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2021年江苏省盐城市盐都区、大丰区中考数学一模试卷 解析版
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这是一份2021年江苏省盐城市盐都区、大丰区中考数学一模试卷 解析版，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题．，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年江苏省盐城市盐都区、大丰区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上）
1．（3分）在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的数是（ ）
A．|﹣3| B．﹣2 C．0 D．π
2．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x•x＝2x B．（2x）2＝2x2 C．（x3）3＝x6 D．x+x＝2x
4．（3分）在半径为6cm的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是（ ）
A．πcm B．2πcm C．3πcm D．6πcm
5．（3分）王刚设计了一个转盘游戏：随意转动转盘，使指针最后落在红色区域的概率为，如果他将转盘等分成12份，则红色区域应占的份数是（ ）
A．3份 B．4份 C．6份 D．9份
6．（3分）方程x2+x﹣3＝0的两根分别是x1、x2，则x1+x2等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
7．（3分）如图所示，由7个相同的小正方体组合成一个立体图形，从它上面看到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车在隧道内的长度y随着火车进入隧道的时间x的变化而变化的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）．
9．（3分）如图，已知l1∥l2，且∠1＝120°，则∠2＝ ．
10．（3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为 ．
11．（3分）若分式的值为0，则x＝ ．
12．（3分）把多项式4x2﹣y2分解因式的结果是 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则△ADE与四边形DBCE的面积之比为 ．
14．（3分）2022年将在北京﹣张家口举办冬季奥运会，北京将成为世界上第一个既举办夏季奥运会，又举办冬季奥运会的城市．某队要从两名选手中选取一名参加比赛，为此对这两名队员进行了五次测试，测试成绩如图所示．若选择A选手，则理由是 ．
15．（3分）如图，一次函数y1＝﹣x+4的图象与反比例函数y2＝（k为常数且k≠0）的图象交于A（3，m），B（n，3）两点．则在第一象限内，当y1＞y2时x的取值范围是 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝a，点E为AD的中点，点F为射线AB上一点，连接CF，BF＝3，若将△AEF沿直线EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则a的值为 ．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（6分）计算：﹣2cos60°+20210﹣（﹣）﹣1．
18．（6分）化简：2a（a+2b）﹣（a+2b）2．
19．（8分）先化简，再求值：÷（1+），其中x＝﹣．
20．（8分）已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB＝2，DE＝1，求四边形AODE的面积．
21．（8分）在一个不透明的袋子中有一个黑球和两个白球（除颜色外其他均相同）．
（1）小丽从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率是 ；
（2）小强第一次从袋子中摸出一个球，摸到黑球不放回，摸到白球放回；第二次又从袋子中摸出一个球，请用树状图（或列表法）求小强两次都摸到白球的概率．
22．（10分）体育李老师为了解九年级女生体质健康的变化情况，本学期从九年级全体90名女生中随机抽取15名女生进行体质测试，并调取该15名女生上学期的体质测试成绩进行对比，李老师对两次数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．两次测试成绩（百分制）的频数分布直方图如下（数据分组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b．上学期测试成绩在80≤x＜90的是：
80 81 83 84 84 88
c．两个学期测试成绩的平均数、中位数、众数如下：
学期
平均数
中位数
众数
上学期
82.9
n
84
本学期
83
86
86
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中n的值是 ；
（2）体育李老师计划根据本学期统计数据安排80分以下的同学参加体质加强训练项目，则九年级约有 名女生参加此项目；
（3）分析这15名女生从上学期到本学期体质健康变化的总体情况．（从两个方面进行分析）
23．（10分）在某次防灾抗灾过程中，为了保障某市的抗灾物资供应，现有一批救灾物资由A、B两种型号的货车运输至该市．已知2辆A型货车和3辆B型货车共可满载救灾物资34吨，4辆A型货车和2辆B型货车共可满载救灾物资36吨．
（1）求1辆A型货车和1辆B型货车分别能满载多少吨；
（2）已知这批救灾物资共73吨，计划同时调用A、B两种型号的货车共10辆，并要求一次性将全部物资运送到该市，试求一调用A、B两种型号的货车的方案．
24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．
（1）求证：＝；
（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径．
