2021年高中数学培优练习《数列-恒成立问题》专项复习（含答案）

这是一份2021年高中数学培优练习《数列-恒成立问题》专项复习（含答案），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
等比数列{an}前n项和为Sn，若对任意正整数n，Sn＋2=4Sn＋3恒成立，则a1的值为( )
A.－3 B.1 C.－3或1 D.1或3
在数列{an}中，已知a1=3，且数列{an＋(－1)n}是公比为2的等比数列，对于任意的n∈N*，不等式a1＋a2＋…＋an≥λan＋1恒成立，则实数λ的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(2,5))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(2,3))) D.(－∞，1]
已知数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且an＞0,6Sn=aeq \\al(2,n)＋3an，n∈N*，
bn=eq \f(2an,2an－12an＋1－1)，若∀n∈N*，k＞Tn恒成立，则k的最小值是( )
A.eq \f(1,7) B.eq \f(1,49) C.49 D.eq \f(8,441)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1=1，an＞0，aeq \\al(2,n＋1)=4Sn＋4n＋1(n∈N*)，若不等式4n2－8n＋3＜(5－m)2n·an对任意的n∈N*恒成立，则整数m的最大值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空题
已知{an}是递增数列，且对任意的自然数n(n≥1)，都有an=n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围为________.
已知{an}是递增数列,且对于任意的n∈N*,an=n2+λn恒成立,则实数λ的取值范围是 .
三、解答题
已知数列{an}与{bn}满足an+1-an=2(bn+1-bn)(,n∈N).
(1)若a1=1,bn=3n+5，求数列{an}的通项公式；
(2)若a1=6，bn=2n(n∈N*)且λan>2n+n+2λ对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围.
若数列{an}是递增等差数列，其中a3=5，且a1,a2,a5成等比数列，
(1)求{an}的通项公式；
(2)设，求数列{bn}的前n项和Tn．
(3)是否存在自然数m，使得对一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，
说明理由．
已知数列{an}满足a1=1，，其中n∈N*.
(1)设，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式an.
(2)设，数列{cncn+2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn－3；
解析：由{an}为递增数列，得an＋1－an=(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn=2n＋1＋λ>0恒成立，
即λ>－2n－1在n≥1时恒成立，令f(n)=－2n－1，f(n)max=－3.只需λ>f(n)max=－3即可.
答案为：(-3,+∞)；
解析：∵对于任意的n∈N*,an=n2+λn恒成立,∴an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ.
又∵{an}是递增数列,∴an+1-an>0,且当n=1时,an+1-an最小,∴an+1-an≥a2-a1=3+λ>0,∴λ>-3.
解：
解：
解：
解:
解：(1)设公差为d，由已知得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a1＋6d＝14，,a1＋2d2＝a1a1＋6d，))
解得d=1或d=0(舍去)，所以a1=2，所以an=n＋1.
(2)因为eq \f(1,anan＋1)=eq \f(1,n＋1)-eq \f(1,n＋2)，
所以Tn=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq \f(1,n＋1)-eq \f(1,n＋2)=eq \f(1,2)-eq \f(1,n＋2)=eq \f(n,2n＋2)，
又λTn≤an＋1对一切n∈N*恒成立，所以λ≤eq \f(2n＋22,n)=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(4,n)))＋8，
而2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(4,n)))＋8≥16，当且仅当n=2时等号成立．
所以λ≤16，即λ的最大值为16.
解：(1)因为a3=5，a1，a2，a5成等比数列，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝5，,a1＋d2＝a1a1＋4d，))解得a1=1，d=2，
所以数列{an}的通项公式为an=2n－1.
(2)因为bn=eq \f(1,a\\al(2,n)＋4n－2)=eq \f(1,2n－12＋4n－2)
=eq \f(1,4n2－1)=eq \f(1,2n－12n＋1)=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))，
所以Sn=b1＋b2＋…＋bn
=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋…＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n＋1)))，
依题意，对任意正整数n，不等式1－eq \f(1,2n＋1)＋(－1)n＋1a＞0，
当n为奇数时，1－eq \f(1,2n＋1)＋(－1)n＋1a＞0即a＞－1＋eq \f(1,2n＋1)，所以a＞－eq \f(2,3)；
当n为偶数时，1－eq \f(1,2n＋1)＋(－1)n＋1a＞0即a＜1－eq \f(1,2n＋1)，所以a＜eq \f(4,5).
所以实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(4,5))).