高中数学高考复习 第55讲恒成立问题 练习
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第五十五讲 恒成立问题
A组题
一 选择题
1.若不等式对于一切成立，则的取值范围是（ ）
A．0 B. –2 C. D.-3
【答案】C
【解析】
解：设，则对称轴为
若，即时，则在上是减函数，应有
若，即时，则在上是增函数，应有恒成立，故
若，即，则应有恒成立，故
综上，有故选C
2.已知不等式对任意都成立，那么实数的取值范围为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题设知“对都成立，即对都成立。设（），
则是一个以为自变量的一次函数。恒成立，则对，为上的单调递增函数。 所以对，恒成立的充分必要条件是，，，于是的取值范围是
3.若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
(A) (B) (C) （D）
【答案】B
【解析】：对,不等式恒成立
则由一次函数性质及图像知，即。
4.已知不等式(x+y)( + )≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析：不等式(x+y)()≥9对任意正实数x，y恒成立，则≥≥9，∴ ≥2或≤－4(舍去)，所以正实数a的最小值为4，选B．
二 填空题
- 若函数的定义域为R，则实数 的取值范围________________.
【答案】
分析：该题就转化为被开方数在R上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论.
解：依题意，当时，
恒成立，
所以，①当
此时
②当
有
综上所述，的定义域为时，
- 不论为何实数，直线与曲线恒有交点，则的范围_______________
【答案】
【解析】：，，当时，联想到直线与圆的位置关系，则有点必在圆上或圆内，即点到圆心距离不大于半径，则有，得
三 解答题
7.已知，（1）如果对一切，恒成立，求实数的取值范围；（2）如果对，恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）；
（2）或或，
解得或或，
∴的取值范围为．
8.设，若不等式恒成立，求的取值范围。
解：若设，则为上半圆。
设为过原点，为斜率的直线。
在同一坐标系内 作出函数图象
依题意，半圆恒在直线上方时，只有时成立，即a的取值范围为。
- （1）已知两函数，，对任意，存在，使得，求实数m的取值范围
（2）已知函数，，其中，．
对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；
解析：对任意，存在，使得等价于在上的最小值不大于在上的最小值0，既，∴
（1）【分析：】思路、对在不同区间内的两个函数和分别求最值，即只需满足即可．
令；
令,
故(1)对称轴，即时，，由 解得,（注意到的范围）从而得的范围：
(2)对称轴时，，由 解得,（注意到的范围）从而得无解：;
(3)对称轴时，，由 解得或，（注意到的范围）从而得的范围：;;
综合（1）（2）（3）知实数的取值范围是：
10.（1）对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
（2）对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
（3）对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：令
（1）在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使对任意实数，不等式恒成立，只需.
故实数的取值范围是
（2）在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使对任意实数，不等式恒成立，只需.
故实数的取值范围是
（3）的最小值为3，，故实数的取值范围是
B组题
一 选择题
- 已知，若，使得，则实数的取值范围是（ ）
- B. C. D.
【答案】A
【解析】因为时，
时，
故只需
- 已知，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 （ ）
- B. C. D.
【答案】A
【解析】根据对于意的，总存在，使得，得到函数在的值域是在上值域的子集
求导函数可得：，∴函数在上单调减，在上单调增
∴在上值域是；
时，函数在上单调增，∴在的值域是
∴且
∴
时，，满足题意
时，函数在上单调减，∴在的值域是
∴且
综上知的取值范围是
故选C
- 已知集合，集合，则（ ）
- B. C. D.
