高三数学一轮复习： 第2章 第12节 导数与函数的极值、最值

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1．函数的极值与导数的关系
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
2．函数的最值与导数的关系
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的极大值一定比极小值大．( )
(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．( )
(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( )
(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图2­12­1所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为( )
图2­12­1
A．1 B.2
C.3 D.4
A [导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．]
3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq \f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件 B.11万件
C．9万件 D.7万件
C [y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9或x＝－9(舍去)．
当x∈(0,9)时，y′＞0，当x∈(9，＋∞)时，y′＜0，
则当x＝9时，y有最大值．
即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]
4．(2016·四川高考)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )
A．－4 B.－2
C．4 D.2
D [由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.]
5．函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________．
8 [y′＝6x2－4x，令y′＝0，
得x＝0或x＝eq \f(2,3).
∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝－eq \f(8,27)，
f(2)＝8，∴最大值为8.]
☞角度1 根据函数图象判断极值
设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图2­12­2所示，则下列结论中一定成立的是( )
图2­12­2
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
D [由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．]
☞角度2 求函数的极值
求函数f(x)＝x－aln x(a∈R)的极值．
[解] 由f′(x)＝1－eq \f(a,x)＝eq \f(x－a,x)，x＞0知：
(1)当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；5分
(2)当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，9分
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值.12分
☞角度3 已知极值求参数
(1)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
【导学号：01772087】
A．(－∞，0) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C．(0,1) D.(0，＋∞)
(2)设f(x)＝ln(1＋x)－x－ax2，若f(x)在x＝1处取得极值，则a的值为________．
(1)B (2)－eq \f(1,4) [(1)∵f(x)＝x(ln x－ax)，
∴f′(x)＝ln x－2ax＋1，
故f′(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，
令f′(x)＝0，则2a＝eq \f(ln x＋1,x)，
设g(x)＝eq \f(ln x＋1,x)，则g′(x)＝eq \f(－ln x,x2)，
∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
又∵当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，
而g(x)max＝g(1)＝1，
∴只需0＜2a＜1⇒0＜a＜eq \f(1,2).
(2)由题意知，f(x)的定义域为(－1，＋∞)，
且f′(x)＝eq \f(1,1＋x)－2ax－1＝eq \f(－2ax2－2a＋1x,1＋x)，
由题意得，f′(1)＝0，则－2a－2a－1＝0，
得a＝－eq \f(1,4)，又当a＝－eq \f(1,4)时，
f′(x)＝eq \f(\f(1,2)x2－\f(1,2)x,1＋x)＝eq \f(\f(1,2)xx－1,1＋x)，
当0＜x＜1时，f′(x)＜0；
当x＞1时，f′(x)＞0，
∴f(1)是函数f(x)的极小值，
∴a＝－eq \f(1,4).]
[规律方法] 利用导数研究函数极值的一般流程
已知函数f(x)＝x－eax(a＞0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，\f(2,a)))上的最大值．
[解] (1)f(x)＝x－eax(a＞0)，则f′(x)＝1－aeax，
令f′(x)＝1－aeax＝0，则x＝eq \f(1,a)lneq \f(1,a).3分
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
故函数f(x)的增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,a)ln\f(1,a)))；减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)ln\f(1,a)，＋∞)).6分
(2)当eq \f(1,a)lneq \f(1,a)≥eq \f(2,a)，即0＜a≤eq \f(1,e2)时，
f(x)max＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)))＝eq \f(2,a)－e2；9分
当eq \f(1,a)＜eq \f(1,a)lneq \f(1,a)＜eq \f(2,a)，即eq \f(1,e2)＜a＜eq \f(1,e)时，
f(x)max＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)ln\f(1,a)))＝eq \f(1,a)lneq \f(1,a)－eq \f(1,a)；
当eq \f(1,a)lneq \f(1,a)≤eq \f(1,a)，即a≥eq \f(1,e)时，
f(x)max＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝eq \f(1,a)－e.12分
[规律方法] 求函数f(x)在[a，b]上的最大值、最小值的步骤：
(1)求函数在(a，b)内的极值；
(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；
(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值．
[变式训练1] (2017·石家庄质检(二))若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为( )
A．2 B.3
C.6 D.9
D [f′(x)＝12x2－2ax－2b，则f′(1)＝12－2a－2b＝0，a＋b＝6，又a＞0，b＞0，则t＝ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，故选D.]
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝eq \f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
[解] (1)因为x＝5时，y＝11，所以eq \f(a,2)＋10＝11，a＝2.5分
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y＝eq \f(2,x－3)＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x)＝(x－3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,x－3)＋10x－62))
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由上表可得，x＝4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，9分
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.12分
[规律方法] 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)回归实际问题作答．
[变式训练2] 某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系y＝eq \f(1,3)x3－eq \f(39,2)x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则速度应定为________.
【导学号：01772088】
40 [由y′＝x2－39x－40＝0，
得x＝－1或x＝40，
由于0＜x＜40时，y′＜0；
x＞40时，y′＞0.
所以当x＝40时，y有最小值．]
[思想与方法]
1．可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
2．求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断，直接与端点的函数值比较即可．
3．如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．
4．若函数f(x)在定义域A上存在最大值与最小值，则：
(1)对任意x∈A，f(x)＞0⇔f(x)min＞0；
(2)存在x∈A，f(x)＞0⇔f(x)max＞0.
[易错与防范]
1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．
2．导数为零的点不一定是极值点．对含参数的求极值问题，应注意分类讨论．
3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．
4．利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义．
利用导数研究函数的极值问题
利用导数解决函数的最值问题
x
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,a)ln\f(1,a)))
eq \f(1,a)lneq \f(1,a)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)ln\f(1,a)，＋∞))
f′(x)
＋
0
－
f(x)

极大值

利用导数研究生活中的优化问题
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增
极大值42
单调递减