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高三数学一轮复习： 第6章 第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
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这是一份高三数学一轮复习： 第6章 第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题，共10页。
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
2.线性规划中的相关概念
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )
(2)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )
(3)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )
(4)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．(教材改编)不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3y＋6<0，,x－y＋2≥0))表示的平面区域是( )
C [x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方的平面区域，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C.]
3．(2016·全国卷Ⅲ)若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0，,x－2y≤0，,x＋2y－2≤0，))则z＝x＋y的最大值为________．
eq \f(3,2) [不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＝0，,x＋2y－2＝0))得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2))).
当直线z＝x＋y过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))时，zmax＝1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2).]
4．(2016·保定调研)在平面直角坐标系xOy中，若点P(m,1)到直线4x－3y－1＝0的距离为4，且点P(m,1)在不等式2x＋y≥3表示的平面区域内，则m＝__________.
6 [由题意得eq \f(|4m－3－1|,5)＝4及2m＋1≥3，
解得m＝6.]
5．在平面直角坐标系中，不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥1，,x＋y≤0，,x－y－4≤0))表示的平面区域的面积是__________.
【导学号：01772202】
1 [不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，
由x＝1，x＋y＝0得A(1，－1)，
由x＝1，x－y－4＝0得B(1，－3)，
由x＋y＝0，x－y－4＝0得C(2，－2)，
∴|AB|＝2，∴S△ABC＝eq \f(1,2)×2×1＝1.]
(1)(2016·浙江高考)若平面区域eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－3≥0，,2x－y－3≤0，,x－2y＋3≥0))夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )
A.eq \f(3\r(5),5) B.eq \r(2)
C.eq \f(3\r(2),2) D.eq \r(5)
(2)(2016·衡水中学调研)若不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋5≥0，,y≥a，,0≤x≤2))表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )
【导学号：01772203】
A．a<5 B.a≥7
C．5≤a<7 D.a<5或a≥7
(1)B (2)C [(1)根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件，联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－3＝0，,x－2y＋3＝0))求得A(1,2)，联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y－3＝0，,x＋y－3＝0))求得B(2,1)，可求得分别过A，B点且斜率为1的两条直线方程为x－y＋1＝0和x－y－1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为eq \f(|1＋1|,\r(2))＝eq \r(2)，故选B.
(2)如图，当直线y＝a位于直线y＝5和y＝7之间(不含y＝7)时满足条件，故选C.]
[规律方法] 1.可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面区域，若直线不过原点，特殊点常选取原点．
2．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，画出图形后，面积关系结合平面几何知识求解．
[变式训练1] (2016·豫北六校第二次联考)已知区域D：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0，,x＋y－1≥0，,3x－y－3≤0))的面积为S，点集T＝{(x，y)∈D|y≥kx＋1}在坐标系中对应区域的面积为eq \f(1,2)S，则k的值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C．2 D.3
A [作出不等式组对应的区域，如图中阴影部分所示．
直线y＝kx＋1过定点A(0,1)，点集T＝{(x，y)∈D|y≥kx＋1}在坐标系中对应区域的面积为eq \f(1,2)S，则直线y＝kx＋1过BC中点D.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1＝0，,3x－y－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3，))即B(2,3)．
又C(1,0)，∴BC的中点为Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(3,2)))，则eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)k＋1，解得k＝eq \f(1,3).]
☞角度1 求线性目标函数的最值
(1)(2016·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≥0，,x－3≤0，))则z＝x－2y的最小值为________．
(2)(2017·福州质检)已知实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤2，,x≥\f(1,2)，,y≥x，))且数列4x，z,2y为等差数列，则实数z的最大值是__________．
(1)－5 (2)3 [(1)不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≥0，,x－3≤0))表示的可行域如图阴影部分所示．
由z＝x－2y得y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)z.
平移直线y＝eq \f(1,2)x，易知经过点A(3,4)时，z有最小值，最小值为z＝3－2×4＝－5.
