黑龙江省哈尔滨市师大附中2020-2021学年高二上学期期末考试+数学（理）+Word版含答案

哈师大附中2020-2021年度高二学年上学期期末考试

数学试卷（理科）

考试时间：120分钟      满分：150分

一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）

1.设，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件                                       B. 必要不充分条件

C. 充要条件                                                   D. 既不充分也不必要条件

2.若直线被圆 所截得的弦长为，则实数 的值为 （    ）

 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

3.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则 （    ）

A．2 B．3 C．4 D．8

4.的展开式中常数项为（    ）

A．                 B．              C．            D．

5.设双曲线 的左、右焦点分别为，离心率为 ，是上一点，且．若的面积为，则（    ）

A.  B.                                 C.  D.

6.直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则

面积的取值范围是（    ）

A．           B．          C．            D．

7.已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆与双曲线的

两条渐近线相交于四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为（    ）

A.    B.              C.           D.

8.设是椭圆 的左、右焦点，为直线上一点，

是底角为的等腰三角形，则的离心率为（    ）

 A.  B.  C.  D.

9.设有下列四个命题：

两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

过空间中任意三点有且仅有一个平面.

若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

若直线平面，直线平面，则.

则下述命题中所有真命题的个数是（    ）

①       ②  ③  ④

A.                                    B.                               C.                                D.

10.已知抛物线，的三个顶点都在抛物线上，为坐标原点，设

三条边的中点分别为，且的纵坐标分别为，若直线AB，

BC，AC的斜率之和为，则的值为（    ）

A．                        B．                        C.                         D.

11.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节

目不相邻的排法种数是（    ）

A.                               B.                             C.                        D.

12.已知椭圆的左、 右顶点分别为，右焦点为，圆上有一动点 （不同于两点），直线 与椭圆 交于点 ，则 的取值范围是 （    ）

 A.                              B.

 C.                                  D.

二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知实数 满足条件 ， 则目标函数 的最大值为_________．

14.设，则

_________．（用数字作答）

15.某校安排5个班到3个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，

不同的安排方法共有_________种．（用数字作答）

16. 已知抛物线 的焦点为，准线为，经过点的直线交于两点，过点分别作的垂线，垂足分别为两点，直线交于点，若，则下述四个结论：

①；②直线的倾斜角为或 ；③是的中点；④  为等边三角形，其中所有正确结论的编号是_________．     

三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）

17.（本题满分10分）

已知 ，

（1）求证：；（2）若，求的最小值． 

18. （本题满分12分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）射线的极坐标方程为，若射线 与曲线的交点为，与直线 的交点为，求线段的长．

19.（本题满分12分）

分别是椭圆长轴的左、右顶点，点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，且位于轴上方，.

（1）求点的坐标；

（2）设是椭圆长轴上的一点，到直线的距离等于，求椭圆上的点到的距离的最小值.

20.（本题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，,，．

（1）求证：平面平面；[来源:Zxxk.Com]

（2）若为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值；

（3）若二面角大小为，求的长．

21. （本题满分12分）

已知为坐标原点，过点 的直线与抛物线  交于两点， ．

（1）求抛物线 的方程；

（2）过点 作直线 交抛物线 于两点，记 的面积分别为，证明： 为定值．

22.（本题满分12分）

如图，椭圆的离心率为，其左顶点在圆上．

(1)求椭圆的方程；

(2)直线与椭圆的另一个交点为，与圆的另一个交点为．

（i）当时，求直线的斜率；

（ii）是否存在直线，使得?  若存在，求出直线的斜率；

若不存在，说明理由．

                               哈师大附中2020-2021年度高二学年上学期期末考试

数学答案（理科）

一．选择题

  A A D B A A D C  C  B  B D

二．填空题

13.  4        14. 243       15.         16.① ③④      

三．解答题

17.解：（1），

                                                                                ——————————————————  5分

（2）因为

故，当且仅当，即取等

故                                             ——————————————————  10分

18.解：（1） 由 所以 ，

所以曲线 的普通方程为 ．                                           —— ——————  3分

由 ，可得 ，

所以直线 的直角坐标方程为 ．                                 —— ——————  5分

   （2） 方法一：

曲线 的方程可化为 ，

所以曲线 的极坐标方程为 ．                                  —— ——————  7分

由题意设 ，，

将 代入 ，可得：，

所以 或 （舍去），                                                               —— ——————  9分

将 代入 ，可得：，                                 —— ——————  11分

所以 ．                                                                         —— ——————  12分

方法二：

因为射线 的极坐标方程为 ，

所以射线 的直角坐标方程为 ，

由 ，解得 ，

由 ，解得 ，

所以 ．

19.解：（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)

设点则,,由已知可得

                                             —————————————————— 3分

   则，或.

   由于>0,只能，于是

   ∴点P的坐标是                               —————————————————— 6分

   (2) 直线的方程是.

   设点,则到直线的距离是.

   于是=,又,解得    ——————————————————9分

  椭圆上的点到点M的距离有

  ,

∴当时,d取得最小值                          ——————————————————12

20. （1）证明：，，为的中点，

四边形为平行四边形，

，即

平面平面，平面平面，

平面，平面

平面平面                                   ——————————————————  4分

（2），为的中点，

平面平面，且平面平面

平面

如图，以为原点建立空间直角坐标系，

则，，，，

是的中点，

，

设异面直线与所成角为，

，

异面直线与所成角的余弦值为. ——————————————————  8分

（3）解：由（Ⅱ）知平面BQC的法向量为，

设，且， 从而有，

又，设平面MBQ法向量为，

由可取．

∵二面角M−BQ−C为30°，∴，∴，∴．

——————————————————  12分

21.解：（1） 设直线 的方程为：，

与抛物线 联立，消去 得： ；

设 ，，

则    >0,   ；                                                —— ——————  1分

由 ，得

解得 ，所以抛物线 的方程为 ．                                      —— ——————  5分

      （2） 由（）知，点 是抛物线 的焦点，

所以 ，

又原点到直线 的距离为 ，

所以 的面积为 ，—————  8分

又直线 过点 ，且 ，

所以 的面积为 ；         —— ——————  10分

所以 为定值．            —— ——————  12分

22. 解：(1) , ,

的方程为     ——————————————————  4分

（2）（i）设，，显然直线斜率存在，

设直线的方程为，

，

，

，        

代入得到，解得，

所以直线的斜率为．   ——————————————————  8分

（ii）圆心到直线的距离，

不存在直线，使得. ——————————————————  12分