江苏省南通、扬州、泰州、淮安、徐州、宿迁、连云港2021届高三下学期4月第三次调研考试（三模）+数学+答案

2020～2021学年高三年级模拟考试卷

数　　学

(满分：150分　考试时间：120分钟)

一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合A＝{x|log2(x－1)≤1}，B＝{x21－x≥}，则A∩B＝(　　)

A. (－∞，2]    B. [1，2]    C. (1，2]    D. (1，3]

2. 已知复数z＝＋3i，则|z|＝(　　)

A. 5    B. C.  D. 3＋

3. 设a＝3，b＝log43，c＝4，则(　　)

A. c>b>a    B. a>c>b

C. c>a>b    D. a>b>c

4. 已知点A(1，1)，B(7，5)，将向量绕点A逆时针旋转得到，则点C的坐标为(　　)

A. (5，－5)    B. (3，－7)

C. (－5，5)    D. (－3，7)

5. “角谷猜想”最早流传于美国，不久传到欧洲，后来日本数学家角谷把它带到亚洲．该猜想是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，经过有限步演算，最终都能得到1.若正整数n经过5步演算得到1，则n的取值不可能是(　　)

A. 32    B. 16    C. 5    D. 4

6. 已知双曲线E: －＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线E的左支上，且∠F1AF2＝120°，AF2＝2AF1，则双曲线E的离心率为(　　)

A.  B. C. D. 7

7. 在数1和3之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成等差数列，将这n＋2个数的和记为bn，则数列的前78项和为(　　)

A. 3    B. log378    C. 5    D. log38

8. 已知函数f(x)＝21n x－x2ex＋1.若存在x0>0，使f(x0)≥ax0，则a的最大值为(　　)

A. 0    B. －1

C. 1－e    D. 1－e2

二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．

9. 在△ABC中，M是BC的中点．若＝a, ＝b，则||＝(　　)

A. |a－b|B. |a＋b|

C. D. 

10. 在(2x2－)6的展开式中，下列说法正确的是(　　)

A. 各项系数和为1    B. 第2项的二项式系数为15

C. 含x3项的系数为－160    D. 不存在常数项

11. 2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo.设计师的灵感来源于曲线C：|x|n＋|y|n＝1，则下列说法正确的是(　　)

A. 曲线C关于原点成中心对称

B. 当n＝－2时，曲线C上的点到原点的距离的最小值为2

C. 当n>0时，曲线C所围成图形的面积的最小值为π

D. 当n>0时，曲线C所围成图形的面积小于4

12. 已知菱形ABCD的边长为2, ∠ABC＝，将△DAC沿着对角线AC折起至△D′AC，连接BD′.设二面角D′ACB的大小为θ，则下列说法正确的是(　　)

A. 若四面体D′ABC为正四面体，则θ＝

B. 四面体D′ABC的体积最大值为1

C. 四面体D′ABC的表面积最大值为2(＋2)

D. 当θ＝时，四面体D′ABC的外接球的半径为

三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝6，cos B＝，则sin A＝__________．

14. 为了解某小区居民的家庭年收入x(万元)与年支出y(万元)的关系，随机调查了该小区的10户家庭，根据调查数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y＝bx＋a．已知x＝20, y＝16，b＝0.76.若该小区某家庭的年收入为30万元，则据此估计，该家庭的年支出为__________万元．

15. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x2，则直线y＝x与函数y＝f(x)的图象的交点的个数为________．

16. 若矩形ABCD满足＝，则称这样的矩形为黄金矩形，现有如图①所示的黄金矩形卡片ABCD，已知AD＝2x，AB＝2y，E是CD的中点，EF⊥CD，FG⊥EF，且EF＝FG＝x，沿EF，FG剪开，用3张这样剪开的卡片，两两垂直地交叉拼接，得到如图②所示的几何模型．若连接这个几何模型的各个顶点，便得到一个正________面体；若y＝2，则该正多面体的表面积为________．(本题第一空2分，第二空3分)

四、 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. (本小题满分10分)

设各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝35，且a1，a4－1，a7成等比数列．

(1) 求数列{an}的通项公式；

(2) 若数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an，求数列{bn}的前2n项和T2n.

