2021年江苏省盐城市阜宁县中考数学二模试卷

这是一份2021年江苏省盐城市阜宁县中考数学二模试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列实数中，最小的是（ ）
A．0B．﹣1C．D．1
2．（3分）函数y＝中的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠B．x≥1C．x＞D．x≥
3．（3分）如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，且∠A＝120°，则∠1＝（ ）
A．45°B．60°C．40°D．30°
4．（3分）分解因式4x2﹣y2的结果是（ ）
A．（4x+y）（4x﹣y）B．4（x+y）（x﹣y）
C．（2x+y）（2x﹣y）D．2（x+y）（x﹣y）
5．（3分）一组数据2，3，4，2，5的众数和中位数分别是（ ）
A．2，2B．2，3C．2，4D．5，4
6．（3分）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．内角和为360°B．对角线互相平分
C．对角线相等D．对角线互相垂直
7．（3分）下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝54°，则∠ADB等于（ ）
A．42°B．46°C．50°D．54°
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请将答案直接写在答题纸相应位置上.）
9．（3分）的平方根是 ．
10．（3分）若正n边形的一个外角是36°，则n＝ ．
11．（3分）根据Wrldmeter当地时间5月6日晚最新数据显示，美国累计确诊新冠肺炎病例超33300000例，其中33300000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）已知圆锥的母线长为8cm，侧面积为24πcm2，则这个圆锥的底面圆半径为 cm．
13．（3分）如图，已知A为反比例函数（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，若△OAB的面积为2，则k的值为
14．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式2kx﹣b＜0的解集为 ．
15．（3分）已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝1，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AC：BC：AB＝3：4：5，当半径为1的⊙O在△ABC内自由移动时，圆心O在△ABC内所能到达的区域面积为6，则△ABC的外接圆面积为 ．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（6分）计算：﹣|﹣2|+（﹣）0+．
18．（6分）化简式子÷（x﹣），从0、1、2中取一个合适的数作为x的值代入求值．
19．（8分）某市旅游景区有A、B、C、D、E等著名景点，该市旅游部门统计绘制出2021年“五•一”长假期间旅游情况统计图，根据以下信息解答下列问题：
（1）2021年“五•一”期间，该市周边景点共接待游客 万人，扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数是 ，并补全条形统计图．
（2）根据近几年到该市旅游人数增长趋势，预计2022年“五•一”节将有80万游客选择该市旅游，请估计有多少万人会选择去E景点旅游？
20．（8分）为了减缓学生中考前的心理压力，某班学生组织了一次拔河比赛，裁判员让甲乙两队队长用“石头、剪刀、布”的手势方式选择场地位置，规则是：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，手势相同则再决胜负．
（1）用列表或画树状图法，列出甲、乙两队手势可能出现的情况；
（2）裁判员的这种做法对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
21．（8分）若数a使关于x的分式方程+＝3的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，求符合条件的所有整数a的和．
22．（10分）如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cs26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
23．（10分）如图，C为线段AB外一点．
（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．
24．（10分）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB＝2，PC＝4．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）求tan∠CAB的值．
25．（10分）某商场计划采购A，B两种不同型号的电视机共50台，已知A型电视机进价1500元，售价2000元；B型电视机进价为2400元，售价3000元．
（1）设该商场购进A型电视机x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．
（2）若该商场采购两种电视机的总费用不超过108300元，全部售出所获利润不低于28500元，请设计出所有采购方案，并求出使商场获得最大利润的采购方案及最大利润．
26．（12分）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB'，记旋转角为α．连接BB'，过点D作DE垂直于直线BB'，垂足为点E，连接DB'，CE．
（1）如图1，当α＝60°时，△DEB'的形状为 ，连接BD，可求出的值为 ．
（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，
①（1）中的两个结论是否成立？若成立，利用图2进行证明；若不成立，请说明理由；
