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2020年内蒙古呼和浩特市中考数学真题（含答案）
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这是一份2020年内蒙古呼和浩特市中考数学真题（含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）2020年3月抗击“新冠肺炎”居家学习期间，小华计划每天背诵6个汉语成语．将超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，某一周连续5天的背诵记录如下：+4，0，+5，﹣3，+2，则这5天他共背诵汉语成语（ ）
A．38个 B．36个 C．34个 D．30个
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．•＝＝±
B．（ab2）3＝ab5
C．（x﹣y+）（x+y+）＝（x+y）2
D．÷＝﹣
4．（3分）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“”的概率是0.5；则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路A、B之间，电流能够正常通过的概率是（ ）
A．0.75 B．0.525 C．05 D．025
5．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（ ）
A．102里 B．126里 C．192里 D．198里
6．（3分）已知二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）a+1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（a﹣2）2﹣（a+2）x+1＝0的两根之积为（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣ D．﹣
7．（3分）关于二次函数y＝x2﹣6x+a+27，下列说法错误的是（ ）
A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a＝﹣5
B．当x＝12时，y有最小值a﹣9
C．x＝2对应的函数值比最小值大7
D．当a＜0时，图象与x轴有两个不同的交点
8．（3分）命题①设△ABC的三个内角为A、B、C且α＝A+B，β＝C+A，γ＝C+B，则α、β、γ中，最多有一个锐角；②顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；③从11个评委分别给出某选手的不同原始评分中，去掉1个最高分、1个最低分，剩下的9个评分与11个原始评分相比，中位数和方差都不发生变化．其中错误命题的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（3分）在同一坐标系中，若正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象没有交点，则k1与k2的关系，下面四种表述①k1+k2≤0；②|k1+k2|＜|k1|或|k1+k2|＜|k2|；③|k1+k2|＜|k1﹣k2|；④k1k2＜0．正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（3分）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E、H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'、D点的对称点为D'，若∠FPG＝90°，S△A′EP＝8，S△D′PH＝2，则矩形ABCD的长为（ ）
A．6+10 B．6+5 C．3+10 D．3+5
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答过程）
11．（3分）如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为 ．
12．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．
13．（3分）分式与的最简公分母是 ，方程﹣＝1的解是 ．
14．（3分）公司以3元/kg的成本价购进10000kg柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，如表是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为 （精确到0.1）；从而可大约每千克柑橘的实际售价为 元时（精确到0.1），可获得12000元利润法利润．
柑橘总质量n/kg
损坏柑橘质量m/kg
柑橘损坏的频率（精确到0.001）
…
…
…
250
24.75
0.099
300
30.93
0.103
350
35.12
0.100
450
44.54
0.099
500
50.62
0.101
15．（3分）“书法艺求课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为 ，并可推断出5月30日应该是星期几 ．
16．（3分）已知AB为⊙O的直径且长为2r，C为⊙O上异于A，B的点，若AD与过点C的⊙O的切线互相垂直，垂足为D．①若等腰三角形AOC的顶角为120度，则CD＝r，②若△AOC为正三角形，则CD＝r，③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D，则CD＝r，④无论点C在何处，将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上，其中正确结论的序号为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：|1﹣|﹣×+﹣（）﹣2；
（2）已知m是小于0的常数，解关于x的不等式组：．
18．（8分）如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．
（1）求证：AF﹣BF＝EF；
（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能请指出此时点G的位置，如不可能请说明理由．
19．（7分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行38km到B港，然后再沿北偏西42°方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向．
（1）直接写出∠C的度数；
（2）求A、C两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）
20．（6分）已知自变量x与因变量y1的对应关系如表呈现的规律．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y1
…
12
11
10
9
8
…
（1）直接写出函数解析式及其图象与x轴和y轴的交点M，N的坐标；
（2）设反比列函数y1＝（k＞0）的图象与（1）求得的函数的图象交于A，B两点，O为坐标原点且S△AOB＝30，求反比例函数解析式；已知a≠0，点（a，y2）与（a，y1）分别在反比例函数与（1）求得的函数的图象上，直接写出y2与y1的大小关系．
21．（12分）为了发展学生的健康情感，学校开展多项体育活动比赛，促进学生加强体育锻炼，注重增强体质，从全校2100名学生60秒跳绳比赛成绩中，随机抽取60名同学的成绩，通过分组整理数据得到下面的样本频数分布表．
跳绳的次数
频数
60≤x＜
4
≤x＜
6
≤x＜
11
≤x＜
22
≤x＜
10
≤x＜
4
≤x＜
（1）已知样本中最小的数是60，最大的数是198，组距是20，请你将该表左侧的每组数据补充完整；
（2）估计全校学生60秒跳绳成绩能达到最好一组成绩的人数；
（3）若以各组组中值代表各组的实际数据，求出样本平均数（结果保留整数）及众数；分别写出用样本平均数和众数估计全校学生60秒跳绳成绩得到的推断性结论．
22．（7分）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程x﹣＝0，就可以利用该思维方式，设＝y，将原方程转化为：y2﹣y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．
已知实数x，y满足，求x2+y2的值．