18.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝3sin (2x＋φ)(－<φ<0)同时满足下列3个条件中的2个.3个条件依次是：①f(x)的图象关于点(，0)对称；② 当x＝时，f(x)取得最大值；③ 0是函数y＝f(x)＋的一个零点．

(1) 试写出满足题意的2个条件的序号，并说明理由；

(2) 求函数g(x)＝f(x)＋6cos2x的值域．

19．(本小题满分12分)

面对新一轮科技和产业革命带来的创新机遇，某企业对现有机床进行更新换代，购进一批新机床．设机床生产的零件的直径为X(单位：mm).

(1) 现有旧机床生产的零件10个，其中直径大于124 mm的有3个．若从中随机抽取4个，记ξ表示取出的零件中直径大于124 mm的零件的个数，求ξ的概率分布及数学期望E(ξ)；

(2) 若新机床生产的零件直径X～N(120，4)，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于124 mm的概率．

参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|≤σ)≈0.682 7，P(|X－μ|≤2σ)≈0.954 5，P(|X－μ|≤3σ)≈0.997 4，0.977 2510≈0.794 4，0.954 510≈0.627 7.

20. (本小题满分12分)

如图，A是以BD为直径的半圆O上一点，平面BCD⊥平面ABD，BC⊥BD.

(1) 求证：AD⊥平面ABC；

(2) 若BD＝2BC＝2，＝2，求二面角ACDB的余弦值．

21. (本小题满分12分)

已知圆M：x2＋(y－)2＝4与抛物线E：x2＝my(m>0)相交于点A，B，C，D，且在四边形ABCD中，AB∥CD.

(1) 若·＝，求实数m的值；

(2) 设AC与BD相交于点G，△GAD与△GBC组成蝶形的面积为S，求点G的坐标及S的最大值．

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝asin2x－x.

(1)若x＝是f(x)的一个极值点，试讨论f(x)在区间(0，)上的单调性；

(2) 设－2≤a≤2，证明：当x≠0时，xf(x)＜0.

2020～2021学年高三年级模拟考试卷

(南通、扬州、泰州、淮安、徐州、宿迁、连云港)

数学参考答案及评分标准

1. C　2. B　3. C　4. D　5. B　6. C　7. A　8. B　9. BC　10. AC　11. ABD　12. BCD

13. 　14. 23.6　15. 7　16. 二十　120－40

17. 解：(1) 设数列{an}的公差为d(d＞0)，则S7＝7a4＝35，即a4＝5，(1分)

所以a1＝a4－3d＝5－3d，a7＝a4＋3d＝5＋3d.

因为a1，a4－1，a7成等比数列，所以(a4－1)2＝a1a7，

即42＝(5－3d)(5＋3d)，解得d＝－1(舍去)或d＝1，(3分)

所以an＝n＋1.(5分)

(2) 因为bn＋bn＋1＝an，所以T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n

＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2n－1＋b2n)＝a1＋a3＋…＋a2n－1(8分)

＝＝n2＋n.(10分)

18. 解：(1) 满足题意的2个条件的序号为①③.(1分)

由条件①知，3sin (2×＋φ)＝0，

所以2×＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z).

因为－＜φ＜0，所以φ＝－.(3分)

由条件②知，3sin (2×＋φ)＝3，

所以2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，

即φ＝2kπ－(k∈Z).

因为－＜φ＜0，所以φ＝－.(5分)

由条件③知，sin φ＝－，即φ＝2kπ－或φ＝2kπ＋(k∈Z).

因为－＜φ＜0，所以φ＝－.

综上，满足题意的2个条件的序号为①③.(7分)

(2) 由(1)知，f(x)＝3sin (2x－)，

所以g(x)＝3sin (2x－)＋6cos2x＝3(sin2x cos －cos 2x sin )＋6×

＝sin 2x＋cos 2x＋3＝3sin (2x＋)＋3. (10分)

因为－1≤sin (2x＋)≤1，所以0≤g(x)≤6，

所以函数g(x)的值域为[0，6].(12分)

19. 解：(1) 由题知，ξ的可能取值为0，1，2，3，ξ～H(4，3，10).

P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，(4分)

所以ξ的概率分布为

所以ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.2.(6分)

另法：因为ξ～H(4，3，10)，数学期望E(ξ)＝＝＝1.2.(7分)

(2) 记“至少有一个零件直径大于124 mm”为事件A，

因为X～N(120，4)，所以μ＝120，σ＝2，(8分)

所以P(X>124)＝≈＝0.022 75，

所以P(X≤124)≈1－0.022 75＝0.977 25，(10分)

所以P(A)＝1－0.977 2510≈1－0.794 4＝0.205 6.