②当以点B'，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，求出的值．
27．（14分）如图1，已知直线y＝x﹣3与坐标轴相交于B、C两点，经过点B、C的抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；
（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC交于点F，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；
（4）若点K为抛物线的顶点，点M（，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．
2021年江苏省盐城市阜宁县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题纸相应位置上.）
1．（3分）下列实数中，最小的是（ ）
A．0B．﹣1C．D．1
【分析】正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
【解答】解：∵﹣＜﹣1＜0＜1，
∴最小的是﹣．
故选：C．
2．（3分）函数y＝中的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠B．x≥1C．x＞D．x≥
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：函数y＝中：2x﹣1≥0，
解得：x≥．
故选：D．
3．（3分）如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，且∠A＝120°，则∠1＝（ ）
A．45°B．60°C．40°D．30°
【分析】由AB∥CD知∠1＝∠DCE，∠A+∠ACD＝180°，据此得出∠ACD＝60°，再由CE平分∠ACD知∠1＝∠DCE＝∠ACD＝30°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠DCE，∠A+∠ACD＝180°，
又∵∠A＝120°，
∴∠ACD＝60°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝∠ACD＝30°，
∴∠1＝30°，
故选：D．
4．（3分）分解因式4x2﹣y2的结果是（ ）
A．（4x+y）（4x﹣y）B．4（x+y）（x﹣y）
C．（2x+y）（2x﹣y）D．2（x+y）（x﹣y）
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）．
故选：C．
5．（3分）一组数据2，3，4，2，5的众数和中位数分别是（ ）
A．2，2B．2，3C．2，4D．5，4
【分析】将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为2、2、3、4、5，
∴这组数据的众数为2，中位数为3，
故选：B．
6．（3分）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．内角和为360°B．对角线互相平分
C．对角线相等D．对角线互相垂直
【分析】分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．
【解答】解：矩形和菱形的内角和都为360°，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分，
∴矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等，
故选：C．
7．（3分）下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】圆锥的侧面展开图是扇形．
【解答】解：根据圆锥的特征可知，侧面展开图是扇形的是圆锥．
故选：B．
8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝54°，则∠ADB等于（ ）
A．42°B．46°C．50°D．54°
【分析】先根据已知条件推出，则∠ADB＝∠CBD＝∠ABD，再根据圆内接四边形互补∠ABC+∠ADC＝180°，得到3∠ADB＝126°，即求出∠ADB的度数
【解答】解：∵A为中点，
∴，
∵AB＝CD，
∴，
∴，
∴∠ADB＝∠CBD＝∠ABD，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADB+∠CBD+ABD＝180°﹣∠BDC＝180°﹣54°＝126°，
∴3∠ADB＝126°，
∴∠ADB＝42°．
故选：A．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请将答案直接写在答题纸相应位置上.）
9．（3分）的平方根是 ± ．
【分析】根据平方根的意义即可得出答案．
【解答】解：因为（±）2＝，
所以的平方根是±，
故答案为：±．
10．（3分）若正n边形的一个外角是36°，则n＝ 10 ．
【分析】利用多边形的外角和即可解决问题．
【解答】解：n＝360°÷36°＝10．
故答案为：10．
11．（3分）根据Wrldmeter当地时间5月6日晚最新数据显示，美国累计确诊新冠肺炎病例超33300000例，其中33300000用科学记数法表示为 3.33×107 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【解答】解：33300000用科学记数法表示为3.33×107．
故答案是：3.33×107．
12．（3分）已知圆锥的母线长为8cm，侧面积为24πcm2，则这个圆锥的底面圆半径为 3 cm．
【分析】利用圆锥侧面积＝πrl，代入可求解．
【解答】解：设圆锥的底面半径为rcm，
∵圆锥的母线长是8cm，侧面积是24πcm2，
∴24π＝π•r•8，
∴r＝3，
故答案为：3．
13．（3分）如图，已知A为反比例函数（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，若△OAB的面积为2，则k的值为 ﹣4