【答案】C
【解析】集合
由集合，可知的定义域为
不等式有解，
即不等式在上有解
令，可得，令，可得，再由当时，，当时，，可得当时取得最大值为1
要使等式在上有解，只要小于或等于的最大值即可
即成立，所以集合
所以
故选C
- 设，函数，若对任意的，都有成立，则的取值范围为 （ ）
A. B. C, D.
【答案】D
【解析】求导函数，可得
∴
，令，
∵
当时，在上单调增，
∴
当时，在上单调减，在上单调增，
∴恒成立
当时，在上单调减
∴恒成立
综上，
二 填空题
- ．设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为 ．
【答案】4
【解析】由题意，，
当时，，函数是减函数，，只需即可，解得，与已知矛盾。
当时，令，解得
①当时，为递增函数
②当时，为递减函数
③当时，为递增函数
所以，且，且即可
由即，解得
由，解得
由，解得
综上，为所求
6.若不等式对任意都成立，则实数取值范围是_________．
【答案】
【解析】显然时，有或
令
①当时，对任意的，在上递减，，此时的最小值为0，不适合题意
②当时，对任意的，
函数在上单调递减，在上单调递增
∴的最小值为，解得
∴实数取值范围是
三 解答题
7.已知两函数，。
（1）对任意，都有成立，求实数的取值范围
（2）存在，使成立，求实数的取值范围
（3）对任意，都有，求实数的取值范围
（4）存在，都有，求实数的取值范围
解析：
（1）设，问题转化为时，恒成立，故。
令，得或。由导数知识，可知在单调递增，在单调递减，在单调递增，且，
，，
∴，由，得。
（2）据题意：存在，使成立，即为：在有解，故，由（1）知，于是得。
（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意，都有成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，的取值在上具有任意性，∴要使不等式恒成立的充要条件是：
∵∴ ，
∵在区间上只有一个解。
∴，即.
（4）存在，都有，等价于，由(3)得，，
点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。
8.已知函数．（１）求的单调区间；（２）若不等式 学科网恒成立，求实数的取值组成的集合．学科网
解：（１）由已知得．因为，学科网所以当
．学科网
故区间为的单调递减区间，区间为的单调递增区间．
（２）①当时，．学科网
令，
则．学科网
由（１）知当时，有，所以，学科网
即得在上为增函数，所以，所以．
②当时，．学科网
由①可知，当时，为增函数，所以，学科网
所以．学科网 综合以上得．故实数的取值组成的集合为
9.已知函数和
（I）若函数与函数的图像在处的切线平行，求的值；
（II）设，当时，恒成立，求实数的取值范围
解：（I）∵
∵若函数与函数的图像在处的切线平行
（II）
在是单调减函数，在是单调增函数.
∴当时，有
当时，有
∵当时，恒成立
∴满足条件的的值满足下列不等式组 ①或②
不等式组①的解集为空集，解不等式组②得 综上所述，满足条件的的取值范围是
10..已知函数（1）求函数的最大值；（2）设，求在上的最大值；(3) 试证明：对，不等式恒成立．
解：（１）∵， 令得 显然是上方程的解
令，则∴函数在上单调增 ∴是方程的唯一解 ∵当时，当时
∴函数在上单调递增，在上单调递减 ∴当时函数有最大值
（２）由（１）知函数在上单调递增，在上单调递减
故①当即时在上单调递增
∴
②当时在上单调递减 ∴
③当，即时
（３）由（１）知当时，
∴在上恒有，当且仅当时“＝”成立
∴对任意的恒有
∵
∴ 即对，不等式恒成立．
C组题
一 选择题
- 三次函数在内恒为正值，则的取值范围是 （ ）．
- B. C. D.
【答案】D
【解析】解：方法1：可以看作，且
的图象和类似，只是在一，三象限，
由于，讨论第一象限即可
直线过点，斜率为．
观察可知在范围内，直线与相切的斜率是的最大值．
对求导得相切的斜率，相切的话，的最大值为．
相切即是有交点，
则的最大值为，
那么．
方法2：，
时，在上单调增，只需，显然成立；
时，令 ， 在上单调增，在上单调减；
如果即，只需，显然成立；
如果即，只需，即，矛盾舍去；
如果即，必须
，即，即：
综上：
- 已知函数，若对任意的，存在实数满足，使得，则的最大值为 ( ) ．
A.1 B.2 C.3 D.4
.【答案】C
【解析】当时，作函数与的图象如下，
，对，存在实数满足，使得成立，正确；
当时，作函数与的图象如下，
，对，存在实数满足，使得成立，正确
当时，作函数与的图象如下，
，对，存在实数满足，使得成立，正确
当时，作函数与的图象如下，
，不正确
故选
- 已知函数，其中是的导函数.对满足的一切的值，都有，则实数的取值范围 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解法1.由题意，这一问表面上是一个给出参数的范围，解不等式的问题，实际上，把以为变量的函数，改为以为变量的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即
令，则对，恒有，即，从而转化为对，恒成立，又由是的一次函数，因而是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到.为此
只需 即解得.故时，对满足的一切的值，都有.
