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2021年湖南省岳阳市城区二十八校中考数学一模试卷
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这是一份2021年湖南省岳阳市城区二十八校中考数学一模试卷，共28页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖南省岳阳市城区二十八校中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项)
1．（3分）电梯上升16层记为+16，下降5层记为（ ）
A．+5 B．|5| C．5﹣1 D．﹣5
2．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） B．a3+2a2b+ab2＝ab（a+b）2
C．a3+a＝a2（a+） D．x2﹣2xy+4y2＝（x﹣2y）2
3．（3分）图中是一个少数名族手鼓的轮廓图，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）岳阳是国家历史文化名城，区域内的岳阳楼、君山岛、张谷英村、屈子祠、左宗棠故居都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：13，8，12，9，8（单位：人），这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．9人，8人 B．8人，12人 C．8人，9人 D．9人，12人
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线BP交AC于点D．若CD＝4，则点D到AB的距离为（ ）
A．4 B．3 C． D．1
7．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．同弧所对的圆心角相等
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．二次函数y＝ax2+bx（ab≠0）的图象与坐标轴有两个交点
D．若a＞b，则a2＞b2
8．（3分）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y＝交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则Bn（n为正整数）的坐标是（ ）
A．（2，0） B．（0，）
C．（0，） D．（0，2）
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，满分32分）
9．（4分）岳阳“马赛克”建筑广电中心，耗资176000000元，数据176000000用科学记数法表示为 ．
10．（4分）若7axb2与﹣3a3by的和为单项式，则xy＝ ．
11．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
12．（4分）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝45°，则∠GFH＝ °．
13．（4分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
14．（4分）如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，点E在BC上，将纸片沿AE折叠后，点B与点O重合，若BE＝1，则矩形ABCD的周长为 ．
15．（4分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y元，根据题意可列方程组 ．
16．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线，作A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①MN∥BC；②△BDE∽△BCA；③AB•AC＝2R•h；④若∠BAC＝2α，则＝2cosα．
三、解答题（本大题共8小题，满分64分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）（1）计算：﹣（2021﹣π）0﹣2cos30°+（﹣）﹣1．
（2）先化简：，再从﹣2≤x＜3中选取一个合适的整数，代入求值．
18．（6分）如图，E、F、G、H为四边形ABCD各边的中点，对角线AC＝BD．求证：四边形EFGH为菱形．
19．（8分）如图，已知直线y＝ax+b与双曲线y＝（k＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于点P（x0，0），与y轴交于点C．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，3），（3，y2），求两函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，求证：AC＝BP；
（3）猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系（不要求证明）．
20．（8分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯：B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了统计图．
请结合图中的信息解决下列问题：
（1）在这次活动中，调查的居民共有 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中的a＝ ，D所在扇形的圆心角是 度；
（4）该小组讨论中，甲、乙两个小组从三个话题：“A．5G通讯；B．民法典；C．北斗导航”中抽签（不放回）选一项进行发言，利用树状图或表格，求出两个小组选择A、B话题发言的概率．
21．（8分）随着某市养老机构建设的稳步推进，拥有的养老床位不断增加．
（1）该市的养老床位数从2018年底的2万个增长到2020年底的2.88万个，求该市这两年（从2018年度到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；
（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），且双人间的房间数是单人间的2倍．设该养老中心建成后能提供养老床位y个，求y与t的函数关系式，并求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？
22．（8分）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．求：
（1）观众区的水平宽度AB；
（2）顶棚的E处离地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，tanl8°30′≈0.33，结果精确到0.1m）
23．（10分）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEF和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝2a，AB＝2b，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．试求DE2+BG2的值（用a，b表示）．
24．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）过点O（0，0）和A（6，0）．点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合），连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B'，△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG，在坐标平面内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．
