高中数学高考第6讲　离散型随机变量的均值与方差

第6讲　离散型随机变量的均值与方差

一、选择题

1.已知离散型随机变量X的概率分布列为

则其方差D(X)＝(　　)

A.1   B.0.6   C.2.44   D.2.4

解析　由0.5＋m＋0.2＝1得m＝0.3，∴E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，∴D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.

答案　C

2.(2017·西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　　)

A.100   B.200   C.300   D.400

解析　设没有发芽的种子有ξ粒，则ξ～B(1 000，0.1)，且X＝2ξ，∴E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝2×1 000×0.1＝200.

答案　B

3.已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为(　　)

A.n＝4，p＝0.6   B.n＝6，p＝0.4

C.n＝8，p＝0.3    D.n＝24，p＝0.1

解析　由二项分布X～B(n，p)及E(X)＝np，D(X)＝np·(1－p)得2.4＝np，且1.44＝np(1－p)，解得n＝6，p＝0.4.故选B.

答案　B

4.已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是(　　)

A.6，2.4    B.2，2.4

C.2，5.6    D.6，5.6

解析　由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.

答案　B

5.口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的数学期望E(X)的值是(　　)

A.4   B.4.5   C.4.75   D.5

解析　由题意知，X可以取3，4，5，P(X＝3)＝＝，

P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝＝，

所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝4.5.

答案　B

二、填空题

6.设X为随机变量，X～B，若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则P(X＝2)等于________.

解析　由X～B，E(X)＝2，得

np＝n＝2，∴n＝6，

则P(X＝2)＝C＝.

答案　

7.随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.

解析　设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，

则解得

所以D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.

答案　

8.(2017·合肥模拟)某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是7 000元、5 600元、4 200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是________元.

解析　由题意知a＋2a＋4a＝1，∴a＝，∴获得一、二、三等奖的概率分别为，，，∴所获奖金的期望是E(X)＝×7 000＋×5 600＋×4 200＝5 000元.

答案　5 000

三、解答题

9.(2017·成都诊断)据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注.为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3 600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：

已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05.

(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？

(2)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流.求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望.

解　(1)因为抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，所以＝0.05，解得x＝60.

所以持“无所谓”态度的人数为3 600－2 100－120－600－60＝720，所以应在持“无所谓”态度的人中抽取720×＝72人.

(2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有180人，

所以在所抽取的6人中，在校学生为×6＝4人，社会人士为×6＝2人，于是第一组在校学生人数ξ＝1，2，3，

P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，

P(ξ＝3)＝＝，

所以ξ的分布列为

所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.

10.(2017·郑州一模)在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手(1～6)登台演出，由现场百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名.

(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；

(2)X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望.

解　(1)设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，B表示事件：“媒体乙选中3号歌手”，C表示事件：“媒体丙选中3号歌手”，则

P(A)＝＝，P(B)＝＝，

∴媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率为

P(A)＝×＝.

(2)P(C)＝＝，

由已知得X的可能取值为0，1，2，3，

P(X＝0)＝P()＝××

＝.

P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＋P(C)

＝××＋××＋××＝，

P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)

＝××＋××＋××＝，

P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝，

∴X的分布列为

∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

11.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　由题意，X～B，

又E(X)＝＝3，∴m＝2，

则X～B，故D(X)＝5××＝.

答案　B

12.袋中装有大小完全相同，标号分别为1，2，3，…，9的九个球.现从袋中随机取出3个球.设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3，4，5，则有两组相邻的标号3，4和4，5，此时ξ的值是2)，则随机变量ξ的均值E(ξ)为(　　)

A.   B. C.   D.

解析　依题意得，ξ的所有可能取值是0，1，2.

且P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝，因此E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.

答案　D

13.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表：

请小牛同学计算ξ的均值.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.

解析　设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为1－2x，则E(ξ)＝1×x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2.

答案　2

14.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.

(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；

(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：

若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

解　(1)依题意，p1＝P(40<X<80)＝＝0.2，

p2＝P(80≤x≤120)＝＝0.7，

p3＝P(X>120)＝＝0.1.

由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为

p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝＋4××＝0.947 7.

(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元).

①安装1台发电机的情形.

由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，

对应的年利润Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.

②安装2台发电机的情形.

依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5 000－800＝4 200，因此P(Y＝4 200)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2＝10 000，因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下：

所以，E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840.

③安装3台发电机的情形.

依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5 000－1 600＝3 400，因此P(Y＝3 400)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；

当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2－800＝9 200，因此P(Y＝9 200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；

当X>120时，三台发电机运行，此时Y＝5 000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.因此得Y的分布列如下：

所以，E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620.

综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.