2020年内蒙古包头市中考数学真题（含答案）

这是一份2020年内蒙古包头市中考数学真题（含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年内蒙古包头市中考数学试卷
一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
1．（3分）+的计算结果是（　　）
A．5 B． C．3 D．4+
2．（3分）2020年初，国家统计局发布数据，按现行国家农村贫困标准测算，截至2019年末，全国农村贫困人口减少至551万人，累计减少9348万人．将9348万用科学记数法表示为（　　）
A．0.9348×108 B．9.348×107 C．9.348×108 D．93.48×106
3．（3分）点A在数轴上，点A所对应的数用2a+1表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（　　）
A．﹣2或1 B．﹣2或2 C．﹣2 D．1
4．（3分）下列计算结果正确的是（　　）
A．（a3）2＝a5 B．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2
C．1+＝ D．a÷b•＝
5．（3分）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB．若∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，则∠A的度数为（　　）

A．50° B．55° C．70° D．75°
6．（3分）如图，将小立方块①从6个大小相同的小立方块所搭的几何体中移走后，所得几何体（　　）

A．主视图改变，左视图改变
B．俯视图不变，左视图改变
C．俯视图改变，左视图改变
D．主视图不变，左视图不变
7．（3分）两组数据：3，a，b，5与a，4，2b的平均数都是3．若将这两组数据合并为一组新数据，则这组新数据的众数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E．若AC＝2，BC＝2，则BE的长为（　　）

A． B． C． D．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在直径AB的两侧．若∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，CD＝4，则的长为（　　）

A．2π B．4π C． D．π
10．（3分）下列命题正确的是（　　）
A．若分式的值为0，则x的值为±2
B．一个正数的算术平方根一定比这个数小
C．若b＞a＞0，则＞
D．若c≥2，则一元二次方程x2+2x+3＝c有实数根
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A和点B，C是线段AB上一点．过点C作CD⊥x轴，垂足为D，CE⊥y轴，垂足为E，S△BEC：S△CDA＝4：1，若双曲线y＝（x＞0）经过点C，则k的值为（　　）

A． B． C． D．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，按以下步骤作图：
（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点（点M在AB的上方）；
（2）作直线MN交AB于点O，交BC于点D；
（3）用圆规在射线OM上截取OE＝OD．连接AD，AE，BE，过点O作OF⊥AC．重足为F，交AD于点G．
下列结论：
①CD＝2GF；
②BD2﹣CD2＝AC2；
③S△BOE＝2S△AOG；
④若AC＝6，OF+OA＝9，则四边形ADBE的周长为25．
其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．请把答案填在答题卡上对应的横线上．
13．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
14．（3分）分式方程+＝1的解是　 　．
15．（3分）计算：（+）（﹣）2＝　 　．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE．若∠BAE＝56°，则∠CEF＝　 　°．

17．（3分）一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3．随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为　 　．
18．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝2，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E，若点E恰好在边AD上，则BE2+CE2的值为　 　．

19．（3分）在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为　 　．
20．（3分）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE．若∠ADB＝30°，则tan∠DEC的值为　 　．

三、解答题：本大题共有6小题，共60分．请将必要的文字说明，计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．
21．（8分）我国5G技术发展迅速，全球领先．某公司最新推出一款5G产品，为了解用户对该产品的满意度，随机调查了30个用户，得到用户对该产品的满意度评分如下（单位：分）：
83 92 68 55 77 71 73 62 73 95 92 94 72 64 59
66 71 75 69 86 87 79 81 77 68 82 62 77 61 88
整理上面的数据得到尚不完整的频数直方图（如图）．
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）补全频数直方图；
（2）参与调查的一个用户说：“我的满意度评分在这30个用户中是中位数”，该用户的满意度评分是　 　分；
（3）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度平分
低于60分
60分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计使用该公司这款5G产品的1500个用户中，满意度等级为“非常满意”的人数．

22．（8分）如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地，当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一电视塔P．他由A地向正北方向骑行了3km到达B地，发现电视塔P在他北偏东75°方向，然后他由B地向北偏东15°方向骑行了6km到达C地．
（1）求A地与电视塔P的距离；
（2）求C地与电视塔P的距离．