23．（10分）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现者名的黄金分割比≈0.618．如图，圆内接正五边形ABCDE，圆心为O，OA与BE交于点H，AC、AD与BE分别交于点M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）
（1）求证：△ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN的形状；
（2）求证：，且其比值k＝；
（3）由对称性知AO⊥BE，由（1）（2）可知也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值．
24．（12分）已知某厂以t小时/千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求0.1＜t≤1），且每小时可获得利润60（﹣3t++1）元．
（1）某人将每小时获得的利润设为y元，发现t＝1时，y＝180，所以得出结论：每小时获得的利润，最少是180元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行分析说明；
（2）若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产，则1天（按8小时计算）可生产该产品多少千克；
（3）要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
2020年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）2020年3月抗击“新冠肺炎”居家学习期间，小华计划每天背诵6个汉语成语．将超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，某一周连续5天的背诵记录如下：+4，0，+5，﹣3，+2，则这5天他共背诵汉语成语（ ）
A．38个 B．36个 C．34个 D．30个
【解答】解：（+4+0+5﹣3+2）+5×6＝38个，
∴这5天他共背诵汉语成语38个，
故选：A．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．•＝＝±
B．（ab2）3＝ab5
C．（x﹣y+）（x+y+）＝（x+y）2
D．÷＝﹣
【解答】解：A、，故选项错误；
B、（ab3）＝a3b6，故选项错误；
C、
＝
＝（x+y）2，故选项正确；
D、，故选项错误；
故选：C．
4．（3分）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“”的概率是0.5；则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路A、B之间，电流能够正常通过的概率是（ ）
A．0.75 B．0.525 C．05 D．025
【解答】解：根据题意，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5，
即某一个电子元件不正常工作的概率为0.5，
则两个元件同时不正常工作的概率为0.25；
故在一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率为＝0.75，
故选：A．
5．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（ ）
A．102里 B．126里 C．192里 D．198里
【解答】解：设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x里，
依题意，得：x+2x+4x+8x+16x+32x＝378，
解得：x＝6．
32x＝192，
6+192＝198，
答：此人第一和第六这两天共走了198里，
故选：D．
6．（3分）已知二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）a+1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（a﹣2）2﹣（a+2）x+1＝0的两根之积为（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣ D．﹣
【解答】解：∵二次函数，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图象的对称轴为直线x＝0，即y轴，
则，
解得：a＝﹣2，
则关于x的一元二次方程 为，
则两根之积为，
故选：D．
7．（3分）关于二次函数y＝x2﹣6x+a+27，下列说法错误的是（ ）
A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a＝﹣5
B．当x＝12时，y有最小值a﹣9
C．x＝2对应的函数值比最小值大7
D．当a＜0时，图象与x轴有两个不同的交点
【解答】解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，
表达式为：，
若过点（4，5），
则，解得：a＝﹣5，故选项正确；
B、∵，开口向上，
∴当x＝12 时，y有最小值a﹣9，故选项正确；
当x＝2时，y＝a+16，最小值为a﹣9，a+16﹣（a﹣9）＝25，即x＝2对应的函数值比最小值大25，故选项错误；
D、△＝，当a＜0时，9﹣a＞0，
即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，
故选：C．
8．（3分）命题①设△ABC的三个内角为A、B、C且α＝A+B，β＝C+A，γ＝C+B，则α、β、γ中，最多有一个锐角；②顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；③从11个评委分别给出某选手的不同原始评分中，去掉1个最高分、1个最低分，剩下的9个评分与11个原始评分相比，中位数和方差都不发生变化．其中错误命题的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：①设α、β、γ中，有两个或三个锐角，
若有两个锐角，假设α、β为锐角，则A+B＜90°，A+C＜90°，
∴A+A+B+C＝A+180°＜180°，
∴A＜0°，不成立，
若有三个锐角，同理，不成立，
假设A＜45°，B＜45°，则α＜90°，
∴最多只有一个锐角，故命题①正确；
②如图，菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴HG∥EF，HE∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴HE⊥HG，
∴四边形EFGH是矩形，故命题②正确；
③去掉一个最高分和一个最低分，不影响中间数字的位置，故不影响中位数，
但是当最高分过高或最低分过低，平均数有可能随之变化，同样，方差也会有所变化，
故命题③错误；
综上：错误的命题个数为1，
故选：B．
9．（3分）在同一坐标系中，若正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象没有交点，则k1与k2的关系，下面四种表述①k1+k2≤0；②|k1+k2|＜|k1|或|k1+k2|＜|k2|；③|k1+k2|＜|k1﹣k2|；④k1k2＜0．正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：∵同一坐标系中，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象没有交点，若k1＞0，则正比例函数经过一、三象限，从而反比例函数经过二、四象限，
则k2＜0，
若k1＜0，则正比例函数经过二、四象限，从而反比例函数经过一、三象限，
则k2＞0，
综上：k1和k2异号，
①∵k1和k2的绝对值的大小未知，故k1+k2≤0不一定成立，故①错误；
②|k1+k2|＝||k1|﹣|k2||＜|k1|或|k1+k2|＝||k1|﹣|k2||＜|k2|，故②正确；
③|k1+k2|＝||k1|﹣|k2||＜||k1|+|k2||＝|k1﹣k2|，故③正确；
④∵k1和k2异号，则k1k2＜0，故④正确；
故正确的有3个，
故选：B．
10．（3分）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E、H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'、D点的对称点为D'，若∠FPG＝90°，S△A′EP＝8，S△D′PH＝2，则矩形ABCD的长为（ ）
A．6+10 B．6+5 C．3+10 D．3+5