2021年湖南省岳阳市城区二十八校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项)
1．（3分）电梯上升16层记为+16，下降5层记为（ ）
A．+5 B．|5| C．5﹣1 D．﹣5
【分析】直接利用正数和负数的意义分析得出答案．
【解答】解：电梯上升16层记为+16，下降5层记为：﹣5．
故选：D．
2．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） B．a3+2a2b+ab2＝ab（a+b）2
C．a3+a＝a2（a+） D．x2﹣2xy+4y2＝（x﹣2y）2
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝（x+3）（x﹣3），符合题意；
B、原式＝a（a2+2ab+b2）＝a（a+b）2，不符合题意；
C、原式＝a（a2+1），不符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意．
故选：A．
3．（3分）图中是一个少数名族手鼓的轮廓图，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用几何体的形状结合主视图的观察角度得出答案．
【解答】解：由几何体可得：其主视图为：
．
故选：B．
4．（3分）岳阳是国家历史文化名城，区域内的岳阳楼、君山岛、张谷英村、屈子祠、左宗棠故居都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：13，8，12，9，8（单位：人），这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．9人，8人 B．8人，12人 C．8人，9人 D．9人，12人
【分析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：∵8出现了2次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是8人；
把这些数从小大排列为8，8，9，12，13，
则中位数是9人．
故选：C．
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【解答】解：，
由①得x≥﹣2，
由②得x＜1，
不等式组的解集为﹣2≤x＜1．
故选：B．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线BP交AC于点D．若CD＝4，则点D到AB的距离为（ ）
A．4 B．3 C． D．1
【分析】过D作DE⊥AB于E，依据角平分线的的性质即可得到DE＝DC，可得结论．
【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，
过D作DE⊥AB于E，则DE＝DC（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵CD＝4，
∴DE＝4，
故选：A．
7．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．同弧所对的圆心角相等
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．二次函数y＝ax2+bx（ab≠0）的图象与坐标轴有两个交点
D．若a＞b，则a2＞b2
【分析】利用圆周角定理、菱形的判定、二次函数的图像与性质及不等式的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、同弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、∵二次函数y＝ax2+bx（ab≠0）中△＝b2﹣4a×0＝b2＞0，∴图象与坐标轴有两个交点，与坐标轴有3个交点，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、当a＝1，b＝﹣3时，满足a＞b，但不满足a2＞b2，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：A．
8．（3分）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y＝交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则Bn（n为正整数）的坐标是（ ）
A．（2，0） B．（0，）
C．（0，） D．（0，2）
【分析】由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，想办法求出OB1，OB2，OB3，OB4，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．
【解答】解：由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，
∵A1（1，1），
∴OB1＝2，设A2（m，2+m），
则有m（2+m）＝1，
解得m＝﹣1，
∴OB2＝2，
设A3（a，2+a），则有a（2+a）＝1，
解得a＝﹣，
∴OB3＝2，
同法可得，OB4＝2，
∴OBn＝2，
∴Bn（0，2）．
故选：D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，满分32分）
9．（4分）岳阳“马赛克”建筑广电中心，耗资176000000元，数据176000000用科学记数法表示为 1.76×108 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：176000000＝1.76×108．
故答案为：1.76×108．
10．（4分）若7axb2与﹣3a3by的和为单项式，则xy＝ 9 ．
【分析】直接利用已知得出x，y的值，进而得出答案．
【解答】解：∵7axb2与﹣3a3by的和为单项式，
∴x＝3，y＝2，
∴xy＝32＝9．
故答案为：9．
11．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≤2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，2﹣x≥0，
解得，x≤2，
故答案为：x≤2．
12．（4分）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝45°，则∠GFH＝ 25 °．
【分析】根据平行线的性质知∠GFB＝∠FED＝45°，结合图形求得∠GFH的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠GFB＝∠FED＝45°．
∵∠HFB＝20°，
∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝45°﹣20°＝25°．
故答案为：25°．
13．（4分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜5且k≠1 ．
【分析】根据二次项系数非零以及根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＜5且k≠1．
故答案为：k＜5且k≠1．
14．（4分）如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，点E在BC上，将纸片沿AE折叠后，点B与点O重合，若BE＝1，则矩形ABCD的周长为 6+2 ．
【分析】由折叠的性质及矩形的性质得到OE垂直平分AC，得到AE＝EC，根据AB为AC的一半确定出∠ACE＝30°，进而得到OE等于EC的一半，求出EC和OC的长，进而可得矩形的周长．
【解答】解：由题意得：AB＝AO＝CO，即AC＝2AB，
且OE垂直平分AC，
∴AE＝CE，
设AB＝AO＝OC＝x，
则有AC＝2x，∠ACB＝30°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC＝x，
在Rt△OEC中，∠OCE＝30°，
∴OE＝EC，即BE＝EC，
∵BE＝1，
∴OE＝1，EC＝2，AO＝，
则AB＝，BC＝3，
