高三数学一轮复习： 第7章 第2节 空间几何体的表面积与体积

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第二节　空间几何体的表面积与体积 [考纲传真]　了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．1．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱圆锥圆台侧面展开图　侧面积公式　S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l3.柱、锥、台和球的表面积和体积1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积．(　　)(2)球的体积之比等于半径比的平方．(　　)(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(　　)(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝a.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)A．1 cm　　　　　　 B.2 cmC．3 cm  D. cmB　[S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm)．]3．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图7­2­1，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　)图7­2­1A．14斛  B.22斛C．36斛  D.66斛B　[设米堆的底面半径为r尺，则r＝8，所以r＝，所以米堆的体积为V＝×π·r2·5＝×2×5≈(立方尺)．故堆放的米约有÷1.62≈22(斛)．故选B.]4．(2016·全国卷Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)A．12π  B.πC．8π  D.4πA　[设正方体棱长为a，则a3＝8，所以a＝2.所以正方体的体对角线长为2，所以正方体外接球的半径为，所以球的表面积为4π·()2＝12π，故选A.]5．(2017·郑州质检)某几何体的三视图如图7­2­2所示(单位：cm)，则该几何体的体积是________cm3.图7­2­2　[由三视图可知该几何体是由棱长为2 cm的正方体与底面为边长为2 cm的正方形、高为2 cm的四棱锥组成，V＝V正方体＋V四棱锥＝8 cm3＋ cm3＝ cm3.]空间几何体的表面积　(1)某三棱锥的三视图如图7­2­3所示，则该三棱锥的表面积是(　　)图7­2­3A．2＋　　 B.4＋　C.2＋2　　 D.5(2)(2016·全国卷Ⅰ)如图7­2­4，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是(　　)图7­2­4A．17π  B.18πC．20π  D.28π(1)C　(2)A　[(1)由三视图作出三棱锥如图所示，在三棱锥A­BCD中，AD⊥平面BCD.△BCD为等腰三角形，E为BC的中点，连接AE，DE，又AD＝BE＝EC＝1，DE＝2，所以BD＝CD＝，AE＝.则S△ACD＝S△ABD＝×1×＝，S△ABC＝×2×＝，S△BCD＝2.故S表＝S△ACD＋S△ABD＋S△BCD＋S△ABC＝2＋2.(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的，得到的几何体如图．设球的半径为R，则πR3－×πR3＝π，解得R＝2.因此它的表面积为×4πR2＋πR2＝17π.故选A.][规律方法]　1.(1)多面体与旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积之和．(2)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理．2．若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解．[变式训练1]　(2016·全国卷Ⅲ)如图7­2­5，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　　)【导学号：01772245】图7­2­5A．18＋36  B.54＋18C．90  D.81B　[由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×3)×2＝54＋18.故选B.]空间几何体的体积　 (1)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)A.  B.C.  D.2π(2)(2016·天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图7­2­6所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.图7­2­6(1)C　(2)2　[(1)过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示．由于V圆柱＝π·AB2·BC＝π×12×2＝2π，V圆锥＝π·CE2·DE＝π·12×(2－1)＝，所以该几何体的体积V＝V圆柱－V圆锥＝2π－＝.(2)由三视图知，四棱锥的高为3，底面平行四边形的一边长为2，对应高为1，所以其体积V＝Sh＝×2×1×3＝2.][规律方法]　1.若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．2．若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法(转换的原则是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解．3．若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．[变式训练2]　一个几何体的三视图如图7­2­7所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.图7­2­7π　[由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V＝π×12×1×2＋π×12×2＝π.]多面体与球的切、接问题　(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)A．4π  B.C.6π  D.B　[由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10，要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.则×6×8＝×(6＋8＋10)·r，则r＝2.此时2r＝4＞3，不合题意．因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大．由2R＝3，即R＝.故球的最大体积V＝πR3＝π.][迁移探究1]　若本例中的条件变为“直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积．[解]　将直三棱柱补形为长方体ABEC­A′B′E′C′，则球O是长方体ABEC­A′B′E′C′的外接球，∴体对角线BC′的长为球O的直径．因此2R＝＝13，故S球＝4πR2＝169π.[迁移探究2]　若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．[解]　如图，设球心为O，半径为r，则在Rt△AOF中，(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝，则球O的体积V球＝πr3＝π×3＝.[规律方法]　1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．[变式训练3]　(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O­ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)A．36π  B.64πC．144π  D.256πC　[如图，设球的半径为R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝R2.∵VO­ABC＝VC­AOB，而△AOB面积为定值，∴当点C到平面AOB的距离最大时，VO­ABC最大，∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VO­ABC最大为×R2×R＝36，∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.故选C.][思想与方法]1．转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．2．求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高．[易错与防范]1．求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理，防止重复计算．2．底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．