【解答】解：∵四边形ABC是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，
由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，
∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，
又∵，∠A′PF＝∠D′PG＝90°，
∴∠A′PD′＝90°，则∠A′PE+∠D′PH＝90°，
∴∠A′PE＝∠D′HP，
∴△A′EP∽△D′PH，
∴A′P2：D′H2＝8：2，
∴A′P：D′H＝2：1，
∵A′P＝x，
∴D′H＝x，
∵S△D′PH＝D′P•D′H＝A′P•D′H，即，
∴x＝（负根舍弃），
∴AB＝CD＝，D′H＝DH＝，D′P＝A′P＝CD＝，A′E＝2D′P＝，
∴PE＝，PH＝，
∴AD＝＝，
即矩形ABCD的长为，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答过程）
11．（3分）如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为 ．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝100°，∴∠C＝20°，
又∵D为BC的中点，
∵BD＝DC＝BC＝2，DE＝DB，
∴DE＝DC＝2，
∴∠DEC＝∠C＝20°，
∴∠BDE＝40°，
∴扇形BDE的面积＝，
故答案为：．
12．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 3π+4 ．
【解答】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，
半圆柱的直径为2，高为1，
故其表面积为：π×12+（π+2）×2＝3π+4，
故答案为：3π+4．
13．（3分）分式与的最简公分母是 x（x﹣2） ，方程﹣＝1的解是 x＝﹣4 ．
【解答】解：∵x2﹣2x＝x（x﹣2），
∴分式与的最简公分母是x（x﹣2），
方程，
去分母得：2x2﹣8＝x（x﹣2），
去括号得：2x2﹣8＝x2﹣2x，
移项合并得：x2+2x﹣8＝0，变形得：（x﹣2）（x+4）＝0，
解得：x＝2或﹣4，
∵当x＝2时，x（x﹣2）＝0，当x＝﹣4时，x（x﹣2）≠0，
∴x＝2是增根，
∴方程的解为：x＝﹣4．
14．（3分）公司以3元/kg的成本价购进10000kg柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，如表是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为 0.9 （精确到0.1）；从而可大约每千克柑橘的实际售价为 元时（精确到0.1），可获得12000元利润法利润．
柑橘总质量n/kg
损坏柑橘质量m/kg
柑橘损坏的频率（精确到0.001）
…
…
…
250
24.75
0.099
300
30.93
0.103
350
35.12
0.100
450
44.54
0.099
500
50.62
0.101
【解答】解：从表格可以看出，柑橘损坏的频率在常数0.1左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，所以柑橘的完好率应是1﹣0.1＝0.9；
设每千克柑橘的销售价为x元，则应有10000×0.9x﹣3×10000＝12000，
解得x＝，
所以去掉损坏的柑橘后，水果公司为了获得12000元利润，完好柑橘每千克的售价应为元，
故答案为：0.9，．
15．（3分）“书法艺求课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为 112 ，并可推断出5月30日应该是星期几 五、六、日 ．
【解答】解：∵5月1日～5月30日共30天，包括四个完整的星期，
∴5月1日～5月28日写的张数为：4×＝112，
若5月30日为星期一，所写张数为112+7+1＝120，
若5月30日为星期二，所写张数为112+1+2＜120，
若5月30日为星期三，所写张数为112+2+3＜120，
若5月30日为星期四，所写张数为112+3+4＜120，
若5月30日为星期五，所写张数为112+4+5＞120，
若5月30日为星期六，所写张数为112+5+6＞120，
若5月30日为星期日，所写张数为112+6+7＞120，
故5月30日可能为星期五、六、日．
故答案为：112；五、六、日．
16．（3分）已知AB为⊙O的直径且长为2r，C为⊙O上异于A，B的点，若AD与过点C的⊙O的切线互相垂直，垂足为D．①若等腰三角形AOC的顶角为120度，则CD＝r，②若△AOC为正三角形，则CD＝r，③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D，则CD＝r，④无论点C在何处，将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上，其中正确结论的序号为 ②③④ ．
【解答】解：①∵∠AOC＝120°，
∴∠CAO＝∠ACO＝30°，
∵CD和圆O相切，AD⊥CD，
∴∠OCD＝90°，AD∥CO，
∴∠ACD＝60°，∠CAD＝30°，
∴CD＝AC，过点O作OE⊥AC，垂足为E，
则CE＝AE＝AC＝CD，
而OE＝OC＝r，∠OCA≠∠COE，∴CE≠OE，
∴CD≠r，故①错误；
②若△AOC为正三角形，
∠AOC＝∠OAC＝60°，AC＝OC＝OA＝r，
∴∠OAE＝30°，
∴OE＝AO，AE＝AO＝r，
过点A作AE⊥OC，垂足为E，
∴四边形AECD为矩形，
∴CD＝AE＝r，故②正确；
③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D，如图，
∴AD＝CD，而∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，又∠OCD＝90°，
∴∠ACO＝∠CAO＝45°
∴∠DAO＝90°，
∴四边形AOCD为矩形，
∴CD＝AO＝r，故③正确；
④过点C作CE⊥AO，垂足为E，
∵OC⊥CD，AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠CAD＝∠ACO，
∵OC＝OA，
∴∠AOC＝∠CAO，
∴∠CAD＝∠CAO，
∴CD＝CE，
在△ADC和△AEC中，
∠D＝∠AEC，CD＝CE，AC＝AC，
∴△ADC≌△AEC（HL），
∴AD＝AE，
∴AC垂直平分DE，则点D和点E关于AC对称，
即点D一定落在直径 上，故④正确．
故正确的序号为：②③④，
故答案为：②③④．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：|1﹣|﹣×+﹣（）﹣2；
（2）已知m是小于0的常数，解关于x的不等式组：．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2），
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x＞4﹣6m，
∵m是小于0的常数，
∴4﹣6m＞0＞﹣2，
∴不等式组的解集为：x＞4﹣6m．
18．（8分）如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．
（1）求证：AF﹣BF＝EF；
（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能请指出此时点G的位置，如不可能请说明理由．
【解答】解：（1）证明：∵正方形，
∴AB＝AD，∠BAF+∠DAE＝90°，
∵DE⊥AG，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
又∵BF∥DE，
∴∠BFA＝90°＝∠AED，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AF＝DE，AE＝BF，
∴AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF；
（2）不可能，理由是：
如图，若要四边形是平行四边形，
已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形，
∵DE＝AF，
∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°，
而点G不与B和C重合，
∴∠BAF≠45°，矛盾，
∴四边形不能是平行四边形．