23．（10分）某商店销售A、B两种商品，A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元，2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元．
（1）求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元？
（2）该商店计划购进A，B两种商品共60件，且A，B两种商品的进价总额不超过7800元．已知A种商品和B种商品的每件进价分别为110元和140元，应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多？
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，垂足为O，直线l为⊙O的切线，A是切点，D是OA上一点，CD的延长线交直线l于点E，F是OB上一点，CF的延长线交⊙O于点G，连接AC，AG，已知⊙O的半径为3，CE＝，5BF﹣5AD＝4．
（I）求AE的长；
（2）求cos∠CAG的值及CG的长．

25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D．
（1）如图1，当A′B′∥AC时，过点B作BE⊥A′C，垂足为E，连接AE．
①求证：AD＝BD；
②求的值；
（2）如图2，当A′C⊥AB时，过点D作DM∥A′B′，交B′C于点N，交AC的延长线于点M，求的值．

26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y＝﹣x+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM．
（1）求b的值及点M的坐标；
（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°；
（3）点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G．当∠BEF＝2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF＝4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．


2020年内蒙古包头市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
1．（3分）+的计算结果是（　　）
A．5 B． C．3 D．4+
【解答】解：原式＝2+
＝3．
故选：C．
2．（3分）2020年初，国家统计局发布数据，按现行国家农村贫困标准测算，截至2019年末，全国农村贫困人口减少至551万人，累计减少9348万人．将9348万用科学记数法表示为（　　）
A．0.9348×108 B．9.348×107 C．9.348×108 D．93.48×106
【解答】解：9348万＝93480000＝9.348×107，
故选：B．
3．（3分）点A在数轴上，点A所对应的数用2a+1表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（　　）
A．﹣2或1 B．﹣2或2 C．﹣2 D．1
【解答】解：由题意得，
|2a+1|＝3，
解得，a＝1或a＝﹣2，
故选：A．
4．（3分）下列计算结果正确的是（　　）
A．（a3）2＝a5 B．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2
C．1+＝ D．a÷b•＝
【解答】解：A、原式＝a6，不符合题意；
B、原式＝（﹣bc）2＝b2c2，不符合题意；
C、原式＝，不符合题意；
D、原式＝，符合题意．
故选：D．
5．（3分）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB．若∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，则∠A的度数为（　　）

A．50° B．55° C．70° D．75°
【解答】解：∵∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠ECD＝55°，
∵AB∥CE，
∴∠A＝∠ACE＝55°，
故选：B．
6．（3分）如图，将小立方块①从6个大小相同的小立方块所搭的几何体中移走后，所得几何体（　　）

A．主视图改变，左视图改变
B．俯视图不变，左视图改变
C．俯视图改变，左视图改变
D．主视图不变，左视图不变
【解答】解：观察图形可知，将小立方块①从6个大小相同的小立方块所搭的几何体中移走后，所得几何体主视图不变，左视图和俯视图都改变．
故选：C．
7．（3分）两组数据：3，a，b，5与a，4，2b的平均数都是3．若将这两组数据合并为一组新数据，则这组新数据的众数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：由题意得，
，
解得，
这两组数据为：3、3、1、5和3、4、2，这两组数合并成一组新数据，
在这组新数据中，出现次数最多的是3，因此众数是3，
故选：B．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E．若AC＝2，BC＝2，则BE的长为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：方法1：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2，
由勾股定理得AB＝＝＝2，
∵D是AB的中点，
∴BD＝CD＝，
设DE＝x，
由勾股定理得（）2﹣x2＝（2）2﹣（+x）2，
解得x＝，
∴在Rt△BED中，BE＝＝＝．
方法2：三角形ABC的面积＝×AC×BC＝×2×2＝2，
∵D是AB中点，
∴△BCD的面积＝△ABC面积×＝，
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2，
由勾股定理得AB＝＝＝2，
∵D是AB的中点，
∴CD＝，
∴BE＝×2÷＝．
故选：A．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在直径AB的两侧．若∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，CD＝4，则的长为（　　）