【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|＝2，然后根据反比例函数的性质确定k的值．
【解答】解：∵AB⊥y轴，
∴S△OAB＝|k|＝2，
而k＜0，
∴k＝﹣4．
故答案为﹣4．
14．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式2kx﹣b＜0的解集为 x＞2 ．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征得到b＝4k，k＜0，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，一次函数y＝kx+b的图象经过（﹣4，0），k＜0，
∴﹣4k+b＝0，
∴b＝4k，
∴不等式可化为：2kx﹣4k＜0，
解得，x＞2，
故答案为：x＞2．
15．（3分）已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝1，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 ．
【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB＝AD，每一个角都是直角可得∠BAE＝∠D＝90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE＝∠DAF，进一步得∠AGE＝∠BGF＝90°，从而知GH＝BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△DAF中，
∵，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵BC＝4、CF＝CD﹣DF＝4﹣1＝3，
∴BF＝＝5，
∴GH＝BF＝，
故答案为：．
16．（3分）如图，在△ABC中，AC：BC：AB＝3：4：5，当半径为1的⊙O在△ABC内自由移动时，圆心O在△ABC内所能到达的区域面积为6，则△ABC的外接圆面积为 25π ．
【分析】先判断出△ABC是直角三角形，进而判断出△DEF的面积是6，再判断出△DEF∽△ACB，进而求出△DEF的三边，再用切线长定理得出AC＝x+4，BC＝y+5，AB＝x+y+5，最后用AC：BC：AB＝3：4：5，求出x，y，进而求出AB，AC，BC即可得出结论．
【解答】解：如图，∵AC：BC：AB＝3：4：5，
设AC＝3m，BC＝4m，AB＝5m，
∴AC2+BC2＝9m2+16m2＝25m2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
由题意，⊙D，⊙E，⊙F和△ABC的两边相切，此时，点O所能到达的区域是△DEF，连接DE、EF、DF，
∵圆心O在△ABC内所能到达的区域的面积为6，
∴S△DEF＝6，
∵DE∥AC，DF∥AB，EF∥BC，
∴∠DEF＝∠ACB＝90°，∠DFE＝∠ABC，
∴△DEF∽△ACB，
∴DE：EF：DF＝AC：BC：AB＝3：4：5，
设DE＝3k（k＞0），则EF＝4k，DF＝5k，
∴S△DEF＝DE•EF＝×3k•4k＝6，
∴k＝1或﹣1（舍），
∴DE＝3，EF＝4，DF＝5，
设切点分别为G、H、P、Q、M、N，
连接DH、DG、EP、EQ、FM、FN，
得矩形DEPG、矩形EQNF、矩形DEMH，
∴DE＝GP＝3，EF＝QN＝4，DF＝HM＝5，
根据切线长定理四边形CPEQ是正方形，
∴PC＝PE＝EQ＝CQ＝1，
根据切线长定理，
设AG＝AH＝x，BN＝BM＝y，
则AC＝AG+GP+CP＝x+3+1＝x+4，
BC＝CQ+QN+BN＝1+4+y＝y+5，
AB＝AH+HM+BM＝x+5+y＝x+y+5，
∵AC：BC：AB＝3：4：5，
∴（x+4）：（y+5）：（x+y+5）＝3：4：5，
解得x＝2，y＝3，
∴AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∵∠ACB＝90°，
∴△ABC的外接圆的半径＝5，
∴△ABC的外接圆面积为25π，
故答案为：25π．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（6分）计算：﹣|﹣2|+（﹣）0+．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、立方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2+1﹣2
＝2﹣2+1﹣2
＝﹣1．
18．（6分）化简式子÷（x﹣），从0、1、2中取一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】直接利用分式的性质进行通分运算，进而结合分式的混合运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
∵x≠0，2，
∴当x＝1时，原式＝﹣1．
19．（8分）某市旅游景区有A、B、C、D、E等著名景点，该市旅游部门统计绘制出2021年“五•一”长假期间旅游情况统计图，根据以下信息解答下列问题：
（1）2021年“五•一”期间，该市周边景点共接待游客 50 万人，扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数是 108° ，并补全条形统计图．
（2）根据近几年到该市旅游人数增长趋势，预计2022年“五•一”节将有80万游客选择该市旅游，请估计有多少万人会选择去E景点旅游？
【分析】（1）由A景点人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A景点对应的百分比可得其对应圆心角度数，用总人数乘以B景点对应的百分比求出其人数即可补全图形；
（2）用总人数乘以样本中E景点人数所占比例即可．
【解答】解：（1）2021年“五•一”期间，该市周边景点共接待游客15÷30%＝50（万人），
扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数是360°×30%＝108°，
