高三数学一轮复习：第5章第3节等比数列及其前n项和

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1．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.
(2)前n项和公式：
3．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝aeq \\al(2,k)；
(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{aeq \\al(2,n)}，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))(λ≠0)仍然是等比数列；
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．( )
(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.( )
(3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( )
(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝eq \f(a1－an,1－a).
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．(2017·广州综合测试(二))已知等比数列{an}的公比为－eq \f(1,2)，则eq \f(a1＋a3＋a5,a2＋a4＋a6)的值是( )
A．－2 B.－eq \f(1,2)
C.eq \f(1,2) D.2
A [eq \f(a1＋a3＋a5,a2＋a4＋a6)＝eq \f(a1＋a3＋a5,－\f(1,2)a1＋a3＋a5)＝－2.]
3．(2017·东北三省四市一联)等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＝6，a3＝8，则a6＝( )
A．64 B.128
C．256 D.512
A [设等比数列的首项为a1，公比为q，则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a2＝a1＋a1q＝6，,a3＝a1q2＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝2，,q＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝18，,q＝－\f(2,3)))(舍去)，所以a6＝a1q5＝64，故选A.]
4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．
27,81 [设该数列的公比为q，由题意知，
243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.
∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]
5．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝__________.
6 [∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
又∵Sn＝126，∴eq \f(21－2n,1－2)＝126，解得n＝6.]
(1)(2016·安徽皖江名校联考)已知Sn是各项为正数的等比数列{an}的前n项和，a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝( )
A．32 B.64
C．128 D.256
(2)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于__________．
【导学号：01772183】
(1)C (2)2n－1 [(1)∵{an}为等比数列，a2·a4＝16，∴a3＝4.∵a3＝a1q2＝4，S3＝7，∴S2＝eq \f(a11－q2,1－q)＝3，∴eq \f(4,q2)(1－q2)＝3(1－q)，即3q2－4q－4＝0，
∴q＝－eq \f(2,3)或q＝2.∵an>0，∴q＝2，则a1＝1，∴a8＝27＝128.
(2)设等比数列的公比为q，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a1q3＝9，,a\\al(2,1)·q3＝8，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,q＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝8，,q＝\f(1,2).))
又{an}为递增数列，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,q＝2，))∴Sn＝eq \f(1－2n,1－2)＝2n－1.]
[规律方法] 1.等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．
2．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算．
[变式训练1] (1)在等比数列{an}中，a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q的值为( )
A．1 B.－eq \f(1,2)
C．1或－eq \f(1,2) D.－1或eq \f(1,2)
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若27a3－a6＝0，则eq \f(S6,S3)＝__________.
(1)C (2)28 [(1)根据已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q2＝7， ①,a1＋a1q＋a1q2＝21， ②))
②÷①得eq \f(1＋q＋q2,q2)＝3.
整理得2q2－q－1＝0，
解得q＝1或q＝－eq \f(1,2).
(2)由题可知{an}为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3＝a1q2，a6＝a1q5，所以27a1q2＝a1q5，所以q＝3，由Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)，得S6＝eq \f(a11－36,1－3)，S3＝eq \f(a11－33,1－3)，所以eq \f(S6,S3)＝eq \f(a11－36,1－3)·eq \f(1－3,a11－33)＝28.]
(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)若S5＝eq \f(31,32)，求λ.
[解] (1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，2分
故λ≠1，a1＝eq \f(1,1－λ)，故a1≠0.3分
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，
即an＋1(λ－1)＝λan.5分
由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以eq \f(an＋1,an)＝eq \f(λ,λ－1).
因此{an}是首项为eq \f(1,1－λ)，公比为eq \f(λ,λ－1)的等比数列，
于是an＝eq \f(1,1－λ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,λ－1)))n－1.7分
(2)由(1)得Sn＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,λ－1)))n.9分
由S5＝eq \f(31,32)得1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,λ－1)))5＝eq \f(31,32)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,λ－1)))5＝eq \f(1,32).10分
解得λ＝－1.12分
[规律方法] 等比数列的判定方法
(1)定义法：若eq \f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中的判定．
[变式训练2] 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)证明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，
有a1＋a2＝S2＝4a1＋2.
∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Sn＋1＝4an＋2， ①,Sn＝4an－1＋2n≥2， ②))
①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，
∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2).3分
∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，
故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列.6分
(2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，
∴eq \f(an＋1,2n＋1)－eq \f(an,2n)＝eq \f(3,4)，
故eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n)))是首项为eq \f(1,2)，公差为eq \f(3,4)的等差数列.9分
∴eq \f(an,2n)＝eq \f(1,2)＋(n－1)·eq \f(3,4)＝eq \f(3n－1,4)，
故an＝(3n－1)·2n－2.12分
(1)(2016·安徽六安一中综合训练)在各项均为正数的等比数列{an}中，若am＋1·am－1＝2am(m≥2)，数列{an}的前n项积为Tn，若T2m－1＝512，则m的值为( )
A．4 B.5
C．6 D.7
(2)(2016·天津高考)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的( )
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
(1)B (2)C [(1)由等比数列的性质可知am＋1·am－1＝aeq \\al(2,m)＝2am(m≥2)，所以am＝2，即数列{an}为常数列，an＝2，所以T2m－1＝22m－1＝512＝29，即2m－1＝9，所以m＝5，故选B.
(2)若对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0，则a1＋a2<0，又a1>0，所以a2<0，所以q＝eq \f(a2,a1)<0.若q<0，可取q＝－1，a1＝1，则a1＋a2＝1－1＝0，不满足对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0.所以“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的必要而不充分条件．故选C.]
[规律方法] 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
[变式训练3] (1)(2017·合肥三次质检)在正项等比数列{an}中，a1 008·a1 009＝eq \f(1,100)，则lg a1＋lg a2＋…＋lg a2 016＝( )
A．2 015 B.2 016
C．－2 015 D.－2 016
(2)(2017·南昌一模)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为eq \f(81,4)，则前4项倒数的和为( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(9,4)
C．1 D.2
(1)D (2)D [(1)lg a1＋lg a2＋…＋lg a2 016＝lg a1a2…a2 016＝lg(a1 008·a1 009)1 008＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100)))1 008＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10－2))1 008＝－2 016，故选D.
(2)由题意得S4＝eq \f(a11－q4,1－q)＝9，所以eq \f(1－q4,1－q)＝eq \f(9,a1).由a1·a1q·a1q2·a1q3＝(aeq \\al(2,1)q3)2＝eq \f(81,4)得aeq \\al(2,1)q3＝eq \f(9,2).由等比数列的性质知该数列前4项倒数的和为eq \f(\f(1,a1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,q4))),1－\f(1,q))＝eq \f(q4－1,a1q3q－1)＝eq \f(1,a1q3)·eq \f(9,a1)＝eq \f(9,a\\al(2,1)q3)＝2，故选D.]
[思想与方法]
1．方程的思想．等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解．
2．函数的思想．通项公式an ＝a1qn－1可化为an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a1,q)))qn，因此an是关于n的函数，即{an}中的各项所表示的点(n，an)在曲线y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a1,q)))qx上，是一群孤立的点．
3．分类讨论思想．当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，此处是常考易错点．
[易错与防范]
1．特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．
2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽视q＝1这一特殊情形而导致解题失误．
4．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比数列(例如：当公比q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列；当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列)．
等比数列的基本运算
等比数列的判定与证明
等比数列的性质及应用