高三数学一轮复习： 第10章 第8节 二项分布与正态分布

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1．条件概率
2.事件的相互独立性
(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)．
②如果事件A与B相互独立，那么A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也相互独立．
3．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai(i＝1,2，…，n)是第i次试验结果，则
P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)．
(2)二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
4．正态分布
(1)正态曲线的特点：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π))；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
(2)正态分布的三个常用数据
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6；
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4；
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．( )
(2)P(AB)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)．( )
(3)在正态分布函数φμ，σ(x)＝eq \f(1,\r(2πσ))eeq \f(－x－μ2,2σ2)中，μ是正态分布的期望值，σ是正态分布的标准差．( )
(4)二项分布是一个用公式P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是eq \f(1,3)，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )
A.eq \f(4,9) B.eq \f(2,9)
C.eq \f(4,27) D.eq \f(2,27)
A [所求概率P＝Ceq \\al(1,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))1·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))3－1＝eq \f(4,9).]
3．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同．甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(3,8) D.eq \f(2,9)
B [设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，依题意P(A)＝eq \f(2,10)＝eq \f(1,5)，P(AB)＝eq \f(2×3,10×9)＝eq \f(1,15).
故P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(1,3).]
4．(2015·全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A．0.648

A [3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝Ceq \\al(2,3)×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝Ceq \\al(2,3)×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.]
5．(2017·郑州调研)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜4)＝________.
0．6 [由P(ξ＜4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2.
又正态曲线关于x＝2对称．
则P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，
∴P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.]
(1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )
【导学号：01772416】
A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,2)
(2)如图10­8­1，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝________.
图10­8­1
(1)B (2)eq \f(1,4) [(1)法一：事件A包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)，即n(A)＝4，
事件AB发生的结果只有(2,4)一种情形，即n(AB)＝1.
故由古典概型概率P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)＝eq \f(1,4).
法二：P(A)＝eq \f(C\\al(2,3)＋C\\al(2,2),C\\al(2,5))＝eq \f(4,10)，P(AB)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,5))＝eq \f(1,10).
由条件概率计算公式，得P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(1,10),\f(4,10))＝eq \f(1,4).
(2)由题意可得，事件A发生的概率
P(A)＝eq \f(S正方形EFGH,S圆O)＝eq \f(\r(2)×\r(2),π×12)＝eq \f(2,π).
事件AB表示“豆子落在△EOH内”，
则P(AB)＝eq \f(S△EOH,S圆O)＝eq \f(\f(1,2)×12,π×12)＝eq \f(1,2π).
故P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(1,2π),\f(2,π))＝eq \f(1,4).]
[规律方法] 条件概率的求法
(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)求P(B|A)．
(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝eq \f(nAB,nA).
[变式训练1] 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )
A.eq \f(11,27) B.eq \f(11,24)
C.eq \f(8,27) D.eq \f(9,24)
C [设从1号箱取到红球为事件A，从2号箱取到红球为事件B.
由题意，P(A)＝eq \f(4,2＋4)＝eq \f(2,3)，P(B|A)＝eq \f(3＋1,8＋1)＝eq \f(4,9)，
所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝eq \f(2,3)×eq \f(4,9)＝eq \f(8,27)，
所以两次都取到红球的概率为eq \f(8,27).]
(2017·南宁质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为eq \f(2,3)和eq \f(3,5).现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列.
【导学号：01772417】
[解] 记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P(E)＝eq \f(2,3)，P(eq \x\t(E))＝eq \f(1,3)，P(F)＝eq \f(3,5)，P(eq \x\t(F))＝eq \f(2,5)，且事件E与F，E与eq \x\t(F)，eq \x\t(E)与F，eq \x\t(E)与eq \x\t(F)都相互独立.2分
(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则eq \(H,\s\up13(－))＝eq \(E,\s\up13(－))eq \(F,\s\up13(－))，于是P(eq \(H,\s\up13(－)))＝P(eq \(E,\s\up13(－)))P(eq \(F,\s\up13(－)))＝eq \f(1,3)×eq \f(2,5)＝eq \f(2,15).