19．（7分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行38km到B港，然后再沿北偏西42°方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向．
（1）直接写出∠C的度数；
（2）求A、C两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）
【解答】解：（1）如图，由题意得：
∠ACB＝20°+42°＝62°；
（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝42°+20°＝62°，AB＝，
过B作BE⊥AC于E，如图所示：
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠EAB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB＝38，
∴AE＝BE＝AB＝，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝62°，tan∠ACB＝，
∴CE＝＝，
∴AC＝AE+CE＝，
∴A，C两港之间的距离为（）km．
20．（6分）已知自变量x与因变量y1的对应关系如表呈现的规律．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y1
…
12
11
10
9
8
…
（1）直接写出函数解析式及其图象与x轴和y轴的交点M，N的坐标；
（2）设反比列函数y1＝（k＞0）的图象与（1）求得的函数的图象交于A，B两点，O为坐标原点且S△AOB＝30，求反比例函数解析式；已知a≠0，点（a，y2）与（a，y1）分别在反比例函数与（1）求得的函数的图象上，直接写出y2与y1的大小关系．
【解答】解：（1）根据表格中数据发现：
y1和x的和为10，
∴y1＝10﹣x，
且当x＝0时，y1＝10，
令y1＝0，x＝10，
∴M（10，0），N（0，10）；
（2）设A（m，10﹣m），B（n，10﹣n），
分别过A和B作x轴的垂线，垂足为C和D，
∵点A和点B都在反比例函数图象上，
∴S△AOB＝S△AOM﹣S△OBM
＝×10×（10﹣m）﹣×10×（10﹣n）
＝30，
化简得：n﹣m＝6，
联立，得：x2﹣10x+k＝0，
∴m+n＝10，mn＝k，
∴n﹣m＝，
则，解得：k＝16，
∴反比例函数解析式为：，
解x2﹣10x+16＝0，得：x＝2或8，
∴A（2，8），B（8，2），
∵（a，y2）在反比例函数上，（a，y1）在一次函数y＝10﹣x上，∴当a＜0或2＜a＜8时，y2＜y1；
当0＜a＜2或a＞8时，y2＞y1；
当a＝2或8时，y2＝y1．
21．（12分）为了发展学生的健康情感，学校开展多项体育活动比赛，促进学生加强体育锻炼，注重增强体质，从全校2100名学生60秒跳绳比赛成绩中，随机抽取60名同学的成绩，通过分组整理数据得到下面的样本频数分布表．
跳绳的次数
频数
60≤x＜ 80
4
80 ≤x＜ 100
6
100 ≤x＜ 120
11
120 ≤x＜ 140
22
140 ≤x＜ 160
10
160 ≤x＜ 180
4
180 ≤x＜ 200
（1）已知样本中最小的数是60，最大的数是198，组距是20，请你将该表左侧的每组数据补充完整；
（2）估计全校学生60秒跳绳成绩能达到最好一组成绩的人数；
（3）若以各组组中值代表各组的实际数据，求出样本平均数（结果保留整数）及众数；分别写出用样本平均数和众数估计全校学生60秒跳绳成绩得到的推断性结论．
【解答】解：（1）由题意：最小的数是60，最大的数是198，组距是20，可得分组，
60﹣（4+6+11+22+10+4）＝3，
补充表格如下：
（2）∵全校有2100名学生，样本中成绩能达到最好一组成绩的人数为3，
∴2100×＝105人，
故全校学生60秒跳绳成绩能达到最好一组成绩的人数为105人；
（3）由题意可得：
70次的有4人，90次的有6人，110次的有11人，130次的有22人，150次的有10人，170次的有4人，190次的有3人，
则样本平均数＝（4×70+6×90+11×110+22×130+10×150+4×170+3×190）÷60≈127，
众数为130，
从样本平均数来看：全校学生60秒跳绳平均水平约为127个；
从众数来看：全校学生60秒跳绳成绩在120到140之间的人数较多．
22．（7分）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程x﹣＝0，就可以利用该思维方式，设＝y，将原方程转化为：y2﹣y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．
已知实数x，y满足，求x2+y2的值．
【解答】解：令xy＝a，x+y＝b，则原方程组可化为：
，整理得：，
②﹣①得：11a2＝275，
解得：a2＝25，代入②可得：b＝4，
∴方程组的解为：或，
x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝b2﹣2a，
当a＝5时，x2+y2＝6，
当a＝﹣5时，x2+y2＝26，
因此x2+y2的值为6或26．
23．（10分）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现者名的黄金分割比≈0.618．如图，圆内接正五边形ABCDE，圆心为O，OA与BE交于点H，AC、AD与BE分别交于点M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）
（1）求证：△ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN的形状；
（2）求证：，且其比值k＝；
（3）由对称性知AO⊥BE，由（1）（2）可知也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值．
【解答】解：（1）连接圆心O与正五边形各顶点，
在正五边形中，
∠AOE＝360°÷5＝72°，
∴∠ABE＝∠AOE＝36°，
同理∠BAC＝×72°＝36°，
∴AM＝BM，
∴△ABM是等腰三角形且底角等于36°，
∵∠BOD＝∠BOC+∠COD＝72°+72°＝144°，
∴∠BAD＝∠BOD＝72°，
∴∠BNA＝180°﹣∠BAD﹣∠ABE＝72°，
∴AB＝NB，即△ABN为等腰三角形；
（2）∵∠ABM＝∠ABE，∠AEB＝∠AOB＝36°＝∠BAM，
∴△BAM∽△BEA，
∴，而AB＝BN，
∴，
设BM＝y，AB＝x，则AM＝AN＝y，AB＝AE＝BN＝x，
∵∠AMN＝∠MAB+∠MBA＝72°＝∠BAN，∠ANM＝∠ANB，
∴△AMN∽△BAN，
∴，即，则y2＝x2﹣xy，
两边同时除以x2，得：，设＝t，
则t2+t﹣1＝0，解得：t＝或（舍），
∴＝；
（3）∵∠MAN＝36°，根据对称性可知：∠MAH＝∠NAH＝∠MAN＝18°，
而AO⊥BE，
∴sin18°＝sin∠MAH＝
＝
＝．
24．（12分）已知某厂以t小时/千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求0.1＜t≤1），且每小时可获得利润60（﹣3t++1）元．
（1）某人将每小时获得的利润设为y元，发现t＝1时，y＝180，所以得出结论：每小时获得的利润，最少是180元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行分析说明；
（2）若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产，则1天（按8小时计算）可生产该产品多少千克；
（3）要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
【解答】解：（1）他是依据一次函数和反比例函数的增减性质得出结论；
令y＝60（﹣3t++1），当t＝1时，y＝180，
∵当0.1＜t≤1时，随t的增大而减小，﹣3t也随t的增大而减小，
∴﹣3t+的值随t的增大而减小，
∴y＝60（﹣3t++1）随t的增大而减小，
∴当t＝1时，y取最小，
∴他的结论正确．
（2）由题意得：60（﹣3t++1）×2＝1800，
整理得：﹣3t2﹣14t+5＝0，
解得：t1＝，t2＝﹣5（舍），
即以小时/千克的速度匀速生产产品，则1天（按8小时计算）可生产该产品8÷＝24千克．
∴1天（按8小时计算）可生产该产品24千克；
（3）生产680千克该产品获得的利润为：y＝680t×60（﹣3t++1），
整理得：y＝40800（﹣3t2+t+5），
∴当t＝时，y最大，且最大值为207400元．
∴该厂应该选取小时/千克的速度生产，此时最大利润为207400元．
