∴点E坐标为（10，﹣8）
∴S△CDE＝S△CDA+S△EDA＝
（3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示各个象限一次函数图象不高于反比例函数图象，
∴由图象得，不等式kx+b≤的解集﹣4≤x＜0或x≥10．
21．（10分）2020年6月26日是第33个国际禁毒日，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从广安市某校800名学生中随机抽取部分学生进行调查，调查分为“不了解”“了解较少”“比较了解”“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有　40　人，估计该校800名学生中“比较了解”的学生有　320　人．
（2）请补全条形统计图．
（3）“不了解”的4人中有3名男生A1，A2，A3，1名女生B，为了提高学生对禁毒知识的了解，对这4人进行了培训，然后随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．

【分析】（1）用“不了解”类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）用8800乘以样本中“比较了解”的学生所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出恰好抽到2名男生的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为4÷10%＝40（人）；
∵本次抽取调查的学生中，比较了解”的学生有：40﹣14﹣6﹣4＝16（人），
∴估计该校800名学生中“比较了解”的学生有800×＝320（人），
故答案为：40，320；
（2）补全条形统计图如图：

（3）画树状图如图：

共有12个等可能的结果，恰好抽到2名男生的结果有6个，
∴恰好抽到2名男生的概率为＝．
22．（10分）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．
（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；
（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；
（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？

【分析】（1）根据线段EF经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；
（2）显然，当0≤x≤50时，y2＝70；当130≤x≤180时，y2＝54；当50＜x＜130时，设y2与x之间的函数关系式为y2＝mx+n，利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；
（3）利用：总利润＝每千克利润×产量，根据x的取值范围列出有关x的二次函数，求得最值比较可得．
【解答】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b，
∵经过点（0，168）与（180，60），
∴，解得：，
∴产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y1＝﹣x+168（0≤x≤180）；

（2）由题意，可得当0≤x≤50时，y2＝70；
当130≤x≤180时，y2＝54；
当50＜x＜130时，设y2与x之间的函数关系式为y2＝mx+n，
∵直线y2＝mx+n经过点（50，70）与（130，54），
∴，解得，
∴当50＜x＜130时，y2＝﹣x+80．
综上所述，生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y2＝；
（3）设产量为xkg时，获得的利润为W元，
①当0≤x≤50时，W＝x（﹣x+168﹣70）＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝50时，W的值最大，最大值为3400；
②当50＜x＜130时，W＝x[（﹣x+168）﹣（﹣x+80）]＝﹣（x﹣110）2+4840，
∴当x＝110时，W的值最大，最大值为4840；
③当130≤x≤180时，W＝x（﹣x+168﹣54）＝﹣（x﹣95）2+5415，
∴当x＝130时，W的值最大，最大值为4680．
因此当该产品产量为110kg时，获得的利润最大，最大值为4840元．
23．（12分）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B′处，连接AB'，BB'，延长CD交BB'于点E，设∠ABC＝2α（0°＜α＜45°）．

（1）如图1，若AB＝AC，求证：CD＝2BE；
（2）如图2，若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系（用含α的式子表示）；
（3）如图3，将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC，连接EF交BC于点O，设△COE的面积为S1，△COF的面积为S2，求（用含α的式子表示）．
【分析】（1）由翻折可知：BE＝EB′，再利用全等三角形的性质证明CD＝BB′即可；
（2）如图2中，结论：CD＝2•BE•tan2α．只要证明△BAB′∽△CAD，可得＝＝，推出＝，可得CD＝2•BE•tan2α；
（3）首先证明∠ECF＝90°，由∠BEC+∠ECF＝180°，推出BB′∥CF，推出＝＝＝sin（45°﹣α），由此即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，

∵B、B′关于EC对称，
∴BB′⊥EC，BE＝EB′，
∴∠DEB＝∠DAC＝90°，
∵∠EDB＝∠ADC，
∴∠DBE＝∠ACD，
∵AB＝AC，∠BAB′＝∠DAC＝90°，
∴△BAB′≌△CAD，
∴CD＝BB′＝2BE．

（2）如图2中，结论：CD＝2•BE•tan2α．

理由：由（1）可知：∠ABB′＝∠ACD，∠BAB′＝∠CAD＝90°，
∴△BAB′∽△CAD，
∴＝＝，
∴＝，
∴CD＝2•BE•tan2α．

（3）如图 3中，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°﹣2α，
∵EC平分∠ACB，
∴∠ECB＝（90°﹣2α）＝45°﹣α，
∵∠BCF＝45°+α，
∴∠ECF＝45°﹣α+45°+α＝90°，
∴∠BEC+∠ECF＝180°，
∴BB′∥CF，
∴＝＝＝sin（45°﹣α），
∵＝，
∴＝sin（45°﹣α）．
24．（13分）如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．
（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；
（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；
（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
【分析】（1）先判断出∠OCE＝60°，再利用特殊角的三角函数得出OD＝OC，同OE＝OC，即可得出结论；
（2）同（1）的方法得OF+OG＝OC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF＝EG，最后等量代换即可得出结论；
（3）同（2）的方法即可得出结论．
【解答】解：（1）∵OM是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝30°，
∵CD⊥OA，
∴∠ODC＝90°，
∴∠OCD＝60°，
∴∠OCE＝∠DCE﹣∠OCD＝60°，
在Rt△OCD中，OD＝OC•cos30°＝OC，
同理：OE＝OC，
∴OD+OE＝OC；

