黑龙江省双鸭山市第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试卷（含答案）

双鸭山市第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试

数学（理）

（考试时间：120分钟     满分：150分）

一、单选题（12小题，每题5分，共60分）

1．已知，是的导函数，则（    ）

A．0 B． C． D．1

(原创试题)2．“已知对数函数（且）是增函数，因为是对数函数，所以为增函数”，在以上三段论的推理中（    ）

A．大前提错误 B．小前提错误

C．推理形式错误 D．结论错误

3．（    ）

A． B． C． D．

4．观察下列式子:，，，…，则可归纳出小于（    ）

A． B． C． D．

（改编试题）5．某校有500人参加某次数学模拟考试，考试成绩近似服从正态分，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于或等于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（    ）

A．100 B．200 C．300 D．400

6．一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量X，男生的人数为变量Y，则等于（     ）

A． B．

C． D．

7．函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是（    ）

A． B．           C． D．

8．由直线及曲线围成的封闭图形的面积为（    ）

A．1 B． C． D．4

（改编试题）9．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了四局的概率为（    ）.

A． B． C． D．

10．点是曲线上任意一点，则点到直线的最短距离为（    ）

A． B． C． D．

11．函数的导函数为，对，都有成立，若，则不等式的解是　　

A． B． C． D．

12．若关于的方程恰有3个不同的根，其中且，则的最小值为（  ）

A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题（4小题，每题5分，共20分）

13．函数的极大值为___________.

14．若，则的值为__________.

15．已知函数在区间（其中）上存在最大值，则实数的取值范围是_______.

16．已知关于的不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围为_________．

三、解答题（共70分）

17．（10分）在一定范围内，植物的生长受到空气、水、温度、光照和养分等因素的影响，某试验小组为了研究光照时长对某种植物增长高度的影响，在保证其他因素相同的条件下，对该植物进行不同时长的光照试验，经过试验，得到6组该植物每日的光照时间（单位：）和每日平均增长高度（单位：）的数据．

（1）该小组分别用模型①和模型②对以上数据进行拟合，得到回归模型，并计算出模型的残差如下表：（模型①和模型②的残差分别为和，残差）

根据上表的残差数据，应选择哪个模型来刻画该植物每日的光照时间与每日平均增长高度的关系较为合适，简要说明理由；

（2）为了优化模型，将（1）中选择的模型残差绝对值最大所对应的一组数据剔除，根据剩余的5组数据，求该模型的回归方程，并预测光照时间为时，该植物的平均增长高度．

（剔除数据前的参考数据：，，，，，，，，．）

参考公式：，．

18．（12分）已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值．

（1）求的解析式；

（2）求在上的最大值和最小值．

（改编试题）19．（12分）2019年在双鸭山市西沟新发现一超大型石墨矿，石墨是生产石墨烯的重要原料，石墨烯被誉为“21世纪材料之王”，在北方冬天室外温度极低，轻薄保暖的石墨烯发热膜若能用在衣服上，人们行动会更方便．石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜．从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现有A材料、B材料供选择，研究人员对附着在A、B材料上再结晶各做了50次试验，得到如下等高条形图．

（1）由上面等高条形图，填写列联表，判断是否有99%的把握认为试验成功与材料有关？

（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层．每个环节生产合格的概率均为，且各生产环节相互独立．已知生产1吨的石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，且生产1吨石墨烯发热膜的每个环节修复费用均为1000元．如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利可达1万元以上的目标？

附：参考公式：，其中．

20．（12分）已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）设函数，存在实数，使得不等式成立，求的取值范围．

21．（12分）某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为元/瓶.酸奶在试销售期间足量供应，每天的销售数据按照，，，分组，得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率.

从试销售期间任选三天，求其中至少有一天的酸奶销量大于瓶的概率；

试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱瓶，批发成本元；小箱每箱瓶，批发成本元.由于酸奶保质期短，当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱（计算时每个分组取中间值作为代表，比如销量为时看作销量为瓶）.

①设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量，批发一小箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量，求和的分布列和数学期望；

②以利润作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱？

注：销售额=销量×定价；利润=销售额－批发成本.

22．（12分）已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）记函数的极值点为，若，且，求证：.

参考答案

1．C

【详解】

函数的导数为，

则.

2．A

【详解】

当时，函数为减函数，所以，在这个推理中，大前提错误.

3．B

【详解】

令，

所以，，

它表示以为圆心，以1为半径的圆的上半圆，如图所示，

表示由和半圆围成的曲边梯形的面积，即个圆的面积.

由题得个圆的面积为.

由定积分的几何意义得.

4．C

【详解】

由已知式子可知所猜测分式的分母为，分子第个正奇数，即，

.

5．B

【详解】

由正态分布的特点知，正态密度曲线对称轴为，所以，

因为，所以，

由对称性知：，

所以考试成绩在90分到105分之间的人数约为，

6．C

【详解】

由题得,

所以.