故所求的概率为P(H)＝1－P(eq \(H,\s\up13(－)))＝1－eq \f(2,15)＝eq \f(13,15).5分
(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0,100,120,220.因为P(X＝0)＝P(eq \(E,\s\up13(－))eq \(F,\s\up13(－)))＝eq \f(1,3)×eq \f(2,5)＝eq \f(2,15)，
P(X＝100)＝P(eq \(E,\s\up13(－))F)＝eq \f(1,3)×eq \f(3,5)＝eq \f(1,5)，
P(X＝120)＝P(Eeq \(F,\s\up13(－)))＝eq \f(2,3)×eq \f(2,5)＝eq \f(4,15)，
P(X＝220)＝P(EF)＝eq \f(2,3)×eq \f(3,5)＝eq \f(2,5).8分
故所求X的分布列为
12分
[规律方法] 1.求解该类问题关键是正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．
2．求相互独立事件同时发生的概率的主要方法．
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
(2)正面计算较繁(如求用“至少”表达的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
[变式训练2] 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手，各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X≥2”的事件概率．
[解] (1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，
则P(A)＝eq \f(C\\al(1,2),C\\al(2,3))＝eq \f(2,3)，P(B)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(3,5))＝eq \f(3,5).2分
∵事件A与B相互独立，A与eq \(B,\s\up13(－))相互独立，则Aeq \(B,\s\up13(－))表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”．
∴P(Aeq \(B,\s\up13(－)))＝P(A)·P(eq \(B,\s\up13(－)))＝P(A)·[1－P(B)]＝eq \f(2,3)×eq \f(2,5)＝eq \f(4,15).5分
(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，
则P(C)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(3,5))＝eq \f(3,5).7分
依题意，A，B，C相互独立，eq \(A,\s\up13(－))，eq \(B,\s\up13(－))，eq \(C,\s\up13(－))相互独立，
且ABeq \(C,\s\up13(－))，Aeq \(B,\s\up13(－))C，eq \(A,\s\up13(－))BC，ABC彼此互斥．
又P(X＝2)＝P(ABeq \(C,\s\up13(－)))＋P(Aeq \(B,\s\up13(－))C)＋P(eq \(A,\s\up13(－))BC)＝eq \f(2,3)×eq \f(3,5)×eq \f(2,5)＋eq \f(2,3)×eq \f(2,5)×eq \f(3,5)＋eq \f(1,3)×eq \f(3,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(33,75)，10分
P(X＝3)＝P(ABC)＝eq \f(2,3)×eq \f(3,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(18,75).
∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq \f(33,75)＋eq \f(18,75)＝eq \f(17,25).12分
(2017·北京东城区质检)在2016～2017赛季CBA联赛中，某队甲、乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表(注：表中分数eq \f(n,N)，N表示投篮次数，n表示命中次数)，假设各场比赛相互独立.
根据统计表的信息：
(1)从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于0.5的概率；
(2)试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0.5的概率；
(3)在接下来的3场比赛中，用X表示这3场比赛中乙球员命中率超过0.5的场次，试写出X的分布列，并求X的数学期望.
【导学号：01772418】
[解] (1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，甲球员投篮命中率超过0.5的场次有5场，分别是4,5,6,7,10，所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过0.5的概率是eq \f(1,2).4分
(2)在10场比赛中，乙球员投篮命中率超过0.5的场次有4场，分别是3,6,8,10，所以在随机选择的一场比赛中，乙球员的投篮命中率超过0.5的概率是eq \f(2,5).6分
设在一场比赛中，甲、乙两名运动员恰有一人命中率超过0.5为事件A，甲队员命中率超过0.5且乙队员命中率不超过0.5为事件B1，乙队员命中率超过0.5且甲队员命中率不超过0.5为事件B2，
则P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝eq \f(1,2)×eq \f(3,5)＋eq \f(1,2)×eq \f(2,5)＝eq \f(1,2).8分
(3)X的可能取值为0,1,2,3，依题意X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(2,5))).
