黑龙江省嫩江市第一中学校等五校2020-2021学年高二下学期期中联考数学（理）试题+答案

这是一份黑龙江省嫩江市第一中学校等五校2020-2021学年高二下学期期中联考数学（理）试题+答案，共8页。试卷主要包含了三段论推理等内容，欢迎下载使用。

一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．一辆汽车按规律s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时的瞬时速度为12，则a＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C．2 D．3
2．曲线y＝x2＋1在Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,4)))处的切线的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
3.设复数z满足 z=4i1+i，则z的共轭复数z在复平面内的对应点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4．函数f(x)＝x2－ln 2x的单调递减区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(2),2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，0))，eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
5．用反证法证明命题“已知，如果可被7整除，那么，至少有一个能被7整除”时，假设的内容是（ ）．
A．，都不能被7整除 B．，都能被7整除
C．，只有一个能被7整除 D．只有不能被7整除
6．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形面积为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D．1
7.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的是一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有c2=a2+b2，设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用S1,S2,S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是（ ）
A. S4=S1+S2+S3 B. S42=S12+S22+S32
C. S43=S13+S23+S33 D. S44=S14+S24+S34
8.设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则常数a－b的值为( )
A．21 B．－21 C．27 D．－27
9．三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2>0”，你认为这个推理( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．是正确的
10.设函数在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象可能是( )
11.如下图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，由曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )
A.eq \f(1,π) B.eq \f(2,π) C.eq \f(3,π) D.eq \f(π,4)
12．若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，4]
C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)
二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上)
13.已知i为虚数单位，复数z=i3−ai，且z=5，则实数a=__________.
14.eq \a\vs4\al(∫)eq \\al(3,－3)(x2－2sin x)dx＝________．
15．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．
16.古代埃及数学中发现有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示外，其他分数都可写成若干个单分数和的形式，例如25=13+115，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将13这分成5份，每人得115，这样每人分得13+115.形如22n+1（n=2,3,4…）的分解：25=13+115，27=14+128，29=15+145，按此规律，则22n+1=___________(n=2,3,4…）
三．解答题(本大题共4小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设存在复数z同时满足下列两个条件，求a的取值范围．
(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限；
(2)z·eq \x\t(z)＋2iz＝8＋ai(a∈R)．
18.(本小题满分10分)在数列an中a1=12，an+1=3anan+3，
（1）求a2,a3,a4的值，由此猜想数列an的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想。
19．(本小题满分10分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．
(1)求a，b的值；
(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．
20．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝aln(x＋1)＋eq \f(1,2)x2－ax＋1(a>1)．
(1)求函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)当a>1时，求函数y＝f(x)的单调区间和极值．
2020-2021学年度下学期期中五校联考数学试卷 答案
1.答案：D解析：由s＝at2＋1得v(t)＝s′＝2at，依题意v(2)＝12，所以2a·2＝12，得a＝3.
2.答案：B解析：∵y′＝2x，∴y′|x＝eq \f(1,2)＝1.
∴切线的倾斜角为45°.
3、D
4.答案：A解析：由题意知，函数f(x)定义域为x>0，因为f′(x)＝2x－eq \f(1,x)＝eq \f(2x2－1,x)，由f′(x)≤0得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>0，,2x2－1≤0.))解得05、A
6答案：A
解析：∵y′＝e－2x·(－2)，∴k＝y′|x＝0＝－2，
切线方程为y－2＝－2x，即y＝－2x＋2，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,y＝－2x＋2))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,3)，,y＝\f(2,3)，))S＝eq \f(1,2)×1×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3).
7.B
8.答案：A
解析：由题意知，－2，4是函数f′(x)＝0的两个根，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2＋4＝－\f(2a,3)，,－2×4＝\f(b,3)，))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝－24.))所以a－b＝－3＋24＝21.故选A.
9.答案：A
10答案：A
解析：f(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上变化规律是减→增→减，因此f′(x)的图象在(－∞，0)上，f′(x)＞0，在(0，＋∞)上f′(x)的符号变化规律是负→正→负，故选项A正确．
11.A
12.答案：B
解析：2xln x≥－x2＋ax－3(x>0)恒成立，即a≤2ln x＋x＋eq \f(3,x)(x>0)恒成立，设h(x)＝2ln x＋x＋eq \f(3,x)(x>0)，则h′(x)＝eq \f(x2＋2x－3,x2).当x∈(0，1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范围是(－∞，4]．
±4
14答案：18
解析：eq \a\vs4\al(∫)eq \\al(3,－3)(x2－2sin x)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3＋2cs x))eq \a\vs4\al(|)eq \\al(3,－3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)×27＋2cs 3))－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)×（－27）＋2cs （－3）))＝18.
15答案：y＝－2x－1
解析：因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ln x－3x，所以f′(x)＝eq \f(1,x)－3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.
16. 1n+1+1(n+1)(2n+1)
17.解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则eq \x\t(z)＝x－yi，由题意知x<0，y>0.
又z·eq \x\t(z)＋2iz＝8＋ai，
∴(x＋yi)(x－yi)＋2i(x＋yi)＝8＋ai，
即(x2＋y2－2y)＋2xi＝8＋ai，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－2y＝8，,2x＝a，))即4(y－1)2＝36－a2≥0，－6≤a≤6.
又a＝2x<0，∴－6≤a<0.
∴a的取值范围为[－6,0)．
18.(1) a1=12=36,a2=37,a3=38,a4=39 ………………3分
猜想an=3n+5 ………………5分
（2）数学归纳法证明：
= 1 \* GB3 ①当n=1时，a1=31+5=12，猜想成立， ………………6分
= 2 \* GB3 ②假设当n=k（k≥1，k∈N∗）时猜想成立，即ak=3k+5
则当n=k+1时，ak+1=3akak+3=3∙3k+53k+5+3=3k+1+5
所以当n=k+1时，猜想也成立
由 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②知，对n∈N∗，an=3n+5都成立 ………………10分
19 解：(1)由投资额为零时收益为零，
可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6ln b＝0，
解得a＝2，b＝1.
(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln (x＋1)．
设投入经销B商品的资金为x万元(0＜x≤5)，
则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，
设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋
6ln (x＋1)＝6ln (x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．
S′(x)＝eq \f(6,x＋1)－2，令S′(x)＝0，得x＝2.
当0＜x＜2时，S′(x)＞0，函数S(x)单调递增；
当2＜x≤5时，S′(x)＜0，函数S(x)单调递减．
所以，当x＝2时，函数S(x)取得最大值，S(x)max＝
S(2)＝6ln 3＋6≈12.6万元．
所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．
20.解：(1)f(0)＝1，f′(x)＝eq \f(a,x＋1)＋x－a＝eq \f(x（x－a＋1）,x＋1)，f′(0)＝0，所以函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)函数的定义域为(－1，＋∞)，
令f′(x)＝0，即eq \f(x（x－a＋1）,x＋1)＝0.
解得x＝0或x＝a－1.
当a>1时，f(x)，f′(x)随x变化的情况如下：
可知f(x)的单调减区间是(0，a－1)，增区间是(－1，0)和(a－1，＋∞)，极大值为f(0)＝1，极小值为f(a－1)＝aln a－eq \f(1,2)a2＋eq \f(3,2).
x
(－1，0)
0
(0，a－1)
a－1
(a－1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