A．2π B．4π C． D．π
【解答】解：∵∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，
∠AOD+∠DOB＝180°，
∴∠AOD＝×180°＝70°，∠DOB＝110°，∠COA＝20°，
∴∠COD＝∠COA+∠AOD＝90°，
∵OD＝OC，CD＝4，
∴2OD2＝42，
∴OD＝2，
∴的长是＝，
故选：D．
10．（3分）下列命题正确的是（　　）
A．若分式的值为0，则x的值为±2
B．一个正数的算术平方根一定比这个数小
C．若b＞a＞0，则＞
D．若c≥2，则一元二次方程x2+2x+3＝c有实数根
【解答】解：A、若分式的值为0，则x值为﹣2，故错误；
B、一个正数的算术平方根不一定比这个数小，故错误；
C、若b＞a＞0，则＜，故错误；
D、若c≥2，则一元二次方程x2+2x+3＝c有实数根，正确，
故选：D．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A和点B，C是线段AB上一点．过点C作CD⊥x轴，垂足为D，CE⊥y轴，垂足为E，S△BEC：S△CDA＝4：1，若双曲线y＝（x＞0）经过点C，则k的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A和点B，
∴A（2，0），B（0，3），即：OA＝2，OB＝3；
∵S△BEC：S△CDA＝4：1，又△BEC∽△CDA，
∴＝＝，
设EC＝a＝OD，CD＝b＝OE，则AD＝a，BE＝2b，
有，OA＝2＝a+a，解得，a＝，
OB＝3＝3b，解得，b＝1，
∴k＝ab＝，
故选：A．

12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，按以下步骤作图：
（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点（点M在AB的上方）；
（2）作直线MN交AB于点O，交BC于点D；
（3）用圆规在射线OM上截取OE＝OD．连接AD，AE，BE，过点O作OF⊥AC．重足为F，交AD于点G．
下列结论：
①CD＝2GF；
②BD2﹣CD2＝AC2；
③S△BOE＝2S△AOG；
④若AC＝6，OF+OA＝9，则四边形ADBE的周长为25．
其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：根据作图过程可知：
DE⊥AB，AO＝BO，OE＝OD，
∴四边形ADBE是菱形，
∵OF⊥AC，BC⊥AC，
∴OF⊥BC，
又AO＝BO，
∴AF＝CF，AG＝GD，
∴CD＝2FG．
∴①正确；
∵四边形ADBE是菱形，
∴AD＝BD，
在Rt△ACD中，根据勾股定理，得
AD2﹣CD2＝AC2，
∴BD2﹣CD2＝AC2．
∴②正确；
∵点G是AD的中点，
∴S△AOD＝2S△AOG，
∵S△AOD＝S△BOE，
S△BOE＝2S△AOG；
∴③正确；
∵AF＝AC＝6＝3，
又OF+OA＝9，
∴OA＝9﹣OF，
在Rt△AFO中，根据勾股定理，得
（9﹣OF）2＝OF2+32，
解得OF＝4，
∴OA＝5，
∴AB＝10，
∴BC＝8，
∴BD+DC＝AD+DC＝8，
∴CD＝8﹣AD，
在Rt△ACD中，根据勾股定理，得
AD2＝62+（8﹣AD）2，
解得AD＝，
∴菱形ADBE的周长为4AD＝25．
∴④正确．
综上所述：①②③④．
故选：D．
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．请把答案填在答题卡上对应的横线上．
13．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≠3　．
【解答】解：由题意得，x﹣3≠0，
解得x≠3．
故答案为：x≠3．
14．（3分）分式方程+＝1的解是　x＝　．
【解答】解：分式方程+＝1，
去分母得：3﹣x﹣x＝x﹣2，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
故答案为：x＝．
15．（3分）计算：（+）（﹣）2＝　﹣　．
【解答】解：原式＝[（+）（﹣）]（﹣）
＝（3﹣2）（﹣）
＝﹣．
故答案为：﹣．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE．若∠BAE＝56°，则∠CEF＝　22　°．

【解答】解：∵正方形ABCD中，∠BAE＝56°，
∴∠DAF＝34°，∠DFE＝56°，
∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DCE＝∠DAF＝34°，
∵∠DFE是△CEF的外角，
∴∠CEF＝∠DFE﹣∠DCE＝56°﹣34°＝22°，
故答案为：22．
17．（3分）一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3．随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为　　．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

共有9种可能出现的结果，其中“第2张数字大于第1张数字”的有3种，
∴P（出现）＝＝．
故答案为：．
18．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝2，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E，若点E恰好在边AD上，则BE2+CE2的值为　16　．