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日期：2020/8/2 11:33:46；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557
2020年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）2020年3月抗击“新冠肺炎”居家学习期间，小华计划每天背诵6个汉语成语．将超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，某一周连续5天的背诵记录如下：+4，0，+5，﹣3，+2，则这5天他共背诵汉语成语（ ）
A．38个 B．36个 C．34个 D．30个
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．•＝＝±
B．（ab2）3＝ab5
C．（x﹣y+）（x+y+）＝（x+y）2
D．÷＝﹣
4．（3分）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“”的概率是0.5；则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路A、B之间，电流能够正常通过的概率是（ ）
A．0.75 B．0.525 C．05 D．025
5．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（ ）
A．102里 B．126里 C．192里 D．198里
6．（3分）已知二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）a+1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（a﹣2）2﹣（a+2）x+1＝0的两根之积为（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣ D．﹣
7．（3分）关于二次函数y＝x2﹣6x+a+27，下列说法错误的是（ ）
A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a＝﹣5
B．当x＝12时，y有最小值a﹣9
C．x＝2对应的函数值比最小值大7
D．当a＜0时，图象与x轴有两个不同的交点
8．（3分）命题①设△ABC的三个内角为A、B、C且α＝A+B，β＝C+A，γ＝C+B，则α、β、γ中，最多有一个锐角；②顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；③从11个评委分别给出某选手的不同原始评分中，去掉1个最高分、1个最低分，剩下的9个评分与11个原始评分相比，中位数和方差都不发生变化．其中错误命题的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（3分）在同一坐标系中，若正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象没有交点，则k1与k2的关系，下面四种表述①k1+k2≤0；②|k1+k2|＜|k1|或|k1+k2|＜|k2|；③|k1+k2|＜|k1﹣k2|；④k1k2＜0．正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（3分）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E、H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'、D点的对称点为D'，若∠FPG＝90°，S△A′EP＝8，S△D′PH＝2，则矩形ABCD的长为（ ）
A．6+10 B．6+5 C．3+10 D．3+5
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答过程）
11．（3分）如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为 ．
12．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．
13．（3分）分式与的最简公分母是 ，方程﹣＝1的解是 ．
14．（3分）公司以3元/kg的成本价购进10000kg柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，如表是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为 （精确到0.1）；从而可大约每千克柑橘的实际售价为 元时（精确到0.1），可获得12000元利润法利润．
柑橘总质量n/kg
损坏柑橘质量m/kg
柑橘损坏的频率（精确到0.001）
…
…
…
250
24.75
0.099
300
30.93
0.103
350
35.12
0.100
450
44.54
0.099
500
50.62
0.101
15．（3分）“书法艺求课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为 ，并可推断出5月30日应该是星期几 ．
16．（3分）已知AB为⊙O的直径且长为2r，C为⊙O上异于A，B的点，若AD与过点C的⊙O的切线互相垂直，垂足为D．①若等腰三角形AOC的顶角为120度，则CD＝r，②若△AOC为正三角形，则CD＝r，③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D，则CD＝r，④无论点C在何处，将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上，其中正确结论的序号为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：|1﹣|﹣×+﹣（）﹣2；
（2）已知m是小于0的常数，解关于x的不等式组：．
18．（8分）如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．
（1）求证：AF﹣BF＝EF；
（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能请指出此时点G的位置，如不可能请说明理由．
19．（7分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行38km到B港，然后再沿北偏西42°方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向．
（1）直接写出∠C的度数；
（2）求A、C两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）
20．（6分）已知自变量x与因变量y1的对应关系如表呈现的规律．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y1
…
12
11
10
9
8
…
（1）直接写出函数解析式及其图象与x轴和y轴的交点M，N的坐标；
（2）设反比列函数y1＝（k＞0）的图象与（1）求得的函数的图象交于A，B两点，O为坐标原点且S△AOB＝30，求反比例函数解析式；已知a≠0，点（a，y2）与（a，y1）分别在反比例函数与（1）求得的函数的图象上，直接写出y2与y1的大小关系．
21．（12分）为了发展学生的健康情感，学校开展多项体育活动比赛，促进学生加强体育锻炼，注重增强体质，从全校2100名学生60秒跳绳比赛成绩中，随机抽取60名同学的成绩，通过分组整理数据得到下面的样本频数分布表．
跳绳的次数
频数
60≤x＜
4
≤x＜
6
≤x＜
11
≤x＜
22
≤x＜
10
≤x＜
4
≤x＜
（1）已知样本中最小的数是60，最大的数是198，组距是20，请你将该表左侧的每组数据补充完整；
（2）估计全校学生60秒跳绳成绩能达到最好一组成绩的人数；
（3）若以各组组中值代表各组的实际数据，求出样本平均数（结果保留整数）及众数；分别写出用样本平均数和众数估计全校学生60秒跳绳成绩得到的推断性结论．
22．（7分）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程x﹣＝0，就可以利用该思维方式，设＝y，将原方程转化为：y2﹣y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．
已知实数x，y满足，求x2+y2的值．