（2）（1）中结论仍然成立，理由：
过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，
∴∠OFC＝∠OGC＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠FCG＝120°，
同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，
∴OF+OG＝OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，
∴CF＝CG，
∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，
∴∠DCF＝∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF＝EG，
∴OF＝OD+DF＝OD+EG，OG＝OE﹣EG，
∴OF+OG＝OD+EG+OE﹣EG＝OD+OE，
∴OD+OE＝OC；

（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣OD＝OC，
理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，
∴∠OFC＝∠OGC＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠FCG＝120°，
同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，
∴OF+OG＝OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，
∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，
∴∠DCF＝∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF＝EG，
∴OF＝DF﹣OD＝EG﹣OD，OG＝OE﹣EG，
∴OF+OG＝EG﹣OD+OE﹣EG＝OE﹣OD，
∴OE﹣OD＝OC．
25．（13分）如图，抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于A点，其中A、B、C三点构成直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4．
（1）求经过点A、B、C的抛物线的解析式；
（2）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，设所得△PAC的面积为S，求S等于多少时，相应的点P有且只有2个？
（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在．请说明理由．

【分析】（1）求出点A，B，C的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）过P作x轴的垂线，交AC于Q，交x轴于H；设出点P的横坐标（设为m），根据抛物线和直线AC的解析式，即可表示出P、Q的纵坐标，从而可得到PQ的长，然后分两种情况进行讨论：①P点在第一象限时，即0＜m＜8时，可根据PQ的长以及A、C的坐标，分别表示出△APQ、△CPQ的面积，它们的面积和即为△APC的面积，由此可得到S的表达式，通过配方即可得到S的取值范围；②当P在第二象限时，即﹣2≤m＜0时，同①可求得△APQ、△CPQ的面积，此时它们的面积差为△APC的面积，同理可求得S的取值范围；根据两个S的取值范围，即可判断出所求的结论；
（3）分别利用：①当BQ＝QC时，②当BC＝CQ1时，③当BQ3＝BC时，结合勾股定理求出答案．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴BC＝10，
∵S△ABC＝×AB×AC＝×BC×AO，即2×4＝10×AO，
解得：AO＝4，
则OC＝＝8，则BO＝2，
即B（﹣2，0），C（8，0），A（0，4），
设经过点A、B、C的抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣8），
则4＝a（0+2）（0﹣8），
解得：a＝﹣，
故y＝﹣（x+2）（x﹣8）＝﹣x2+x+4；

（2）设直线AC对应的函数解析式为：y＝kx+b得：
，解得，
∴直线AC对应的函数解析式为：y＝﹣x+4，
如图，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC于点Q；

设P（m，﹣m2+m+4），则Q（m，﹣m+4）．
①当0＜m＜8时，
PQ＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，
S＝S△APQ+S△CPQ＝×8×（﹣m2+2m）＝﹣（m﹣4）2+16，
∴0＜S≤16；
②当﹣2≤m＜0时，
PQ＝（﹣m+4）﹣（﹣m2+m+4）＝m2﹣2m，
S＝S△CPQ﹣S△APQ＝×8×（m2﹣2m）＝（m﹣4）2﹣16，
∴0＜S＜20；
∴当0＜S＜16时，0＜m＜8中有m两个值，﹣2≤m＜0中m有一个值，此时有三个；
当16＜S＜20时，﹣2≤m＜0中m只有一个值；
当S＝16时，m＝4或m＝4﹣4这两个．
故当S＝16时，相应的点P有且只有两个；

（3）存在，理由：
如图2所示：①当BQ＝QC时，∵B（﹣2，0），C（8，0），

∴Q点横坐标为：3，
则y＝﹣×3+4＝，
故此时Q点坐标为：（3，），
②当BC＝CQ1时，
设Q1（x，﹣x+4），
过点Q1D⊥x轴于点D，
则DC＝x﹣8，DQ1＝﹣x+4，
故DC2+Q1D2＝Q1C2，
期（x﹣8）2+（﹣x+4）2＝100，
解得：x1＝8+4，x2＝8﹣4，
故y＝﹣2或2，
可得Q1（8+4，﹣2），Q2（8﹣4，2）；
③当BQ3＝BC时，
同理可得：Q3F＝﹣x+4，FB＝2﹣x，
故（2﹣x）2+（﹣x+4）2＝100，
解得：x1＝8（不合题意舍去），x2＝﹣8，
则y＝8，
故Q3（﹣8，8），
综上所述：使△QBC为等腰三角形的所有符合条件的点Q的坐标分别为：（3，），（8+4，﹣2），（8﹣4，2），（﹣8，8）．