第4讲 二次根式

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知识点一：二次根式
关键点拨及对应举例
1.有关概念
（1）二次根式的概念：形如eq \r(a)(a≥0)的式子.
（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.
（3）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
失分点警示：当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都有意义，即分母不为0，被开方数大于等于0等.例：若代数式有意义，则x的取值范围是x＞1.
2.二次根式的性质
（1）双重非负性：
①被开方数是非负数，即a≥0；
②二次根式的值是非负数，即≥0.
注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式.
利用二次根式的双重非负性解题：
（1）值非负:当多个非负数的和为0时，可得各个非负数均为0.如+=0，则a=-1，b=1.
（2）被开方数非负:当互为相反数的两个数同时出现在二次根式的被开方数下时，可得这一对相反数的数均为0.如已知b=+,则a=1,b=0.
(2)两个重要性质：
①(eq \r(a))2＝a(a≥0)；②eq \r(a2)＝|a|＝；
(3)积的算术平方根：＝·(a≥0，b≥0)；
(4)商的算术平方根： (a≥0，b＞0)．
例：计算：
＝3.14；＝2；
=；=2 ；
知识点二 ：二次根式的运算
3.二次根式的加减法
先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式．
例：计算：＝.
4.二次根式的乘除法
（1）乘法：·=(a≥0，b≥0)；
（2）除法： = (a≥0，b＞0)．
注意：将运算结果化为最简二次根式.
例：计算：＝1；4.
5.二次根式的混合运算
运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）．
运算时，注意观察，有时运用乘法公式会使运算简便.
例：计算：(+1)( -1)= 1 .