23．（10分）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现者名的黄金分割比≈0.618．如图，圆内接正五边形ABCDE，圆心为O，OA与BE交于点H，AC、AD与BE分别交于点M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）
（1）求证：△ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN的形状；
（2）求证：，且其比值k＝；
（3）由对称性知AO⊥BE，由（1）（2）可知也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值．
24．（12分）已知某厂以t小时/千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求0.1＜t≤1），且每小时可获得利润60（﹣3t++1）元．
（1）某人将每小时获得的利润设为y元，发现t＝1时，y＝180，所以得出结论：每小时获得的利润，最少是180元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行分析说明；
（2）若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产，则1天（按8小时计算）可生产该产品多少千克；
（3）要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
2020年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）2020年3月抗击“新冠肺炎”居家学习期间，小华计划每天背诵6个汉语成语．将超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，某一周连续5天的背诵记录如下：+4，0，+5，﹣3，+2，则这5天他共背诵汉语成语（ ）
A．38个 B．36个 C．34个 D．30个
【解答】解：（+4+0+5﹣3+2）+5×6＝38个，
∴这5天他共背诵汉语成语38个，
故选：A．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．•＝＝±
B．（ab2）3＝ab5
C．（x﹣y+）（x+y+）＝（x+y）2
D．÷＝﹣
【解答】解：A、，故选项错误；
B、（ab3）＝a3b6，故选项错误；
C、
＝
＝（x+y）2，故选项正确；
D、，故选项错误；
故选：C．
4．（3分）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“”的概率是0.5；则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路A、B之间，电流能够正常通过的概率是（ ）
A．0.75 B．0.525 C．05 D．025
【解答】解：根据题意，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5，
即某一个电子元件不正常工作的概率为0.5，
则两个元件同时不正常工作的概率为0.25；
故在一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率为＝0.75，
故选：A．
5．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（ ）
A．102里 B．126里 C．192里 D．198里
【解答】解：设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x里，
依题意，得：x+2x+4x+8x+16x+32x＝378，
解得：x＝6．
32x＝192，
6+192＝198，
答：此人第一和第六这两天共走了198里，
故选：D．
6．（3分）已知二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）a+1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（a﹣2）2﹣（a+2）x+1＝0的两根之积为（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣ D．﹣
【解答】解：∵二次函数，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图象的对称轴为直线x＝0，即y轴，
则，
解得：a＝﹣2，
则关于x的一元二次方程 为，
则两根之积为，
故选：D．
7．（3分）关于二次函数y＝x2﹣6x+a+27，下列说法错误的是（ ）
A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a＝﹣5
B．当x＝12时，y有最小值a﹣9
C．x＝2对应的函数值比最小值大7
D．当a＜0时，图象与x轴有两个不同的交点
【解答】解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，
表达式为：，
若过点（4，5），
则，解得：a＝﹣5，故选项正确；
B、∵，开口向上，
∴当x＝12 时，y有最小值a﹣9，故选项正确；
当x＝2时，y＝a+16，最小值为a﹣9，a+16﹣（a﹣9）＝25，即x＝2对应的函数值比最小值大25，故选项错误；
D、△＝，当a＜0时，9﹣a＞0，
即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，
故选：C．
8．（3分）命题①设△ABC的三个内角为A、B、C且α＝A+B，β＝C+A，γ＝C+B，则α、β、γ中，最多有一个锐角；②顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；③从11个评委分别给出某选手的不同原始评分中，去掉1个最高分、1个最低分，剩下的9个评分与11个原始评分相比，中位数和方差都不发生变化．其中错误命题的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：①设α、β、γ中，有两个或三个锐角，
若有两个锐角，假设α、β为锐角，则A+B＜90°，A+C＜90°，
∴A+A+B+C＝A+180°＜180°，
∴A＜0°，不成立，
若有三个锐角，同理，不成立，
假设A＜45°，B＜45°，则α＜90°，
∴最多只有一个锐角，故命题①正确；
②如图，菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴HG∥EF，HE∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴HE⊥HG，
∴四边形EFGH是矩形，故命题②正确；
③去掉一个最高分和一个最低分，不影响中间数字的位置，故不影响中位数，
但是当最高分过高或最低分过低，平均数有可能随之变化，同样，方差也会有所变化，
故命题③错误；
综上：错误的命题个数为1，
故选：B．
9．（3分）在同一坐标系中，若正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象没有交点，则k1与k2的关系，下面四种表述①k1+k2≤0；②|k1+k2|＜|k1|或|k1+k2|＜|k2|；③|k1+k2|＜|k1﹣k2|；④k1k2＜0．正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：∵同一坐标系中，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象没有交点，若k1＞0，则正比例函数经过一、三象限，从而反比例函数经过二、四象限，
则k2＜0，
若k1＜0，则正比例函数经过二、四象限，从而反比例函数经过一、三象限，
则k2＞0，
综上：k1和k2异号，
①∵k1和k2的绝对值的大小未知，故k1+k2≤0不一定成立，故①错误；
②|k1+k2|＝||k1|﹣|k2||＜|k1|或|k1+k2|＝||k1|﹣|k2||＜|k2|，故②正确；
③|k1+k2|＝||k1|﹣|k2||＜||k1|+|k2||＝|k1﹣k2|，故③正确；
④∵k1和k2异号，则k1k2＜0，故④正确；
故正确的有3个，
故选：B．
10．（3分）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E、H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'、D点的对称点为D'，若∠FPG＝90°，S△A′EP＝8，S△D′PH＝2，则矩形ABCD的长为（ ）
A．6+10 B．6+5 C．3+10 D．3+5
【解答】解：∵四边形ABC是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，