【解答】证明：∵BE、CE 分别平分∠ABC 和∠BCD
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝2，BC＝AD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴BE2+CE2＝BC2 ，
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠AEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AB＝AE＝2，
同理可证 DE＝DC＝2，
∴DE+AE＝AD＝4，
∴BE2+CE2＝BC2＝AD2＝16．
故答案为：16．
19．（3分）在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为　4　．
【解答】解：∵点A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，
∴，
解得，b＝﹣4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∵将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，
∴n的最小值是4，
故答案为：4．
20．（3分）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE．若∠ADB＝30°，则tan∠DEC的值为　　．

【解答】解：如图，过点C作CF⊥BD于点F，设CD＝2，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，BE＝FD，
∵AE⊥BD，
∴∠ADB＝∠BAE＝30°，
∴AE＝CF＝，BE＝FD＝1，
∵∠BAE＝∠ADB＝30°，
∴BD＝2AB＝4，
∴EF＝4﹣2×1＝2，
∴tan∠DEC＝＝，
故答案为：．

三、解答题：本大题共有6小题，共60分．请将必要的文字说明，计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．
21．（8分）我国5G技术发展迅速，全球领先．某公司最新推出一款5G产品，为了解用户对该产品的满意度，随机调查了30个用户，得到用户对该产品的满意度评分如下（单位：分）：
83 92 68 55 77 71 73 62 73 95 92 94 72 64 59
66 71 75 69 86 87 79 81 77 68 82 62 77 61 88
整理上面的数据得到尚不完整的频数直方图（如图）．
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）补全频数直方图；
（2）参与调查的一个用户说：“我的满意度评分在这30个用户中是中位数”，该用户的满意度评分是　74　分；
（3）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度平分
低于60分
60分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计使用该公司这款5G产品的1500个用户中，满意度等级为“非常满意”的人数．

【解答】解：（1）将样本数据分别统计各组的频数如下表：

频数分布直方图如图所示：

（2）将调查数据从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为＝74，因此中位数是74，
故答案为：74；
（3）1500×＝200（户），
答：使用该公司这款5G产品的1500个用户中，满意度等级为“非常满意”的有200户．
22．（8分）如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地，当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一电视塔P．他由A地向正北方向骑行了3km到达B地，发现电视塔P在他北偏东75°方向，然后他由B地向北偏东15°方向骑行了6km到达C地．
（1）求A地与电视塔P的距离；
（2）求C地与电视塔P的距离．

【解答】解：（1）过B作BD⊥AP于D．
依题意∠BAD＝45°，则∠ABD＝45°，
在Rt△ABD中，AD＝BD＝AB＝×3＝3，
∵∠PBN＝75°，
∴∠APB＝∠PBN﹣∠PAB＝30°，
∴PD＝cot30°•BD＝•BD＝3，PB＝2BD＝6，
∴AP＝AD+PD＝3+3；
∴A地与电视塔P的距离为（3+3）km；
（2）过C作CE⊥BP于点E，
∵∠PBN＝75°，∠CBN＝15°，
∴∠CBE＝60°，
∴BE＝cos60°•BC＝＝3，
∵PB＝6，
∴PE＝PB﹣BE＝3，
∴PE＝BE，
∵CE⊥PB，
∴PC＝BC＝6．
∴C地与电视塔P的距离6km．

23．（10分）某商店销售A、B两种商品，A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元，2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元．
（1）求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元？
（2）该商店计划购进A，B两种商品共60件，且A，B两种商品的进价总额不超过7800元．已知A种商品和B种商品的每件进价分别为110元和140元，应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多？
【解答】解：（1）设A种商品的销售单价是x元，B种商品的销售单价是y元
根据题意得：，
解得：，
答：A种商品的销售单价是140元，B种商品的销售单价是180元；

（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（60﹣a）件，设总获利为w元，
根据题意得：110a+140（60﹣a）≤7800，
解得：a≥20，
w＝（140﹣110）a+（180﹣140）（60﹣a）＝﹣10a+2400，
∵﹣10＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝20时，w有最大值；
答：商店购进A种商品20件，购进B种商品40件时，总获利最多．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，垂足为O，直线l为⊙O的切线，A是切点，D是OA上一点，CD的延长线交直线l于点E，F是OB上一点，CF的延长线交⊙O于点G，连接AC，AG，已知⊙O的半径为3，CE＝，5BF﹣5AD＝4．
（I）求AE的长；
（2）求cos∠CAG的值及CG的长．