P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))3＝eq \f(27,125)；
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＝eq \f(54,125)；
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))1＝eq \f(36,125)；
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))3＝eq \f(8,125)，10分
X的分布列如下表：
E(X)＝np＝3×eq \f(2,5)＝eq \f(6,5).12分
[规律方法] 1.求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件，还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．
2．(1)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．
(2)牢记公式Pn(k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，并深刻理解其含义．
[变式训练3] 某架飞机载有5位空降兵依次空降到A，B，C三个地点，每位空降兵都要空降到A，B，C中的任意一个地点，且空降到每一个地点的概率都是eq \f(1,3)，用ξ表示地点C空降人数，求：
(1)地点A空降1人，地点B，C各空降2人的概率；
(2)随机变量ξ的分布列与数学期望．
[解] (1)设“地点A空降1人，地点B，C各空降2人”为事件M，易知基本事件的总数n＝35＝243个，事件M发生包含的基本事件M＝Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(2,4)＝30个．
故所求事件M的概率P(M)＝eq \f(m,n)＝eq \f(30,243)＝eq \f(10,81).5分
(2)依题意，5位空降兵空降到地点C相当于5次独立重复试验．
∴ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(1,3)))，且ξ的取值可能为0,1,2,3,4,5.
则P(ξ＝k)＝Ceq \\al(k,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))5－k.
∴P(ξ＝0)＝Ceq \\al(0,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))5＝eq \f(32,243)，P(ξ＝1)＝Ceq \\al(1,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))4＝eq \f(80,243)，
P(ξ＝2)＝Ceq \\al(2,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(80,243)，P(ξ＝3)＝Ceq \\al(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＝eq \f(40,243)，
P(ξ＝4)＝Ceq \\al(4,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝eq \f(10,243)，P(ξ＝5)＝Ceq \\al(5,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))5＝eq \f(1,243).10分
∴随机变量ξ的分布列为：
根据二项分布得数学期望E(ξ)＝5×eq \f(1,3)＝eq \f(5,3).12分
(2015·山东高考)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ＝99.74%.)
A．4.56% %
C．27.18% %
B [由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P(3＜ξ＜6)＝eq \f(P－6＜ξ＜6－P－3＜ξ＜3,2)＝eq \f(0.954 4－0.682 6,2)＝0.135 9＝13.59%，故选B.]
[规律方法] 1.利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．
2．利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用：
(1)P(X＜a)＝1－P(X≥a)；(2)P(X＜μ－σ)＝P(X≥μ＋σ)．
[变式训练4] (2017·河南名校联考)在如图10­8­2所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
(参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 4.)
图10­8­2
A．1 193 B.1 359
C．2 718 D.3 413
B [对于正态分布N(－1,1)，μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于x＝－1对称，故题图中阴影部分的面积为eq \f(1,2)×[P(－3＜X＜1)－P(－2＜X＜0)]＝eq \f(1,2)×[P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)－P(μ－σ＜X＜μ＋σ)]＝eq \f(1,2)×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，所以点落入题图中阴影部分的概率P＝eq \f(0.135 9,1)＝0.135 9，
投入10 000个点，落入阴影部分的个数约为10 000×0.135 9＝1 359.]
[思想与方法]
1．古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(nAB,nA)，其中，在实际应用中P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)是一种重要的求条件概率的方法．
2．相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
3．n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次可看作是Ceq \\al(k,n)个互斥事件的和，其中每一个事件发生的概率都是pk(1－p)n－k.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k.
4．若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.
[易错与防范]
1．易混淆“相互独立”和“事件互斥”
两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．
2．易混淆P(B|A)与P(A|B)
前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．
3．易混淆二项分布与两点分布
由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1时的二项分布．
条件概率的定义
条件概率的性质
设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率
(1)0≤P(B|A)≤1；
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)
条件概率
相互独立事件同时发生的概率
X
0
100
120
220
P
eq \f(2,15)
eq \f(1,5)
eq \f(4,15)
eq \f(2,5)
独立重复试验与二项分布
场次
球员
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
eq \f(5,13)
eq \f(4,12)
eq \f(14,30)
eq \f(5,9)
eq \f(14,19)
eq \f(10,16)
eq \f(12,23)
eq \f(4,8)
eq \f(6,13)
eq \f(10,19)
乙
eq \f(13,26)
eq \f(9,18)
eq \f(9,14)
eq \f(8,16)
eq \f(6,15)
eq \f(10,14)
eq \f(7,21)
eq \f(9,16)
eq \f(10,22)
eq \f(12,20)
X
0
1
2
3
P
eq \f(27,125)
eq \f(54,125)
eq \f(36,125)
eq \f(8,125)
ξ
0
1
2
3
4
5
P
eq \f(32,243)
eq \f(80,243)
eq \f(80,243)
eq \f(40,243)
eq \f(10,243)
eq \f(1,243)
正态分布及应用