答：至少有一件零件直径大于124 mm的概率为0.205 6.(12分)

20. (1) 证明：因为平面BCD⊥平面ABD，平面BCD∩平面ABD＝BD，BC⊥BD，BC⊂平面BCD，

所以BC⊥平面ABD.又AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.(2分)

因为A是以BD为直径的半圆O上一点，所以AB⊥AD.(4分)

又AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.(6分)

(2) 解：在平面ABD上，过点O作Oy⊥BD，

在平面BCD上，过点O作Oz∥BC，

由(1)知，BC⊥平面ABD，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.

因为BD＝2BC＝2，＝2，则A(，，0)，B(1，0，0)，C(1，0，1)，D(－1，0，0)，所以＝(－2，0，－1)，＝(，，0).

设平面ACD的法向量为m＝(x，y，z)，则

取x＝1，则y＝－，z＝－2，所以m＝(1，－，－2).(9分)

因为y轴⊥平面BCD，所以平面BCD的一个法向量n＝(0，1，0).(10分)

设二面角ACDB的平面角为θ，θ为锐角，

则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝||＝＝，

所以二面角ACDB的余弦值为.(12分)

21. 解：(1) 依据圆与抛物线的对称性，四边形ABCD是以y轴为对称轴的等腰梯形，

不妨设AB<CD，A，D在第一象限，A(x1，y1)，D(x2，y2)，则B(－x1，y1)，C(－x2，y2).

联立消去x，得y2＋(m－5)y＋＝0　(*).

方程(*)有互异两正根，所以解得0<m<2.(1分)

由·＝，得x1x2＋y1y2＝，即m＋y1y2＝.(3分)

由y1y2＝，得m＝1.(5分)

(2) 依据对称性，点G在y轴上，可设G(0，a).

由kAG＝kAC，得＝，所以＝＝，

则a＝＝，即G(0，).(8分)

方法一：S＝S梯ABCD－(S△GAB＋S△GCD)＝(x1＋x2)(y2－y1)－[x1(a－y1)＋x2(y2－a)]

＝x1y2－x2y1＋a(x2－x1)＝·(－)＋a(－)

＝(－)(＋a)＝3·＝3(10分)

≤3·＝3.

当且仅当m＝2－m，即m＝1时，S最大值为3.(12分)

方法二：＝S△ABD－S△ABG＝x1(y2－)＝(y2－)

＝(－)＝(－)＝·(10分)

＝＝≤，所以S≤3.

当且仅当m＝1时，S最大值为3.(12分)

22. 解：(1) f′(x)＝2asin x cos x－＝asin 2x－，

由f′()＝a－＝0，知a＝2，(2分)

所以f′(x)＝2sin 2x－.

令f′(x)>0，x∈(0，)，得<x<；

令f′(x)<0，x∈(0，)，得0<x<或<x<，

所以f(x)在(，)上单调递增，在(0，)和(，)上单调递减．(4分)

(2) (i) 当0≤a≤2时，f(x)≤2sin2x－x，设h(x)＝2sin2x－x.

①当0<x<时，由(1)知h(x)极大＝h()＝－π<0，

又h(0)＝0，所以h(x)<0，从而f(x)<0.

②当x≥时，f(x)≤h(x)≤2－π<0.

由①②知，当x>0时，f(x)<0　(a)；(6分)

当x<0时，f(x)≥－x>0　(b).由(a)(b)得，x≠0时，xf(x)<0.(8分)

(ii) 当－2≤a<0时，

方法一：当x<0时，f(x)≥－2sin2x－x，设g(x)＝－2sin2x－x，g′(x)＝－2(sin2x＋).

①当－<x<0时，由g′(x)＝0，得x1＝－，x2＝－，

同理有g(x)极小＝g(－)＝－＋π>0，

又g(－)>g(－)>0，g(0)＝0，所以g(x)>0，从而f(x)>0.(10分)

②当x≤－时，f(x)≥－2＋π>0.

由①②得，当x<0时，f(x)>0　(c)；当x>0时，显然f(x)<0　(d).

由(c)(d)得，x≠0时，xf(x)<0.由(i)(ii)结论获证．(12分)

方法二：则0<－a≤2，则g(x)＝－asin2x－x，满足x≠0时，xg(x)<0.

又y＝xf(x)与y＝xg(x)的图象关于y轴对称，所以x≠0时，xf(x)<0.

由(i)(ii)结论获证．(12分)