25．（10分）已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．
（1）该抛物线的对称轴为 ；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．
26．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，将线段AC绕点A逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段AD，连接BD，交AC于点P．
（1）当α＝90°时，
①依题意补全图形；
②求证：PD＝2PB；
（2）写出一个α的值，使得PD＝PB成立，并证明．
27．（14分）以下为一个合作学习小组在一次数学研讨中的过程记录，请阅读后完成下方的问题．
（Ⅰ）情景问题
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，且CD＝3，求AB的最小值．
（Ⅱ）合作探究
小明：我发现点A、B、C在以AB为直径的圆上……
小丽：取AB的中点O，连接OC，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知：OC＝AB，再由OC≥CD，就可以解决本题了．
（Ⅲ）计算猜想
小华：将情景问题中的∠ACB＝90°改成∠ACB＝60°，其余条件不变，如图2，我们也可以构造△ABC的外接圆，求得AB的最小值为 ．
小军：根据上面的学习经验，我们可以进一步猜想“在△ABC中，∠ACB＝α，CD⊥AB，垂足为点D，且CD＝m，则AB的最小值为 ．（用含a，m的代数式表示）”．
（Ⅳ）推理证明
证明（Ⅲ）中小军的猜想．
问题1：帮助小明完成（Ⅱ）中的说理过程；
问题2：完成（Ⅲ）中的两个填空；
问题3：证明（Ⅲ）中小军的猜想；
问题4：图3中矩形ABCD是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板EF，且EF∥AB，点E到墙AB的距离为3米，到地面BC的距离为4米．点O为室内光源，OM、ON为光线，∠MON＝50°，通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小．若背光工作区BM+BN的和最大时，该实验室“可利用比”最高，求此时BM+BN的值．
2021年江苏省盐城市盐都区、大丰区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上）
1．（3分）在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的数是（ ）
A．|﹣3| B．﹣2 C．0 D．π
【分析】直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案．
【解答】解：在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，
|﹣3|＝3，则﹣2＜0＜|﹣3|＜π，
故最小的数是：﹣2．
故选：B．
2．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x•x＝2x B．（2x）2＝2x2 C．（x3）3＝x6 D．x+x＝2x
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方及合并同类项法则即可得到答案．
【解答】解：x•x＝x2，故A不符合题意；
（2x）2＝4x2，故B不符合题意；
（x3）3＝x9，故C不符合题意；
x+x＝2x，故D符合题意；
故选：D．
4．（3分）在半径为6cm的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是（ ）
A．πcm B．2πcm C．3πcm D．6πcm
【分析】弧长公式为，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长．
【解答】解：弧长为：＝2π（cm）．
故选：B．
5．（3分）王刚设计了一个转盘游戏：随意转动转盘，使指针最后落在红色区域的概率为，如果他将转盘等分成12份，则红色区域应占的份数是（ ）
A．3份 B．4份 C．6份 D．9份
【分析】首先根据概率确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出红色区域应占的份数．
【解答】解：∵他将转盘等分成12份，指针最后落在红色区域的概率为，
设红色区域应占的份数是x，
∴＝，
解得x＝4，
故选：B．
6．（3分）方程x2+x﹣3＝0的两根分别是x1、x2，则x1+x2等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【分析】根据根与系数的关系求解．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣1．
故选：B．
7．（3分）如图所示，由7个相同的小正方体组合成一个立体图形，从它上面看到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面看：共分3列，从左往右分别有2，2，1个小正方形．
故选：A．
8．（3分）如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车在隧道内的长度y随着火车进入隧道的时间x的变化而变化的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，可以写出各个过程中，y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．
【解答】解：∵火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长），
∴火车从刚开始进入到完全进入隧道的过程中，y随x的增大而增大，
当火车完全进入隧道到火车头恰好刚要出隧道这一过程中，y随x的增大不发生变化，
当火车头恰好出隧道到火车尾恰好出隧道这一过程中，y随x的增大而减小，
故选：A．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）．