B景点人数为50×24%＝12（万人），
补全图形如下：
故答案为：50、108°；
（2）80×＝9.6（万人），
答：估计有9.6万人会选择去E景点旅游．
20．（8分）为了减缓学生中考前的心理压力，某班学生组织了一次拔河比赛，裁判员让甲乙两队队长用“石头、剪刀、布”的手势方式选择场地位置，规则是：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，手势相同则再决胜负．
（1）用列表或画树状图法，列出甲、乙两队手势可能出现的情况；
（2）裁判员的这种做法对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
【分析】（1）画树状图列出所有等可能结果；
（2）从树状图中找到甲、乙获胜的结果数，根据概率公式分别计算出其获胜的概率，从而得出答案．
【解答】解：（1）用树状图得出所有等可能的结果如下：
（2）裁判员的这种作法对甲、乙双方是公平的．
理由：由树状图得，P（甲获胜）＝，P（乙获胜）＝．
∵P（甲获胜）＝P（乙获胜），
∴这种作法对甲、乙双方是公平的．
21．（8分）若数a使关于x的分式方程+＝3的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，求符合条件的所有整数a的和．
【分析】解分式方程，检验根得出a的范围；根据分式方程的解为正数，列出不等式求得a的范围；解不等式组，根据解集为y＜﹣2，的出a的范围；根据a为整数，得出a的值，最后求和即可．
【解答】解：分式方程的两边都乘以（x﹣1）得：2﹣a＝3（x﹣1），
解得，
∵x﹣1≠0，
∴，
∴a≠2，
∵方程的解为正数，
∴，
∴a＜5且a≠2；
，
解不等式①得：y＜﹣2，
解不等式②得：y≤a，
∵不等式组的解集为y＜﹣2，
∴a≥﹣2．
∴﹣2≤a＜5且a≠2
∴整数a的和为（﹣2）+（﹣1）+0+1+3+4＝5．
22．（10分）如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cs26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
【分析】过点D作DH⊥AC于点H，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离AD．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于点H，
在Rt△DCH中，∠C＝37°，
∴CH＝，
在Rt△DBH中，∠DBH＝45°，
∴BH＝，
∵BC＝CH﹣BH，
∴﹣＝6，
解得DH≈18km，
在Rt△DAH中，∠ADH＝26°，
∴AD＝≈20km．
答：轮船航行的距离AD约为20km．
23．（10分）如图，C为线段AB外一点．
（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．
【分析】（1）利用尺规作图作CD∥AB，且CD＝2AB，即可作出四边形ABCD；
（2）在（1）的四边形ABCD中，根据相似三角形的判定与性质即可证明M，P，N三点在同一条直线上．
【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；
（2）证明：如图，
∵CD∥AB，
∴∠ABP＝∠CDP，∠BAP＝∠DCP，
∴△ABP∽△CDP，
∴＝，
∵AB，CD的中点分别为M，N，
∴AB＝2AM，CD＝2CN，
∴＝，
连接MP，NP，
∵∠BAP＝∠DCP，
∴△APM∽△CPN，
∴∠APM＝∠CPN，
∵点P在AC上，
∴∠APM+∠CPM＝180°，
∴∠CPN+∠CPM＝180°，
∴M，P，N三点在同一条直线上．
24．（10分）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB＝2，PC＝4．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）求tan∠CAB的值．
【分析】（1）可以证明OC2+PC2＝OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是⊙O的切线
（2））AB是直径，得∠ACB＝90°，通过角的关系可以证明△PBC∽△PCA，进而，得出tan∠CAB＝．
【解答】解：（1）如图，连接OC、BC
∵⊙O的半径为3，PB＝2
∴OC＝OB＝3，OP＝OB+PB＝5
∵PC＝4
∴OC2+PC2＝OP2
∴△OCP是直角三角形，
∴OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
（2）∵AB是直径
∴∠ACB＝90°
∴∠ACO+∠OCB＝90°
∵OC⊥PC
∴∠BCP+∠OCB＝90°
∴∠BCP＝∠ACO
∵OA＝OC
∴∠A＝∠ACO
∴∠A＝∠BCP
在△PBC和△PCA中：
∠BCP＝∠A，∠P＝∠P
∴△PBC∽△PCA，
∴
∴tan∠CAB＝
25．（10分）某商场计划采购A，B两种不同型号的电视机共50台，已知A型电视机进价1500元，售价2000元；B型电视机进价为2400元，售价3000元．
（1）设该商场购进A型电视机x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．
（2）若该商场采购两种电视机的总费用不超过108300元，全部售出所获利润不低于28500元，请设计出所有采购方案，并求出使商场获得最大利润的采购方案及最大利润．
【分析】（1）由题意，获得总利润等于A、B两种型号利润之和即可列出函数解析式；
（2）由采购两种电视机的总费用不超过108300元，全部售出所获利润不低于28500元列出不等式组，求出x的取值范围，再根据函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：y＝（2000﹣1500）x+（3000﹣2400）×（50﹣x）＝﹣100x+30000，
∴全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式为：y＝﹣100x+30000．
（2）由题意和（1）得：，