∴矩形ABCD的周长为：（3+）×2＝6+2．
故答案为：6+2．
15．（4分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y元，根据题意可列方程组 ．
【分析】设合伙人数为x人．羊价为y元，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设合伙人数为x人．羊价为y元，
依题意，得：．
故答案为：．
16．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线，作A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．则下列结论正确的是 ①③④ ．（写出所有正确结论的序号）
①MN∥BC；②△BDE∽△BCA；③AB•AC＝2R•h；④若∠BAC＝2α，则＝2cosα．
【分析】连接OD，如图，利用垂径定理得到OD⊥BC，利用切线的性质得到OD⊥MN，则可对①进行判断；根据圆周角定理得到∠DBC＝∠CAD，所以∠DBC＝∠BAD，要判定△DBE∽△DAB，则∠BAC＝2∠ABC，所以②不正确；过A点作直径AG，如图，利用圆周角定理得到∠ABG＝90°，再证明△ABG∽△AFC，利用相似比可对③进行判断；过D点作DP⊥AB于P，DQ⊥AC于Q，连接CD，如图，根据角平分线的性质得到∠BAD＝∠QAD＝α，DP＝DQ，利用余弦定义得到AP＝AD•cosα，AQ＝AD•cosα，再证明Rt△DBP≌Rt△DCQ得到BP＝CQ，即AB﹣AP＝AQ﹣AC，原式可对④进行判断．
【解答】解：连接OD，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，
∵MN为⊙O的切线，
∴OD⊥MN，所以①正确；
∵∠DBC＝∠CAD，
∴∠DBC＝∠BAD，
∴当∠DBC＝∠ABC时，△DBE∽△DAB，所以②不正确；
过A点作直径AG，如图，
∵AG为直径，
∴∠ABG＝90°，
∵AF⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ABG＝∠AFC，
∵∠AGB＝∠ACF，
∴△ABG∽△AFC，
∴＝，
即AB•AC＝AG•AF＝2R•h，所以③正确；
过D点作DP⊥AB于P，DQ⊥AC于Q，连接CD，如图，
∵AD平分∠BAD，
∴∠BAD＝∠QAD＝α，DP＝DQ，
∴＝，
∴DB＝DC，
在Rt△ADP中，cosα＝，
∴AP＝AD•cosα，
在Rt△ADP中，AQ＝AD•cosα，
在Rt△DBP和Rt△DCQ中，
，
∴Rt△DBP≌Rt△DCQ（HL），
∴BP＝CQ，
即AB﹣AP＝AQ﹣AC，
∴AB+AC＝AP+AQ＝2AD•cosα，
∴＝2cosα，所以④正确．
故答案为①③④．
三、解答题（本大题共8小题，满分64分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）（1）计算：﹣（2021﹣π）0﹣2cos30°+（﹣）﹣1．
（2）先化简：，再从﹣2≤x＜3中选取一个合适的整数，代入求值．
【分析】（1）根据立方根、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣2≤x＜3中选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子，即可解答本题．
【解答】解：（1）﹣（2021﹣π）0﹣2cos30°+（﹣）﹣1
＝3﹣1﹣2×+（﹣2）
＝3﹣1﹣+（﹣2）
＝﹣；
（2）
＝[﹣]
＝（）
＝
＝，
﹣2≤x＜3中整数是﹣2，﹣1，0，1，2，
∵（x+2）（x﹣2）≠0，x（x﹣1）≠0，
∴x≠﹣2，0，1，2，
∴x＝﹣1，
当x＝﹣1时，原式＝＝﹣1．
18．（6分）如图，E、F、G、H为四边形ABCD各边的中点，对角线AC＝BD．求证：四边形EFGH为菱形．
【分析】根据三角形中位线定理得到EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，FG＝BD，根据菱形的判定定理证明结论．
【解答】证明：∵E、F分别为AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AC，EF∥AC，
同理，GH＝AC，GH∥AC，FG＝BD，
∴EF＝GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AC＝BD，
∴EF＝FG，
∴四边形EFGH为菱形．
19．（8分）如图，已知直线y＝ax+b与双曲线y＝（k＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于点P（x0，0），与y轴交于点C．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，3），（3，y2），求两函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，求证：AC＝BP；
（3）猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系（不要求证明）．
【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k，进一步可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线解析式；
（2）由直线解析式求得P（4，0），C（0，4），然后根据勾股定理求得AC＝，PB＝，即可证得AC＝PB；
（3）结合（1）、（2）中的坐标可猜得结论．
【解答】解：（1）∵点A（1，3）在双曲线y＝（k＞0）上，
∴k＝3，
∴双曲线为y＝，
∵点B（3，y2）在y＝上，
∴y2＝1，即B点坐标为（3，1），
把A、B两点坐标代入直线y＝ax+b，
可得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；
（2）证明：∵直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
∴P（4，0），C（0，4），
∵A（1，3），B（3，1），
∴AC＝＝，PB＝＝，
∴AC＝PB；
（3）猜想x1，x2，x0之间的关系式为：x1+x2＝x0．
理由如下：
∵A（x1，y1），B（x2，y2），
∴，解得，
∴直线AB解析式为y＝x﹣，
令y＝0可得x＝，
∵x1y1＝x2y2，
∴x＝＝＝x1+x2，
即x1+x2＝x0．
20．（8分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯：B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了统计图．
请结合图中的信息解决下列问题：
（1）在这次活动中，调查的居民共有 200 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中的a＝ 25 ，D所在扇形的圆心角是 36 度；
（4）该小组讨论中，甲、乙两个小组从三个话题：“A．5G通讯；B．民法典；C．北斗导航”中抽签（不放回）选一项进行发言，利用树状图或表格，求出两个小组选择A、B话题发言的概率．
【分析】（1）根据选择B的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生人数；
（2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以计算出选择A和C的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）由A的人数除以抽查人数求出a的值，再由360°乘以D所占的比例即可；
（4）画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）调查的学生共有：60÷30%＝200（人），
故答案为：200；
（2）选择C的学生有：200×15%＝30（人），
选择A的学生有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），
补全的条形统计图如图所示：