(2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2)))，(1,1)为顶点的三角形区域(包含边界)，又由题意易得z＝2x＋y，所以当目标函数z＝2x＋y经过平面区域内的点(1,1)时，z＝2x＋y取得最大值zmax＝2×1＋1＝3.]
☞角度2 求非线性目标函数的最值
(1)(2016·山东高考)若变量x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤2，,2x－3y≤9，,x≥0，))则x2＋y2的最大值是( )
A．4 B.9
C．10 D.12
(2)(2017·湖北七市4月联考)若变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥－1，,y≥x，,3x＋5y≤8，))则z＝eq \f(y,x－2)的取值范围是__________．
(1)C (2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,3))) [(1)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,2x－3y＝9))得A(3，－1)，由图易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.故选C.
(2)作出不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥－1，,y≥x，,3x＋5y≤8))所表示的区域，如图中△ABC所表示的区域(含边界)，
其中点A(1,1)，B(－1，－1)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(11,5))).z＝eq \f(y,x－2)表示△ABC区域内的点与点M(2,0)的连线的斜率，显然kMA≤z≤kMB，即eq \f(1,1－2)≤z≤eq \f(－1,－1－2)，化简得－1≤z≤eq \f(1,3).]
☞角度3 线性规划中的参数问题
(2016·河北石家庄质检)已知x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥1，,y≥－1，,4x＋y≤9，,x＋y≤3，))若目标函数z＝y－mx(m>0)的最大值为1，则m的值是( )
【导学号：01772204】
A．－eq \f(20,9) B.1
C．2 D.5
B [作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m>0，∴当z＝y－mx经过点A时，z取最大值，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,x＋y＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2，))即A(1,2)，∴2－m＝1，解得m＝1.故选B.]
[规律方法] 1.求目标函数的最值的一般步骤为：一作图、二平移、三求值．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．
2．常见的目标函数有：
(1)截距型：形如z＝ax＋by.求这类目标函数的最值时常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－eq \f(a,b)x＋eq \f(z,b)，通过求直线的截距eq \f(z,b)的最值间接求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.
(3)斜率型：形如z＝eq \f(y－b,x－a).
易错警示：注意转化的等价性及几何意义.
(2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
[解] (1)由已知，x，y满足的数学关系式为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x＋5y≤200，,8x＋5y≤360，,3x＋10y≤300，,x≥0，,y≥0.))
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分.5分
(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.
考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－eq \f(2,3)x＋eq \f(z,3)，它的图象是斜率为－eq \f(2,3)，随z变化的一族平行直线，eq \f(z,3)为直线在y轴上的截距，当eq \f(z,3)取最大值时，z的值最大．根据x，y满足的约束条件，由图②可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距eq \f(z,3)最大，即z最大.7分
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x＋5y＝200，,3x＋10y＝300，))得点M的坐标为(20,24)，
所以zmax＝2×20＋3×24＝112.
答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.12分
[规律方法] 1.解线性规划应用题的步骤
(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；
(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；
(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．
2．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．
[变式训练2] 某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
A.12万元 B.16万元
C．17万元 D.18万元
D [设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋2y≤12，,x＋2y≤8，,x≥0，y≥0，))z＝3x＋4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.]
[思想与方法]
1．确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界，特殊点定域”．
(1)直线定界：即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．
(2)特殊点定域：当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．
2．利用线性规划求最值的步骤是：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域；
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；
(4)求最值：将最优解代入目标函数求最值．
[易错与防范]
1．画平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，利用其几何意义，通过求y＝－eq \f(a,b)x＋eq \f(z,b)的截距eq \f(z,b)的最值间接求出z的最值，要注意：当b>0时，截距eq \f(z,b)取最大值时，z也取最大值；截距eq \f(z,b)取最小值时，z也取最小值．当b<0时，结论与b>0的情形恰好相反．
不等式
表示区域
Ax＋By＋C>0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括
边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括
边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
二元一次不等式(组)表示的平面区域
简单的线性规划问题
线性规划的实际应用
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
2.线性规划中的相关概念
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )
(2)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )
(3)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )
(4)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．(教材改编)不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3y＋6<0，,x－y＋2≥0))表示的平面区域是( )
C [x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方的平面区域，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C.]