由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，
∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，
又∵，∠A′PF＝∠D′PG＝90°，
∴∠A′PD′＝90°，则∠A′PE+∠D′PH＝90°，
∴∠A′PE＝∠D′HP，
∴△A′EP∽△D′PH，
∴A′P2：D′H2＝8：2，
∴A′P：D′H＝2：1，
∵A′P＝x，
∴D′H＝x，
∵S△D′PH＝D′P•D′H＝A′P•D′H，即，
∴x＝（负根舍弃），
∴AB＝CD＝，D′H＝DH＝，D′P＝A′P＝CD＝，A′E＝2D′P＝，
∴PE＝，PH＝，
∴AD＝＝，
即矩形ABCD的长为，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答过程）
11．（3分）如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为 ．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝100°，∴∠C＝20°，
又∵D为BC的中点，
∵BD＝DC＝BC＝2，DE＝DB，
∴DE＝DC＝2，
∴∠DEC＝∠C＝20°，
∴∠BDE＝40°，
∴扇形BDE的面积＝，
故答案为：．
12．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 3π+4 ．
【解答】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，
半圆柱的直径为2，高为1，
故其表面积为：π×12+（π+2）×2＝3π+4，
故答案为：3π+4．
13．（3分）分式与的最简公分母是 x（x﹣2） ，方程﹣＝1的解是 x＝﹣4 ．
【解答】解：∵x2﹣2x＝x（x﹣2），
∴分式与的最简公分母是x（x﹣2），
方程，
去分母得：2x2﹣8＝x（x﹣2），
去括号得：2x2﹣8＝x2﹣2x，
移项合并得：x2+2x﹣8＝0，变形得：（x﹣2）（x+4）＝0，
解得：x＝2或﹣4，
∵当x＝2时，x（x﹣2）＝0，当x＝﹣4时，x（x﹣2）≠0，
∴x＝2是增根，
∴方程的解为：x＝﹣4．
14．（3分）公司以3元/kg的成本价购进10000kg柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，如表是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为 0.9 （精确到0.1）；从而可大约每千克柑橘的实际售价为 元时（精确到0.1），可获得12000元利润法利润．
柑橘总质量n/kg
损坏柑橘质量m/kg
柑橘损坏的频率（精确到0.001）
…
…
…
250
24.75
0.099
300
30.93
0.103
350
35.12
0.100
450
44.54
0.099
500
50.62
0.101
【解答】解：从表格可以看出，柑橘损坏的频率在常数0.1左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，所以柑橘的完好率应是1﹣0.1＝0.9；
设每千克柑橘的销售价为x元，则应有10000×0.9x﹣3×10000＝12000，
解得x＝，
所以去掉损坏的柑橘后，水果公司为了获得12000元利润，完好柑橘每千克的售价应为元，
故答案为：0.9，．
15．（3分）“书法艺求课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为 112 ，并可推断出5月30日应该是星期几 五、六、日 ．
【解答】解：∵5月1日～5月30日共30天，包括四个完整的星期，
∴5月1日～5月28日写的张数为：4×＝112，
若5月30日为星期一，所写张数为112+7+1＝120，
若5月30日为星期二，所写张数为112+1+2＜120，
若5月30日为星期三，所写张数为112+2+3＜120，
若5月30日为星期四，所写张数为112+3+4＜120，
若5月30日为星期五，所写张数为112+4+5＞120，
若5月30日为星期六，所写张数为112+5+6＞120，
若5月30日为星期日，所写张数为112+6+7＞120，
故5月30日可能为星期五、六、日．
故答案为：112；五、六、日．
16．（3分）已知AB为⊙O的直径且长为2r，C为⊙O上异于A，B的点，若AD与过点C的⊙O的切线互相垂直，垂足为D．①若等腰三角形AOC的顶角为120度，则CD＝r，②若△AOC为正三角形，则CD＝r，③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D，则CD＝r，④无论点C在何处，将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上，其中正确结论的序号为 ②③④ ．
【解答】解：①∵∠AOC＝120°，
∴∠CAO＝∠ACO＝30°，
∵CD和圆O相切，AD⊥CD，
∴∠OCD＝90°，AD∥CO，
∴∠ACD＝60°，∠CAD＝30°，
∴CD＝AC，过点O作OE⊥AC，垂足为E，
则CE＝AE＝AC＝CD，
而OE＝OC＝r，∠OCA≠∠COE，∴CE≠OE，
∴CD≠r，故①错误；
②若△AOC为正三角形，
∠AOC＝∠OAC＝60°，AC＝OC＝OA＝r，
∴∠OAE＝30°，
∴OE＝AO，AE＝AO＝r，
过点A作AE⊥OC，垂足为E，
∴四边形AECD为矩形，
∴CD＝AE＝r，故②正确；
③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D，如图，
∴AD＝CD，而∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，又∠OCD＝90°，
∴∠ACO＝∠CAO＝45°
∴∠DAO＝90°，
∴四边形AOCD为矩形，
∴CD＝AO＝r，故③正确；
④过点C作CE⊥AO，垂足为E，
∵OC⊥CD，AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠CAD＝∠ACO，
∵OC＝OA，
∴∠AOC＝∠CAO，
∴∠CAD＝∠CAO，
∴CD＝CE，
在△ADC和△AEC中，
∠D＝∠AEC，CD＝CE，AC＝AC，
∴△ADC≌△AEC（HL），
∴AD＝AE，
∴AC垂直平分DE，则点D和点E关于AC对称，
即点D一定落在直径 上，故④正确．
故正确的序号为：②③④，
故答案为：②③④．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：|1﹣|﹣×+﹣（）﹣2；
（2）已知m是小于0的常数，解关于x的不等式组：．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2），
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x＞4﹣6m，
∵m是小于0的常数，
∴4﹣6m＞0＞﹣2，
∴不等式组的解集为：x＞4﹣6m．
18．（8分）如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．
（1）求证：AF﹣BF＝EF；
（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能请指出此时点G的位置，如不可能请说明理由．
【解答】解：（1）证明：∵正方形，
∴AB＝AD，∠BAF+∠DAE＝90°，
∵DE⊥AG，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
又∵BF∥DE，
∴∠BFA＝90°＝∠AED，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AF＝DE，AE＝BF，
∴AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF；
（2）不可能，理由是：
如图，若要四边形是平行四边形，
已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形，
∵DE＝AF，
∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°，
而点G不与B和C重合，
∴∠BAF≠45°，矛盾，
∴四边形不能是平行四边形．
19．（7分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行38km到B港，然后再沿北偏西42°方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向．