解法2.考虑不等式.
由知,,于是,不等式的解为
.
但是,这个结果是不正确的,因为没有考虑的条件,还应进一步完善.
为此,
设.
不等式化为恒成立,即.
由于在上是增函数,则,
在上是减函数,则
所以, .
故时，对满足的一切的值，都有.
- ，其中为实数，为任意给定的自然数，且，如果当时有意义，则的取值范围 （ ）。
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题即为对于，有恒成立。
这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求的范围，可先将分离出来，得，对于恒成立。
构造函数，则问题转化为求函数在上的值域。
由于函数在上是单调增函数，
则在上为单调增函数。于是有的最大值为：，从而可得。
二 填空题
- 存在使得不等式成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
解：不等式，即，
令的图象是关于对称的一个字形图形，其象位于第一、二象限；
，是一个开口向下，关于轴对称，最大值为的抛物线；
要存在，使不等式成立，则的图象应该在第二象限和的图象有交点，两种临界情况，①当时，的右半部分和在第二象限相切：
的右半部分即，
联列方程，只有一个解；
即，即，得：；
此时恒大于等于，所以取不到；
所以；
②当时，要使和在第二象限有交点，
即的左半部分和的交点的位于第二象限；
无需联列方程，只要与轴的交点小于2即可；
与轴的交点为，所以，
又因为，所以；
综上，实数的取值范围是：
故答案为：
6.设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 。
【解析】(分离变量法)
依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立。
当时函数取得最小值，所以，
即，解得或。
另解（函数法）：
依据题意得在上恒定成立，
即0在上恒成立。
令,则 ∴在上恒成立，令
∴且 ∴得或
三 解答题
7.已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数．
(I)求的值；
(II) 若在上恒成立，求的取值范围．
(Ⅲ) 讨论关于的方程的根的个数。
解：（I）是奇函数，则恒成立.
（II）又在上单调递减，
∴只需
∴（其中）恒成立
令
则
.
（III）由（I）知
令，，
当上为增函数；
上为减函数，
当时，而，
、在同一坐标系的大致图象如图所示，
∴①当时，方程无解. ②当时，方程有一个根.
③当时，方程有两个根.
8.已知函数，（1）当时，判断在定义域上的单调性；（2）若在上的最小值为，求的值；（3）若在上恒成立，求的取值范围
解：（1）由题意：的定义域为，且．
，故在上是单调递增函数．
（2）由（1）可知：
① 若，则，即在上恒成立，此时在上为增函数，
② 若，则，即在上恒成立，此时在上为减函数，
．
③ 若，令得，
当时，∴在上为减函数，
当时，在上为增函数，
综上可知：．
（3）．又
令，
在上是减函数，，即，
在上也是减函数，．令得，
∴当在恒成立时，
9.对于函数，若存在实数，使成立，则称为的不动点。
（1）当时，求的不动点；
（2）若对于任何实数，函数恒有两相异的不动点，求实数的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若的图象上两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的取值范围。
解
（1）当时， 设为其不动点，即
则 的不动点是－1，2.
（2）由得：. 由已知，此方程有相异二实根，
恒成立，即 即对任意恒成立.
（3）设，直线是线段AB的垂直平分线，
记的中点由（2）知
化简得：时，等号成立）;
又在上单调递减，且值域为，所以在值域为。
从而在的值域为，即
10.设函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若不等式在上恒成立，求k的最大值．
解 (1)函数的定义域为，
，由，得；
由，得
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)法一 由已知在上恒成立，
得，
令，
则，
设，
则，
所以函数在上单调递增．
而，
由零点存在定理，知存在，使得，
即，
又函数在上单调递增，
所以当时，；
当时，
从而当时，；
当时，，
所以在上的最小值为
因此在上恒成立等价于
由，知，所以的最大值为
法二 由题意，在上恒成立．
设，
则，
(ⅰ)当时，则，
所以单调递增，，
即恒成立．
(ⅱ)当时，则在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，只需即可，
即.
设，
，则单调递减，
因为
所以的最大值为
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