3．(2016·全国卷Ⅲ)若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0，,x－2y≤0，,x＋2y－2≤0，))则z＝x＋y的最大值为________．
eq \f(3,2) [不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＝0，,x＋2y－2＝0))得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2))).
当直线z＝x＋y过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))时，zmax＝1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2).]
4．(2016·保定调研)在平面直角坐标系xOy中，若点P(m,1)到直线4x－3y－1＝0的距离为4，且点P(m,1)在不等式2x＋y≥3表示的平面区域内，则m＝__________.
6 [由题意得eq \f(|4m－3－1|,5)＝4及2m＋1≥3，
解得m＝6.]
5．在平面直角坐标系中，不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥1，,x＋y≤0，,x－y－4≤0))表示的平面区域的面积是__________.
【导学号：01772202】
1 [不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，
由x＝1，x＋y＝0得A(1，－1)，
由x＝1，x－y－4＝0得B(1，－3)，
由x＋y＝0，x－y－4＝0得C(2，－2)，
∴|AB|＝2，∴S△ABC＝eq \f(1,2)×2×1＝1.]
(1)(2016·浙江高考)若平面区域eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－3≥0，,2x－y－3≤0，,x－2y＋3≥0))夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )
A.eq \f(3\r(5),5) B.eq \r(2)
C.eq \f(3\r(2),2) D.eq \r(5)
(2)(2016·衡水中学调研)若不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋5≥0，,y≥a，,0≤x≤2))表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )
【导学号：01772203】
A．a<5 B.a≥7
C．5≤a<7 D.a<5或a≥7
(1)B (2)C [(1)根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件，联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－3＝0，,x－2y＋3＝0))求得A(1,2)，联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y－3＝0，,x＋y－3＝0))求得B(2,1)，可求得分别过A，B点且斜率为1的两条直线方程为x－y＋1＝0和x－y－1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为eq \f(|1＋1|,\r(2))＝eq \r(2)，故选B.
(2)如图，当直线y＝a位于直线y＝5和y＝7之间(不含y＝7)时满足条件，故选C.]
[规律方法] 1.可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面区域，若直线不过原点，特殊点常选取原点．
2．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，画出图形后，面积关系结合平面几何知识求解．
[变式训练1] (2016·豫北六校第二次联考)已知区域D：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0，,x＋y－1≥0，,3x－y－3≤0))的面积为S，点集T＝{(x，y)∈D|y≥kx＋1}在坐标系中对应区域的面积为eq \f(1,2)S，则k的值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C．2 D.3
A [作出不等式组对应的区域，如图中阴影部分所示．
直线y＝kx＋1过定点A(0,1)，点集T＝{(x，y)∈D|y≥kx＋1}在坐标系中对应区域的面积为eq \f(1,2)S，则直线y＝kx＋1过BC中点D.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1＝0，,3x－y－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3，))即B(2,3)．
又C(1,0)，∴BC的中点为Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(3,2)))，则eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)k＋1，解得k＝eq \f(1,3).]
☞角度1 求线性目标函数的最值
(1)(2016·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≥0，,x－3≤0，))则z＝x－2y的最小值为________．
(2)(2017·福州质检)已知实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤2，,x≥\f(1,2)，,y≥x，))且数列4x，z,2y为等差数列，则实数z的最大值是__________．
(1)－5 (2)3 [(1)不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≥0，,x－3≤0))表示的可行域如图阴影部分所示．
由z＝x－2y得y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)z.
平移直线y＝eq \f(1,2)x，易知经过点A(3,4)时，z有最小值，最小值为z＝3－2×4＝－5.