解得：13≤x≤15，
∵x为正整数，
∴x＝13、14、15，
共有三种采购方案：①甲型13台，乙型37台，②甲型14台，乙型36台，③甲型15台，乙型35台，
∵﹣100＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x取最小值时，y有最大值，
即x＝13时，y最大值＝﹣100×13+30000＝28700，
∴采购甲型电视机13台，乙型电视机37台时商店获得最大利润，最大利润是28700元．
答：采购甲型电视机13台，乙型电视机37台时商店获得最大利润，最大利润是28700元．
26．（12分）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB'，记旋转角为α．连接BB'，过点D作DE垂直于直线BB'，垂足为点E，连接DB'，CE．
（1）如图1，当α＝60°时，△DEB'的形状为 等腰直角三角形 ，连接BD，可求出的值为 ．
（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，
①（1）中的两个结论是否成立？若成立，利用图2进行证明；若不成立，请说明理由；
②当以点B'，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，求出的值．
【分析】（1）由旋转的性质得出AB＝AB'，∠BAB'＝60°，证得△ABB'是等边三角形，可得出△DEB'是等腰直角三角形．证明△BDB'∽△CDE，即可求解；
（2）①得出∠EDB'＝∠EB'D＝45°，则△DEB'是等腰直角三角形，证明△B'DB∽△EDC，由相似三角形的性质即可求解；②分两种情况画出图形，由平行四边形的性质可得出答案．
【解答】解：（1）如图1，
∵AB绕点A逆时针旋转至AB′，
∴AB＝AB'，∠BAB'＝60°，
∴△ABB'是等边三角形，
∴∠BB'A＝60°，
∴∠DAB'＝∠BAD﹣∠BAB'＝90°﹣60°＝30°，
∵AB'＝AB＝AD，
∴∠AB'D＝∠ADB'，
∴∠AB'D＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠DB'E＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∵DE⊥B'E，
∴∠B'DE＝90°﹣45°＝45°，
∴△DEB'是等腰直角三角形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC＝45°，
∴，
同理，
∴，
∵∠BDB'+∠B'DC＝45°，∠EDC+∠B'DC＝45°，
∴∠BDB'＝∠EDC，
∴△BDB'∽△CDE，
∴＝，
故答案为：等腰直角三角形，；
（2）①两结论仍然成立．
证明：连接BD，
∵AB＝AB'，∠BAB'＝α，
∴∠AB'B＝90°﹣，
∵∠B'AD＝α﹣90°，AD＝AB'，
∴∠AB'D＝135°﹣，
∴∠EB'D＝∠AB'D﹣∠AB'B＝135°﹣α﹣（90°）＝45°，
∵DE⊥BB'，
∴∠EDB'＝∠EB'D＝45°，
∴△DEB'是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，∠BDC＝45°，
∴，
∵∠EDB'＝∠BDC，
∴∠EDB'+∠EDB＝∠BDC+∠EDB，
即∠B'DB＝∠EDC，
∴△B'DB∽△EDC，
∴＝．
②＝3或1．
如图3，若CD为平行四边形的对角线，
点B'在以A为圆心，AB为半径的圆上，取CD的中点．连接BO交⊙A于点B'，
过点D作DE⊥BB'交BB'的延长线于点E，
由（1）可知△B'ED是等腰直角三角形，
∴B'D＝B'E，
由（2）①可知△BDB'∽△CDE，且BB'＝CE．
∴＝＝+1＝+1＝+1＝3；
若CD为平行四边形的一边，如图4，
点E与点A重合，
∴．
综上，＝3或1．
27．（14分）如图1，已知直线y＝x﹣3与坐标轴相交于B、C两点，经过点B、C的抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；
（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC交于点F，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；
（4）若点K为抛物线的顶点，点M（，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有或，进而求解；
（3）由S四边形CHEF＝CE•FH＝﹣（t﹣）2+即可求解；
（4）作点M关于x轴的对称点M′，作点K关于y轴的对称点K′，连接M′K′分别交x轴于点P交y轴于点Q，则点P、Q为所求点，进而求解．
【解答】解：（1）对于y＝x﹣3，令y＝x﹣3＝0，解得x＝3，令x＝0，则y＝﹣3，
故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），
将点B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由点A、B、C的坐标知，AB＝4，，
要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有或，
①当时，即CD＝AB＝4，
∵点C的坐标为（0，﹣3），
∴D（0，1），
②当时，即，解得CD＝，
∴，
即D的坐标为（0，1）或；
（3）∵CE∥x轴，
∴E（2，﹣3），
∴CE＝2，
设H（t2，t2﹣2t﹣3），
∴F（t，t﹣3）
∴，
∵CE⊥HF，
∴S四边形CHEF＝CE•FH＝﹣（t﹣）2+，
当时，四边形CHEF的面积最大为，
此时t＝，故点；
（4）作点M关于x轴的对称点M′，作点K关于y轴的对称点K′，连接M′K′分别交x轴于点P交y轴于点Q，则点P、Q为所求点，
理由：四边形PQKM的周长＝MK+PM+QK+PQ＝MK+PM′+QK′+PQ＝MK+M′K′为最小，
∵K（1，﹣4），
∴K关于y轴的对称点K'（﹣1，﹣4），
∵在抛物线上，
∴，
∴点M关于x轴的对称点，
由点K′、M′的坐标得：直线K'M'的解析式为，
令＝0，则x＝，
令x＝0，则y＝﹣，
∴，．