7．D

【详解】

，，

由题意可知，存在，使得，即存在，使得，

二次函数，当且仅当时，等号成立，则.

8．B

【详解】

解：由，即，解得或，即两函数交于点，，所以直线及曲线围成的封闭图形的面积

故选：B

9．A

【详解】

解：因为甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，

所以在甲获得冠军的概率为，

比赛进行了四局的概率为.

所以在甲获得冠军的情况下，比赛进行了四局的概率为.

10．D

【详解】

当过点做切线和直线平行时距离最短.

，令，解得，所以

最短距离为：.

11. D

【解析】解：，都有成立，

，于是有，

令，则有在上单调递增，

不等式，

，

，

，

，

12．C

所以题目转化为方程恰有3个不同的根，

令，求导，令，解得，.

当时，，故单调递增；当，，故单调递减；当，，故单调递增；

显然当时，；当时，；

故恰有3个不同的根，只需即可，

即，即，

令，即，

构造函数，求导，令，得，

当时，，故单调递减；当，，故单调递增；

当时，；当时，

当时，；当时，，

由零点存在性定理知方程在上的根，则在上的根，

故的解集为，故的最小值为5.

13．

【详解】

令，

则.

所以当时，；当时，.

所以当时，函数有极大值为.

14．5

【详解】

，其通项公式为，故，所以.

15．

因为，，所以.

当时，；当时，.

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以函数在处取得极大值.

因为函数在区间（其中）上存在最大值，

所以，解得.

16．

【详解】

解：由题可知，不等式对于任意恒成立，

即，

又因为，，

对任意恒成立，

设，其中，

由不等式，可得：，

则，

当时等号成立，

又因为在内有解，

，

则，即：，

所以实数的取值范围：.

17．（1）应选择模型①，理由见解析；（2），．

【详解】

（1）应选择模型①，因为模型①每组数据对应的残差绝对值都比模型②的小，残差波动小，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明拟合精度高．（言之有理即可）

（2）由（1）知，需剔除第一组数据，得到下表

则上表的数据中，，，，，，，

所以，

，得模型①的回归方程为，

则时，，

故光照时间为时，该植物的平均增长高度为．

18．（1）；（2）最大值为8，最小值为．

【详解】

解：（1）由题意可得，．

由解得

经检验得时，有极大值．

所以．

（2）由（1）知，．

令，得，，

，的值随的变化情况如下表：

由表可知在上的最大值为8，最小值为．

19．（1）列联表见解析；有99%的把握认为试验成功与材料有关；（2）2.1万元/吨.

【详解】

（1）根据所给等高条形图，得到的列联表：

的观测值，由于，

故有99%的把握认为试验成功与材料有关．

（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为万元．易知可得0，0.1，0.2，0.3．

，，

，，

则Ｘ的分布列为：

修复费用的期望：．

所以石墨烯发热膜的定价至少为万元/吨，才能实现预期的利润目标．

20．（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．

【详解】

解：（1）∵，∴

（1）当时，∵，∴，，∴单减，∴减区间是．

时，，∴单增，∴增区间是．

（2）当时，∵，∴，∴的减区间是．

（3）当时，∵，∴的减区间是．

（4）当时，，∴，∴的增区间是，

，，∴的减区间是．

（2），因为存在实数，使得不等式成立，∴

，∵，，，单减，，，∴单增．∴，．

∴，∴，∵，∴．

21．；①详见解析；②应该批发一大箱.

【详解】

解：根据图中数据，酸奶每天销量大于瓶的概率为，不大于瓶的概率为.

设“试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量大于瓶”为事件，则表示“这三天酸奶的销量都不大于瓶”.

所以.

①若早餐店批发一大箱，批发成本为元，依题意，销量有，，，四种情况.

当销量为瓶时，利润为元；

当销量为瓶时，利润为元；

当销量为瓶时，利润为元；

当销量为瓶时，利润为元.

随机变量的分布列为

所以（元）

若早餐店批发一小箱，批发成本为元，依题意，销量有，两种情况.

当销量为瓶时，利润为元；

当销量为瓶时，利润为元.

随机变量的分布列为

所以（元）.

②根据①中的计算结果，，

所以早餐店应该批发一大箱.

22．（1）见解析；（2）见解析

【解析】

详解：(1)，令，则，

当时，，当时，，

则函数的增区间为，减区间为.

（2）由可得，所以的极值点为.

于是，等价于,

由得且.

由整理得，，即.

等价于，①

令，则.

式①整理得，其中.

设,.

只需证明当时，.

又，设 ，

则

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增.

所以,；

注意到，，

，

所以，存在，使得，

注意到，，而，所以.

于是，由可得或；由可得.

在上单调递增，在上单调递减.

于是，，注意到，，，

所以，，也即，其中.

于是，.