(2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2)))，(1,1)为顶点的三角形区域(包含边界)，又由题意易得z＝2x＋y，所以当目标函数z＝2x＋y经过平面区域内的点(1,1)时，z＝2x＋y取得最大值zmax＝2×1＋1＝3.]
☞角度2 求非线性目标函数的最值
(1)(2016·山东高考)若变量x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤2，,2x－3y≤9，,x≥0，))则x2＋y2的最大值是( )
A．4 B.9
C．10 D.12
(2)(2017·湖北七市4月联考)若变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥－1，,y≥x，,3x＋5y≤8，))则z＝eq \f(y,x－2)的取值范围是__________．
(1)C (2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,3))) [(1)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,2x－3y＝9))得A(3，－1)，由图易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.故选C.
(2)作出不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥－1，,y≥x，,3x＋5y≤8))所表示的区域，如图中△ABC所表示的区域(含边界)，
其中点A(1,1)，B(－1，－1)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(11,5))).z＝eq \f(y,x－2)表示△ABC区域内的点与点M(2,0)的连线的斜率，显然kMA≤z≤kMB，即eq \f(1,1－2)≤z≤eq \f(－1,－1－2)，化简得－1≤z≤eq \f(1,3).]
☞角度3 线性规划中的参数问题
(2016·河北石家庄质检)已知x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥1，,y≥－1，,4x＋y≤9，,x＋y≤3，))若目标函数z＝y－mx(m>0)的最大值为1，则m的值是( )
【导学号：01772204】
A．－eq \f(20,9) B.1
C．2 D.5
B [作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m>0，∴当z＝y－mx经过点A时，z取最大值，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,x＋y＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2，))即A(1,2)，∴2－m＝1，解得m＝1.故选B.]
[规律方法] 1.求目标函数的最值的一般步骤为：一作图、二平移、三求值．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．
2．常见的目标函数有：
(1)截距型：形如z＝ax＋by.求这类目标函数的最值时常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－eq \f(a,b)x＋eq \f(z,b)，通过求直线的截距eq \f(z,b)的最值间接求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.
(3)斜率型：形如z＝eq \f(y－b,x－a).
易错警示：注意转化的等价性及几何意义.
(2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
[解] (1)由已知，x，y满足的数学关系式为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x＋5y≤200，,8x＋5y≤360，,3x＋10y≤300，,x≥0，,y≥0.))
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分.5分
(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.
考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－eq \f(2,3)x＋eq \f(z,3)，它的图象是斜率为－eq \f(2,3)，随z变化的一族平行直线，eq \f(z,3)为直线在y轴上的截距，当eq \f(z,3)取最大值时，z的值最大．根据x，y满足的约束条件，由图②可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距eq \f(z,3)最大，即z最大.7分
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x＋5y＝200，,3x＋10y＝300，))得点M的坐标为(20,24)，
所以zmax＝2×20＋3×24＝112.
答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.12分
[规律方法] 1.解线性规划应用题的步骤
(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；
(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；
(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．
2．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．
[变式训练2] 某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
A.12万元 B.16万元
C．17万元 D.18万元
D [设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋2y≤12，,x＋2y≤8，,x≥0，y≥0，))z＝3x＋4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.]
[思想与方法]
1．确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界，特殊点定域”．
(1)直线定界：即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．
(2)特殊点定域：当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．
2．利用线性规划求最值的步骤是：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域；
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；
(4)求最值：将最优解代入目标函数求最值．
[易错与防范]
1．画平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，利用其几何意义，通过求y＝－eq \f(a,b)x＋eq \f(z,b)的截距eq \f(z,b)的最值间接求出z的最值，要注意：当b>0时，截距eq \f(z,b)取最大值时，z也取最大值；截距eq \f(z,b)取最小值时，z也取最小值．当b<0时，结论与b>0的情形恰好相反．
不等式
表示区域
Ax＋By＋C>0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括
边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括
边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
二元一次不等式(组)表示的平面区域
简单的线性规划问题
线性规划的实际应用
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
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