（3）a%＝50÷200×100%＝25%，
∴a＝25，
话题D所在扇形的圆心角是：360°×＝36°，
故答案为：25，36；
（4）画树状图如图：
共有6个等可能的结果，两个小组选择A、B话题发言的结果有2个，
∴两个小组选择A、B话题发言的概率为＝．
21．（8分）随着某市养老机构建设的稳步推进，拥有的养老床位不断增加．
（1）该市的养老床位数从2018年底的2万个增长到2020年底的2.88万个，求该市这两年（从2018年度到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；
（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），且双人间的房间数是单人间的2倍．设该养老中心建成后能提供养老床位y个，求y与t的函数关系式，并求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？
【分析】（1）设该市这两年（从2018年度到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，根据该市2018年底和2020年底的养老床位数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该养老中心建成后能提供养老床位y个，根据床位数＝单人间数+2×双人间数+3×三人间数，即可得出y关于t的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设该市这两年（从2018年度到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，
依题意得：2（1+x）2＝2.88，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市这两年（从2018年度到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．
（2）设该养老中心建成后能提供养老床位y个，
则y＝t+2×2t+3（100﹣t﹣2t）＝﹣4t+300（10≤t≤30）．
∵k＝﹣4＜0，
∴y随t的增大而减小，
∴当t＝10时，y取得最大值，最大值＝﹣4×10+300＝260（个）．
答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个．
22．（8分）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．求：
（1）观众区的水平宽度AB；
（2）顶棚的E处离地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，tanl8°30′≈0.33，结果精确到0.1m）
【分析】（1）根据坡度的概念计算；
（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，根据正切的定义求出EN，结合图形计算即可．
【解答】解：（1）∵观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，
∴AB＝2BC＝20（m），
答：观众区的水平宽度AB为20m；
（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，
则四边形MFBC、MCDN为矩形，
∴MF＝BC＝10，MN＝CD＝4，DN＝MC＝BF＝23，
在Rt△END中，tan∠EDN＝，
则EN＝DN•tan∠EDN≈7.59，
∴EF＝EN+MN+MF＝7.59+4+10≈21.6（m），
答：顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6m．
23．（10分）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEF和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝2a，AB＝2b，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．试求DE2+BG2的值（用a，b表示）．
【分析】（1）由正方形的性质得出AE＝AF，∠EAG＝90°，AB＝AD，∠BAD＝90°，得出∠EAB＝∠GAD，证明△AEB≌△AGD（SAS），则可得出结论；
（2）由菱形的性质得出AE＝AG，AB＝AD，证明△AEB≌△AGD（SAS），由全等三角形的性质可得出结论；
（3）设BE与DG交于Q，BE与AG交于点P，证明△EAB∽△GAD，得出∠EBA＝∠GDA，得出GD⊥EB，连接EG，BD，由勾股定理可求出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形AEFG为正方形，
∴AE＝AG，∠EAG＝90°，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠EAB＝∠GAD，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴BE＝DG；
（2）解：当∠EAG＝∠BAD时，BE＝DG，
理由如下：
∵∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAB＝∠GAD，
又∵四边形AEFG和四边形ABCD为菱形，
∴AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴BE＝DG；
（3）设BE与DG交于Q，BE与AG交于点P，
由题意知，AE＝2a，AB＝2b，
∵，∠EAB＝∠GDA＝90°+∠GAB，
∴△EAB∽△GAD，
∴∠EBA＝∠GDA，
∴∠AHD+∠GAD＝90°＝∠QHB+∠EBA，
∴GD⊥EB，
连接EG，BD，
∴ED2+GB2＝EQ2+QD2+GQ2+QB2＝EG2+BD2
＝（2a）2+（3a）2+（2b）2+（3b）2
＝13a2+13b2．
24．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）过点O（0，0）和A（6，0）．点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合），连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B'，△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG，在坐标平面内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N．解直角三角形求出点N的坐标，求出直线ON的解析式，构建方程组确定点D坐标即可．
（3）分三种情形：如图②﹣1中，当∠EFG＝90°时，点H在第一象限，此时G，B′，O重合．如图②﹣2中，当∠EGF＝90°时，点H在对称轴右侧．如图②﹣3中当∠FEG＝90°时，点H在对称轴左侧，点B′在对称轴上，分别求解即可．
【解答】解：（1）把点O（0，0）和A（6，0）代入y＝ax2﹣2x+c中，
得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x．
（2）如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N．
∵y＝x2﹣2x＝（x﹣3）2﹣3，
∴顶点B（3，﹣3），M（3，0），
∴OM＝3．BM＝3，
∴tan∠MOB＝＝，
∴∠MOB＝60°，
∵∠BOD＝30°，
∴∠MON＝∠MOB﹣∠BOD＝30°，
∴MN＝OM•tan30°＝，
∴N（3，﹣），
∴直线ON的解析式为y＝﹣x，
由，解得或，
∴D（5，﹣）．
（3）如图②﹣1中，当∠EFG＝90°时，点H在第一象限，此时G，B′，O重合，由题意OF＝BF，可得F（，﹣），E（3，﹣），利用平移的性质可得H（，）．
如图②﹣2中，当∠EGF＝90°时，点H在对称轴右侧，由题意，∠EBF＝∠FEB＝30°
∴EF＝BF，可得F（2，﹣2），利用平移的性质可得H（，﹣）．