（1）直接写出∠C的度数；
（2）求A、C两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）
【解答】解：（1）如图，由题意得：
∠ACB＝20°+42°＝62°；
（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝42°+20°＝62°，AB＝，
过B作BE⊥AC于E，如图所示：
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠EAB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB＝38，
∴AE＝BE＝AB＝，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝62°，tan∠ACB＝，
∴CE＝＝，
∴AC＝AE+CE＝，
∴A，C两港之间的距离为（）km．
20．（6分）已知自变量x与因变量y1的对应关系如表呈现的规律．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y1
…
12
11
10
9
8
…
（1）直接写出函数解析式及其图象与x轴和y轴的交点M，N的坐标；
（2）设反比列函数y1＝（k＞0）的图象与（1）求得的函数的图象交于A，B两点，O为坐标原点且S△AOB＝30，求反比例函数解析式；已知a≠0，点（a，y2）与（a，y1）分别在反比例函数与（1）求得的函数的图象上，直接写出y2与y1的大小关系．
【解答】解：（1）根据表格中数据发现：
y1和x的和为10，
∴y1＝10﹣x，
且当x＝0时，y1＝10，
令y1＝0，x＝10，
∴M（10，0），N（0，10）；
（2）设A（m，10﹣m），B（n，10﹣n），
分别过A和B作x轴的垂线，垂足为C和D，
∵点A和点B都在反比例函数图象上，
∴S△AOB＝S△AOM﹣S△OBM
＝×10×（10﹣m）﹣×10×（10﹣n）
＝30，
化简得：n﹣m＝6，
联立，得：x2﹣10x+k＝0，
∴m+n＝10，mn＝k，
∴n﹣m＝，
则，解得：k＝16，
∴反比例函数解析式为：，
解x2﹣10x+16＝0，得：x＝2或8，
∴A（2，8），B（8，2），
∵（a，y2）在反比例函数上，（a，y1）在一次函数y＝10﹣x上，∴当a＜0或2＜a＜8时，y2＜y1；
当0＜a＜2或a＞8时，y2＞y1；
当a＝2或8时，y2＝y1．
21．（12分）为了发展学生的健康情感，学校开展多项体育活动比赛，促进学生加强体育锻炼，注重增强体质，从全校2100名学生60秒跳绳比赛成绩中，随机抽取60名同学的成绩，通过分组整理数据得到下面的样本频数分布表．
跳绳的次数
频数
60≤x＜ 80
4
80 ≤x＜ 100
6
100 ≤x＜ 120
11
120 ≤x＜ 140
22
140 ≤x＜ 160
10
160 ≤x＜ 180
4
180 ≤x＜ 200
（1）已知样本中最小的数是60，最大的数是198，组距是20，请你将该表左侧的每组数据补充完整；
（2）估计全校学生60秒跳绳成绩能达到最好一组成绩的人数；
（3）若以各组组中值代表各组的实际数据，求出样本平均数（结果保留整数）及众数；分别写出用样本平均数和众数估计全校学生60秒跳绳成绩得到的推断性结论．
【解答】解：（1）由题意：最小的数是60，最大的数是198，组距是20，可得分组，
60﹣（4+6+11+22+10+4）＝3，
补充表格如下：
（2）∵全校有2100名学生，样本中成绩能达到最好一组成绩的人数为3，
∴2100×＝105人，
故全校学生60秒跳绳成绩能达到最好一组成绩的人数为105人；
（3）由题意可得：
70次的有4人，90次的有6人，110次的有11人，130次的有22人，150次的有10人，170次的有4人，190次的有3人，
则样本平均数＝（4×70+6×90+11×110+22×130+10×150+4×170+3×190）÷60≈127，
众数为130，
从样本平均数来看：全校学生60秒跳绳平均水平约为127个；
从众数来看：全校学生60秒跳绳成绩在120到140之间的人数较多．
22．（7分）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程x﹣＝0，就可以利用该思维方式，设＝y，将原方程转化为：y2﹣y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．
已知实数x，y满足，求x2+y2的值．
【解答】解：令xy＝a，x+y＝b，则原方程组可化为：
，整理得：，
②﹣①得：11a2＝275，
解得：a2＝25，代入②可得：b＝4，
∴方程组的解为：或，
x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝b2﹣2a，
当a＝5时，x2+y2＝6，
当a＝﹣5时，x2+y2＝26，
因此x2+y2的值为6或26．
23．（10分）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现者名的黄金分割比≈0.618．如图，圆内接正五边形ABCDE，圆心为O，OA与BE交于点H，AC、AD与BE分别交于点M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）
（1）求证：△ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN的形状；
（2）求证：，且其比值k＝；
（3）由对称性知AO⊥BE，由（1）（2）可知也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值．
【解答】解：（1）连接圆心O与正五边形各顶点，
在正五边形中，
∠AOE＝360°÷5＝72°，
∴∠ABE＝∠AOE＝36°，
同理∠BAC＝×72°＝36°，
∴AM＝BM，
∴△ABM是等腰三角形且底角等于36°，
∵∠BOD＝∠BOC+∠COD＝72°+72°＝144°，
∴∠BAD＝∠BOD＝72°，
∴∠BNA＝180°﹣∠BAD﹣∠ABE＝72°，
∴AB＝NB，即△ABN为等腰三角形；
（2）∵∠ABM＝∠ABE，∠AEB＝∠AOB＝36°＝∠BAM，
∴△BAM∽△BEA，
∴，而AB＝BN，
∴，
设BM＝y，AB＝x，则AM＝AN＝y，AB＝AE＝BN＝x，
∵∠AMN＝∠MAB+∠MBA＝72°＝∠BAN，∠ANM＝∠ANB，
∴△AMN∽△BAN，
∴，即，则y2＝x2﹣xy，
两边同时除以x2，得：，设＝t，
则t2+t﹣1＝0，解得：t＝或（舍），
∴＝；
（3）∵∠MAN＝36°，根据对称性可知：∠MAH＝∠NAH＝∠MAN＝18°，
而AO⊥BE，
∴sin18°＝sin∠MAH＝
＝
＝．
24．（12分）已知某厂以t小时/千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求0.1＜t≤1），且每小时可获得利润60（﹣3t++1）元．
（1）某人将每小时获得的利润设为y元，发现t＝1时，y＝180，所以得出结论：每小时获得的利润，最少是180元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行分析说明；
（2）若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产，则1天（按8小时计算）可生产该产品多少千克；
（3）要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
【解答】解：（1）他是依据一次函数和反比例函数的增减性质得出结论；
令y＝60（﹣3t++1），当t＝1时，y＝180，
∵当0.1＜t≤1时，随t的增大而减小，﹣3t也随t的增大而减小，
∴﹣3t+的值随t的增大而减小，
∴y＝60（﹣3t++1）随t的增大而减小，
∴当t＝1时，y取最小，
∴他的结论正确．
（2）由题意得：60（﹣3t++1）×2＝1800，
整理得：﹣3t2﹣14t+5＝0，
解得：t1＝，t2＝﹣5（舍），
即以小时/千克的速度匀速生产产品，则1天（按8小时计算）可生产该产品8÷＝24千克．
∴1天（按8小时计算）可生产该产品24千克；
（3）生产680千克该产品获得的利润为：y＝680t×60（﹣3t++1），
整理得：y＝40800（﹣3t2+t+5），
∴当t＝时，y最大，且最大值为207400元．
∴该厂应该选取小时/千克的速度生产，此时最大利润为207400元．
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