【解答】解：（1）延长CO交⊙O于T，过点E作EH⊥CT于H．
∵直线l是⊙O的切线，
∴AE⊥OD，
∵OC⊥AB，
∴∠EAO＝∠AOH＝∠EHO＝90°，
∴四边形AEHO是矩形，
∴EH＝OA＝3，AE＝OH，
∵CH＝＝＝5，
∴AE＝OH＝CH﹣CO＝5﹣3＝2．

（2）∵AE∥OC，
∴＝＝，
∴AD＝OA＝，
∵5BF﹣5AD＝4，
∴BF＝2，
∴OF＝OB﹣BF＝1，AF＝AO+OF＝4，CF＝＝＝，
∵∠FAC＝∠FGB，∠AFC＝∠GFB，
∴△AFC∽△GFB，
∴＝，
∴＝，
∴FG＝，
∴CG＝FG+CF＝，
∵CT是直径，
∴∠CGT＝90°，
∴GT＝＝＝，
∴cos∠CTG＝＝＝，
∵∠CAG＝∠CTG，
∴cos∠CAG＝．

25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D．
（1）如图1，当A′B′∥AC时，过点B作BE⊥A′C，垂足为E，连接AE．
①求证：AD＝BD；
②求的值；
（2）如图2，当A′C⊥AB时，过点D作DM∥A′B′，交B′C于点N，交AC的延长线于点M，求的值．

【解答】解：（1）①∵A′B′∥AC，
∴∠B′A′C＝∠A′CA，
∵∠B′A′C＝∠BAC，
∴∠A′CA＝∠BAC，
∴AD＝CD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠ACD，
∵∠ABC＝90°﹣∠BAC，
∴∠CBD＝∠BCD，
∴BD＝CD，
∴AD＝BD；
②∵∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，
∴AB＝，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠ACB＝90°，
∵∠BCE＝∠ABC，
∴△BEC∽△ACB，
∴，即，
∴CE＝，
∵∠ACB＝90°，AD＝BD，
∴CD＝AB＝，
∴CE＝CD，
∴S△ACE＝S△ADE，
∵AD＝BD，
∴S△ABE＝2S△ADE，
∴＝；
（2）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°＝∠A′CB′，
∴AB∥CN，
∴△MCN∽△MAD，
∴，
∵，
∴，
∴AD＝，
∵DM∥A′B′，
∴∠CDN＝∠A′＝∠A，
∴CN＝CD•tan∠CDN＝CD•tanA＝CD•，
∴，
∴．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y＝﹣x+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM．
（1）求b的值及点M的坐标；
（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°；
（3）点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G．当∠BEF＝2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF＝4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）解：对于抛物线y＝x2﹣2x，令y＝0，得到x2﹣2x＝0，
解得x＝0或6，
∴A（6，0），
∵直线y＝﹣x+b经过点A，
∴0＝﹣3+b，
∴b＝3，
∵y＝x2﹣2x＝（x﹣3）2﹣3，
∴M（3，﹣3）．

（2）证明：如图1中，设平移后的直线的解析式y＝﹣x+n．

∵平移后的直线经过M（3，﹣3），
∴﹣3＝﹣+n，
∴n＝﹣，
∴平移后的直线的解析式为y＝﹣x﹣，
过点D（2，0）作DH⊥MC于H，
则直线DH的解析式为y＝2x﹣4，
由，解得，
∴H（1，﹣2），
∵D（2，0），M（3，﹣3），
∴DH＝＝，HM＝＝，
∴DH＝HM．
∴∠DMC＝45°，
∵∠ADM＝∠DMC+∠ACM，
∴∠ADM﹣∠ACM＝45°．

（3）解：如图2中，过点G作GH⊥OA于H，过点E作EK⊥OA于K．

∵∠BEF＝2∠BAO，∠BEF＝∠BAO+∠EFA，
∴∠EFA＝∠BAO，
∵∠EFA＝∠GFH，tan∠BAO＝＝＝，
∴tan∠GFH＝tan∠EFK＝，
∵GH∥EK，
∴＝＝，设GH＝4k，EK＝3k，
则OH＝HG＝4k，FH＝8k，FK＝AK＝6k，
∴OF＝AF＝12k＝3，
∴k＝，
∴OF＝3，FK＝AK＝，EK＝，
∴OK＝，
∴E（，）．
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