如图②﹣3中当∠FGE＝90°时，点H在对称轴左侧，点B′在对称轴上，由题意EF⊥BE，可得F（1，﹣），G（，﹣），利用平移的性质，可得H（，﹣）．
综上所述，满足条件的点H的坐标为（，）或（，﹣）或（，﹣）．
2021年湖南省岳阳市城区二十八校中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项)
1．（3分）电梯上升16层记为+16，下降5层记为（ ）
A．+5 B．|5| C．5﹣1 D．﹣5
2．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） B．a3+2a2b+ab2＝ab（a+b）2
C．a3+a＝a2（a+） D．x2﹣2xy+4y2＝（x﹣2y）2
3．（3分）图中是一个少数名族手鼓的轮廓图，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）岳阳是国家历史文化名城，区域内的岳阳楼、君山岛、张谷英村、屈子祠、左宗棠故居都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：13，8，12，9，8（单位：人），这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．9人，8人 B．8人，12人 C．8人，9人 D．9人，12人
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线BP交AC于点D．若CD＝4，则点D到AB的距离为（ ）
A．4 B．3 C． D．1
7．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．同弧所对的圆心角相等
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．二次函数y＝ax2+bx（ab≠0）的图象与坐标轴有两个交点
D．若a＞b，则a2＞b2
8．（3分）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y＝交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则Bn（n为正整数）的坐标是（ ）
A．（2，0） B．（0，）
C．（0，） D．（0，2）
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，满分32分）
9．（4分）岳阳“马赛克”建筑广电中心，耗资176000000元，数据176000000用科学记数法表示为 ．
10．（4分）若7axb2与﹣3a3by的和为单项式，则xy＝ ．
11．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
12．（4分）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝45°，则∠GFH＝ °．
13．（4分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
14．（4分）如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，点E在BC上，将纸片沿AE折叠后，点B与点O重合，若BE＝1，则矩形ABCD的周长为 ．
15．（4分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y元，根据题意可列方程组 ．
16．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线，作A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①MN∥BC；②△BDE∽△BCA；③AB•AC＝2R•h；④若∠BAC＝2α，则＝2cosα．
三、解答题（本大题共8小题，满分64分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）（1）计算：﹣（2021﹣π）0﹣2cos30°+（﹣）﹣1．
（2）先化简：，再从﹣2≤x＜3中选取一个合适的整数，代入求值．
18．（6分）如图，E、F、G、H为四边形ABCD各边的中点，对角线AC＝BD．求证：四边形EFGH为菱形．
19．（8分）如图，已知直线y＝ax+b与双曲线y＝（k＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于点P（x0，0），与y轴交于点C．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，3），（3，y2），求两函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，求证：AC＝BP；
（3）猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系（不要求证明）．
20．（8分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯：B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了统计图．
请结合图中的信息解决下列问题：
（1）在这次活动中，调查的居民共有 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中的a＝ ，D所在扇形的圆心角是 度；
（4）该小组讨论中，甲、乙两个小组从三个话题：“A．5G通讯；B．民法典；C．北斗导航”中抽签（不放回）选一项进行发言，利用树状图或表格，求出两个小组选择A、B话题发言的概率．
21．（8分）随着某市养老机构建设的稳步推进，拥有的养老床位不断增加．
（1）该市的养老床位数从2018年底的2万个增长到2020年底的2.88万个，求该市这两年（从2018年度到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；
（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），且双人间的房间数是单人间的2倍．设该养老中心建成后能提供养老床位y个，求y与t的函数关系式，并求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？
22．（8分）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．求：
（1）观众区的水平宽度AB；
（2）顶棚的E处离地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，tanl8°30′≈0.33，结果精确到0.1m）
23．（10分）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEF和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝2a，AB＝2b，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．试求DE2+BG2的值（用a，b表示）．
24．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）过点O（0，0）和A（6，0）．点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合），连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B'，△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG，在坐标平面内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．
2021年湖南省岳阳市城区二十八校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项)
1．（3分）电梯上升16层记为+16，下降5层记为（ ）
A．+5 B．|5| C．5﹣1 D．﹣5
【分析】直接利用正数和负数的意义分析得出答案．
【解答】解：电梯上升16层记为+16，下降5层记为：﹣5．
故选：D．
2．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） B．a3+2a2b+ab2＝ab（a+b）2
C．a3+a＝a2（a+） D．x2﹣2xy+4y2＝（x﹣2y）2
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝（x+3）（x﹣3），符合题意；
B、原式＝a（a2+2ab+b2）＝a（a+b）2，不符合题意；
C、原式＝a（a2+1），不符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意．
故选：A．
3．（3分）图中是一个少数名族手鼓的轮廓图，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用几何体的形状结合主视图的观察角度得出答案．
【解答】解：由几何体可得：其主视图为：
．
故选：B．
4．（3分）岳阳是国家历史文化名城，区域内的岳阳楼、君山岛、张谷英村、屈子祠、左宗棠故居都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：13，8，12，9，8（单位：人），这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．9人，8人 B．8人，12人 C．8人，9人 D．9人，12人
【分析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：∵8出现了2次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是8人；
把这些数从小大排列为8，8，9，12，13，
则中位数是9人．
故选：C．
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【解答】解：，
由①得x≥﹣2，
由②得x＜1，
不等式组的解集为﹣2≤x＜1．
故选：B．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线BP交AC于点D．若CD＝4，则点D到AB的距离为（ ）
A．4 B．3 C． D．1
【分析】过D作DE⊥AB于E，依据角平分线的的性质即可得到DE＝DC，可得结论．
【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，
过D作DE⊥AB于E，则DE＝DC（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵CD＝4，
∴DE＝4，
故选：A．
7．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．同弧所对的圆心角相等
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．二次函数y＝ax2+bx（ab≠0）的图象与坐标轴有两个交点
D．若a＞b，则a2＞b2
【分析】利用圆周角定理、菱形的判定、二次函数的图像与性质及不等式的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、同弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、∵二次函数y＝ax2+bx（ab≠0）中△＝b2﹣4a×0＝b2＞0，∴图象与坐标轴有两个交点，与坐标轴有3个交点，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、当a＝1，b＝﹣3时，满足a＞b，但不满足a2＞b2，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：A．
8．（3分）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y＝交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则Bn（n为正整数）的坐标是（ ）
A．（2，0） B．（0，）
C．（0，） D．（0，2）
【分析】由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，想办法求出OB1，OB2，OB3，OB4，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．
【解答】解：由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，
∵A1（1，1），
∴OB1＝2，设A2（m，2+m），
则有m（2+m）＝1，
解得m＝﹣1，
∴OB2＝2，
设A3（a，2+a），则有a（2+a）＝1，
解得a＝﹣，
∴OB3＝2，
同法可得，OB4＝2，
∴OBn＝2，
∴Bn（0，2）．
故选：D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，满分32分）
9．（4分）岳阳“马赛克”建筑广电中心，耗资176000000元，数据176000000用科学记数法表示为 1.76×108 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：176000000＝1.76×108．
故答案为：1.76×108．
10．（4分）若7axb2与﹣3a3by的和为单项式，则xy＝ 9 ．
【分析】直接利用已知得出x，y的值，进而得出答案．
【解答】解：∵7axb2与﹣3a3by的和为单项式，
∴x＝3，y＝2，
∴xy＝32＝9．
故答案为：9．
11．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≤2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，2﹣x≥0，
解得，x≤2，
故答案为：x≤2．
12．（4分）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝45°，则∠GFH＝ 25 °．
【分析】根据平行线的性质知∠GFB＝∠FED＝45°，结合图形求得∠GFH的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠GFB＝∠FED＝45°．
∵∠HFB＝20°，
∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝45°﹣20°＝25°．
故答案为：25°．
13．（4分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜5且k≠1 ．
【分析】根据二次项系数非零以及根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＜5且k≠1．
故答案为：k＜5且k≠1．
14．（4分）如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，点E在BC上，将纸片沿AE折叠后，点B与点O重合，若BE＝1，则矩形ABCD的周长为 6+2 ．
【分析】由折叠的性质及矩形的性质得到OE垂直平分AC，得到AE＝EC，根据AB为AC的一半确定出∠ACE＝30°，进而得到OE等于EC的一半，求出EC和OC的长，进而可得矩形的周长．
【解答】解：由题意得：AB＝AO＝CO，即AC＝2AB，
且OE垂直平分AC，
∴AE＝CE，
设AB＝AO＝OC＝x，
则有AC＝2x，∠ACB＝30°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC＝x，
在Rt△OEC中，∠OCE＝30°，
∴OE＝EC，即BE＝EC，
∵BE＝1，
∴OE＝1，EC＝2，AO＝，
则AB＝，BC＝3，
∴矩形ABCD的周长为：（3+）×2＝6+2．
故答案为：6+2．
15．（4分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y元，根据题意可列方程组 ．
【分析】设合伙人数为x人．羊价为y元，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设合伙人数为x人．羊价为y元，
依题意，得：．
故答案为：．
16．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线，作A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．则下列结论正确的是 ①③④ ．（写出所有正确结论的序号）
①MN∥BC；②△BDE∽△BCA；③AB•AC＝2R•h；④若∠BAC＝2α，则＝2cosα．
【分析】连接OD，如图，利用垂径定理得到OD⊥BC，利用切线的性质得到OD⊥MN，则可对①进行判断；根据圆周角定理得到∠DBC＝∠CAD，所以∠DBC＝∠BAD，要判定△DBE∽△DAB，则∠BAC＝2∠ABC，所以②不正确；过A点作直径AG，如图，利用圆周角定理得到∠ABG＝90°，再证明△ABG∽△AFC，利用相似比可对③进行判断；过D点作DP⊥AB于P，DQ⊥AC于Q，连接CD，如图，根据角平分线的性质得到∠BAD＝∠QAD＝α，DP＝DQ，利用余弦定义得到AP＝AD•cosα，AQ＝AD•cosα，再证明Rt△DBP≌Rt△DCQ得到BP＝CQ，即AB﹣AP＝AQ﹣AC，原式可对④进行判断．
【解答】解：连接OD，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，
∵MN为⊙O的切线，
∴OD⊥MN，所以①正确；
∵∠DBC＝∠CAD，
∴∠DBC＝∠BAD，
∴当∠DBC＝∠ABC时，△DBE∽△DAB，所以②不正确；
过A点作直径AG，如图，
∵AG为直径，
∴∠ABG＝90°，
∵AF⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ABG＝∠AFC，
∵∠AGB＝∠ACF，
∴△ABG∽△AFC，
∴＝，
即AB•AC＝AG•AF＝2R•h，所以③正确；
过D点作DP⊥AB于P，DQ⊥AC于Q，连接CD，如图，
∵AD平分∠BAD，
∴∠BAD＝∠QAD＝α，DP＝DQ，
∴＝，
∴DB＝DC，
在Rt△ADP中，cosα＝，
∴AP＝AD•cosα，
在Rt△ADP中，AQ＝AD•cosα，
在Rt△DBP和Rt△DCQ中，
，
∴Rt△DBP≌Rt△DCQ（HL），
∴BP＝CQ，
即AB﹣AP＝AQ﹣AC，
∴AB+AC＝AP+AQ＝2AD•cosα，
∴＝2cosα，所以④正确．
故答案为①③④．
三、解答题（本大题共8小题，满分64分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）（1）计算：﹣（2021﹣π）0﹣2cos30°+（﹣）﹣1．
（2）先化简：，再从﹣2≤x＜3中选取一个合适的整数，代入求值．
【分析】（1）根据立方根、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣2≤x＜3中选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子，即可解答本题．
【解答】解：（1）﹣（2021﹣π）0﹣2cos30°+（﹣）﹣1
＝3﹣1﹣2×+（﹣2）
＝3﹣1﹣+（﹣2）
＝﹣；
（2）
＝[﹣]
＝（）
＝
＝，
﹣2≤x＜3中整数是﹣2，﹣1，0，1，2，
∵（x+2）（x﹣2）≠0，x（x﹣1）≠0，
∴x≠﹣2，0，1，2，
∴x＝﹣1，
当x＝﹣1时，原式＝＝﹣1．
18．（6分）如图，E、F、G、H为四边形ABCD各边的中点，对角线AC＝BD．求证：四边形EFGH为菱形．
【分析】根据三角形中位线定理得到EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，FG＝BD，根据菱形的判定定理证明结论．
【解答】证明：∵E、F分别为AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AC，EF∥AC，
同理，GH＝AC，GH∥AC，FG＝BD，
∴EF＝GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AC＝BD，
∴EF＝FG，
∴四边形EFGH为菱形．
19．（8分）如图，已知直线y＝ax+b与双曲线y＝（k＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于点P（x0，0），与y轴交于点C．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，3），（3，y2），求两函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，求证：AC＝BP；
（3）猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系（不要求证明）．
【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k，进一步可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线解析式；
（2）由直线解析式求得P（4，0），C（0，4），然后根据勾股定理求得AC＝，PB＝，即可证得AC＝PB；
（3）结合（1）、（2）中的坐标可猜得结论．
【解答】解：（1）∵点A（1，3）在双曲线y＝（k＞0）上，
∴k＝3，
∴双曲线为y＝，
∵点B（3，y2）在y＝上，
∴y2＝1，即B点坐标为（3，1），
把A、B两点坐标代入直线y＝ax+b，
可得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；
（2）证明：∵直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
∴P（4，0），C（0，4），
∵A（1，3），B（3，1），
∴AC＝＝，PB＝＝，
∴AC＝PB；
（3）猜想x1，x2，x0之间的关系式为：x1+x2＝x0．
理由如下：
∵A（x1，y1），B（x2，y2），
∴，解得，
∴直线AB解析式为y＝x﹣，
令y＝0可得x＝，
∵x1y1＝x2y2，
∴x＝＝＝x1+x2，
即x1+x2＝x0．
20．（8分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯：B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了统计图．
请结合图中的信息解决下列问题：
（1）在这次活动中，调查的居民共有 200 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中的a＝ 25 ，D所在扇形的圆心角是 36 度；
（4）该小组讨论中，甲、乙两个小组从三个话题：“A．5G通讯；B．民法典；C．北斗导航”中抽签（不放回）选一项进行发言，利用树状图或表格，求出两个小组选择A、B话题发言的概率．
【分析】（1）根据选择B的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生人数；
（2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以计算出选择A和C的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）由A的人数除以抽查人数求出a的值，再由360°乘以D所占的比例即可；
（4）画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）调查的学生共有：60÷30%＝200（人），
故答案为：200；
（2）选择C的学生有：200×15%＝30（人），
选择A的学生有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），
补全的条形统计图如图所示：
（3）a%＝50÷200×100%＝25%，
∴a＝25，
话题D所在扇形的圆心角是：360°×＝36°，
故答案为：25，36；
（4）画树状图如图：
共有6个等可能的结果，两个小组选择A、B话题发言的结果有2个，
∴两个小组选择A、B话题发言的概率为＝．
21．（8分）随着某市养老机构建设的稳步推进，拥有的养老床位不断增加．
（1）该市的养老床位数从2018年底的2万个增长到2020年底的2.88万个，求该市这两年（从2018年度到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；
（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），且双人间的房间数是单人间的2倍．设该养老中心建成后能提供养老床位y个，求y与t的函数关系式，并求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？
【分析】（1）设该市这两年（从2018年度到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，根据该市2018年底和2020年底的养老床位数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该养老中心建成后能提供养老床位y个，根据床位数＝单人间数+2×双人间数+3×三人间数，即可得出y关于t的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设该市这两年（从2018年度到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，
依题意得：2（1+x）2＝2.88，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市这两年（从2018年度到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．
（2）设该养老中心建成后能提供养老床位y个，
则y＝t+2×2t+3（100﹣t﹣2t）＝﹣4t+300（10≤t≤30）．
∵k＝﹣4＜0，
∴y随t的增大而减小，
∴当t＝10时，y取得最大值，最大值＝﹣4×10+300＝260（个）．
答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个．
22．（8分）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．求：
（1）观众区的水平宽度AB；
（2）顶棚的E处离地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，tanl8°30′≈0.33，结果精确到0.1m）
【分析】（1）根据坡度的概念计算；
（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，根据正切的定义求出EN，结合图形计算即可．
【解答】解：（1）∵观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，
∴AB＝2BC＝20（m），
答：观众区的水平宽度AB为20m；
（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，
则四边形MFBC、MCDN为矩形，
∴MF＝BC＝10，MN＝CD＝4，DN＝MC＝BF＝23，
在Rt△END中，tan∠EDN＝，
则EN＝DN•tan∠EDN≈7.59，
∴EF＝EN+MN+MF＝7.59+4+10≈21.6（m），
答：顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6m．
23．（10分）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEF和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝2a，AB＝2b，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．试求DE2+BG2的值（用a，b表示）．
【分析】（1）由正方形的性质得出AE＝AF，∠EAG＝90°，AB＝AD，∠BAD＝90°，得出∠EAB＝∠GAD，证明△AEB≌△AGD（SAS），则可得出结论；
（2）由菱形的性质得出AE＝AG，AB＝AD，证明△AEB≌△AGD（SAS），由全等三角形的性质可得出结论；
（3）设BE与DG交于Q，BE与AG交于点P，证明△EAB∽△GAD，得出∠EBA＝∠GDA，得出GD⊥EB，连接EG，BD，由勾股定理可求出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形AEFG为正方形，
∴AE＝AG，∠EAG＝90°，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠EAB＝∠GAD，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴BE＝DG；
（2）解：当∠EAG＝∠BAD时，BE＝DG，
理由如下：
∵∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAB＝∠GAD，
又∵四边形AEFG和四边形ABCD为菱形，
∴AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴BE＝DG；
（3）设BE与DG交于Q，BE与AG交于点P，
由题意知，AE＝2a，AB＝2b，
∵，∠EAB＝∠GDA＝90°+∠GAB，
∴△EAB∽△GAD，
∴∠EBA＝∠GDA，
∴∠AHD+∠GAD＝90°＝∠QHB+∠EBA，
∴GD⊥EB，
连接EG，BD，
∴ED2+GB2＝EQ2+QD2+GQ2+QB2＝EG2+BD2
＝（2a）2+（3a）2+（2b）2+（3b）2
＝13a2+13b2．
24．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）过点O（0，0）和A（6，0）．点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合），连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B'，△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG，在坐标平面内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N．解直角三角形求出点N的坐标，求出直线ON的解析式，构建方程组确定点D坐标即可．
（3）分三种情形：如图②﹣1中，当∠EFG＝90°时，点H在第一象限，此时G，B′，O重合．如图②﹣2中，当∠EGF＝90°时，点H在对称轴右侧．如图②﹣3中当∠FEG＝90°时，点H在对称轴左侧，点B′在对称轴上，分别求解即可．
【解答】解：（1）把点O（0，0）和A（6，0）代入y＝ax2﹣2x+c中，
得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x．
（2）如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N．
∵y＝x2﹣2x＝（x﹣3）2﹣3，
∴顶点B（3，﹣3），M（3，0），
∴OM＝3．BM＝3，
∴tan∠MOB＝＝，
∴∠MOB＝60°，
∵∠BOD＝30°，
∴∠MON＝∠MOB﹣∠BOD＝30°，
∴MN＝OM•tan30°＝，
∴N（3，﹣），
∴直线ON的解析式为y＝﹣x，
由，解得或，
∴D（5，﹣）．
（3）如图②﹣1中，当∠EFG＝90°时，点H在第一象限，此时G，B′，O重合，由题意OF＝BF，可得F（，﹣），E（3，﹣），利用平移的性质可得H（，）．
如图②﹣2中，当∠EGF＝90°时，点H在对称轴右侧，由题意，∠EBF＝∠FEB＝30°
∴EF＝BF，可得F（2，﹣2），利用平移的性质可得H（，﹣）．
如图②﹣3中当∠FGE＝90°时，点H在对称轴左侧，点B′在对称轴上，由题意EF⊥BE，可得F（1，﹣），G（，﹣），利用平移的性质，可得H（，﹣）．
综上所述，满足条件的点H的坐标为（，）或（，﹣）或（，﹣）．
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