9．（3分）如图，已知l1∥l2，且∠1＝120°，则∠2＝ 60° ．
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠3的度数，再根据∠3+∠2＝180°，即可得到∠2的度数．
【解答】解：∵l1∥l2，∠1＝120°，
∴∠1＝∠3＝120°，
∵∠3+∠2＝180°，
∴∠2＝60°，
故答案为：60°．
10．（3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为 3.6×104 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【解答】解：将36000用科学记数法表示应为3.6×104，
故答案为：3.6×104．
11．（3分）若分式的值为0，则x＝ 1 ．
【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．
【解答】解：∵x﹣1＝0，∴x＝1，
当x＝1，时x+3≠0，
∴当x＝1时，分式的值是0．
故答案为1．
12．（3分）把多项式4x2﹣y2分解因式的结果是 （2x+y）（2x﹣y） ．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（2x+y）（2x﹣y），
故答案为：（2x+y）（2x﹣y）
13．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则△ADE与四边形DBCE的面积之比为 1：8 ．
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC
∴＝（）2＝，
∴△ADE与四边形DBCE的面积之比为＝1：8，
故答案为：1：8．
14．（3分）2022年将在北京﹣张家口举办冬季奥运会，北京将成为世界上第一个既举办夏季奥运会，又举办冬季奥运会的城市．某队要从两名选手中选取一名参加比赛，为此对这两名队员进行了五次测试，测试成绩如图所示．若选择A选手，则理由是 A选手的成绩比较稳定 ．
【分析】根据折线统计图中的数据，分别计算A选手、B选手五次成绩的平均数和方差，做出判断即可．
【解答】解：A选手成绩的平均数为：（7+8+8+9+8）＝8，
B选手成绩的平均数为：（10+8+11+6+5）＝8，
A选手成绩的方差为：[（7﹣8）2+（8﹣8）2×3+（9﹣8）2]＝0.4，
B选手成绩的方差为：[（10﹣8）2+（8﹣8）2+（11﹣8）2+（6﹣8）2+（5﹣8）2]＝5.2，
∵0.4＜5.2，
∴A选手的成绩比较稳定．
故答案为：A选手的成绩比较稳定．
15．（3分）如图，一次函数y1＝﹣x+4的图象与反比例函数y2＝（k为常数且k≠0）的图象交于A（3，m），B（n，3）两点．则在第一象限内，当y1＞y2时x的取值范围是 1＜x＜3 ．
【分析】把A（3，m），B（n，3）两点分别代入y1＝﹣x+4即可求得m、n的值，即可求得A、B的坐标，根据图象即可求得．
【解答】解：∵一次函数y1＝﹣x+4的图象与反比例函数y2＝（k为常数且k≠0）的图象交于A（3，m），B（n，3）两点，
∴m＝﹣3+4，3＝﹣n+4，
∴m＝1，n＝1，
∴A（3，1），B（1，3），
由图象可知，在第一象限内，当y1＞y2时x的取值范围是1＜x＜3，
故答案为：1＜x＜3．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝a，点E为AD的中点，点F为射线AB上一点，连接CF，BF＝3，若将△AEF沿直线EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则a的值为 4或1 ．
【分析】连接EC，利用矩形的性质，求出DE的长度，证明EC平分∠DCF，再证∠FEC＝90°，最后证△FEC∽△EDC，利用相似的性质即可求出AB的长度．
【解答】解：如图，连接EC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝4，DC＝AB＝a，
∵E为AD中点，
∴AE＝DE＝AD＝2，
∴CE2＝CD2+DE2＝a2+4，
∵BF＝3，BC＝4，
∴CF＝＝＝5，
由翻折知，△AEF≌△GEF，
∴AE＝GE，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，
∴GE＝DE，
∴EC平分∠DCG，
∴∠DCE＝∠GCE，
∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，
∴∠GEC＝∠DEC，
∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，
∴∠FEC＝∠D＝90°，
又∵∠DCE＝∠GCE，
∴△FEC∽△EDC，
∴，
∴CE2＝CF•CD，
∴a2+4＝5a，
解得：a＝4或1．
故答案为：4或1．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（6分）计算：﹣2cos60°+20210﹣（﹣）﹣1．
【分析】分别化简零指数幂，负整数指数幂，代入特殊角三角函数值，然后先算乘法，再算加减．
【解答】解：原式＝﹣2×+1﹣（﹣2）
＝﹣1+1+2
＝2．
18．（6分）化简：2a（a+2b）﹣（a+2b）2．
【分析】先提取公因式a+2b，再进行运算．
【解答】解：2a（a+2b）﹣（a+2b）2
＝（a+2b）[2a﹣（a+2b）]
＝（a+2b）（2a﹣a﹣2b）
＝（a+2b）（a﹣2b）
＝a2﹣4b2．
19．（8分）先化简，再求值：÷（1+），其中x＝﹣．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷＝•＝，
当x＝﹣时，原式＝3．
20．（8分）已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB＝2，DE＝1，求四边形AODE的面积．
【分析】（1）根据题意可判断出四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质可得出AC⊥BD，即∠AOD＝90°，继而可判断出四边形AODE是矩形；
（2）由菱形的性质和勾股定理求出OB，得出OD，由矩形的面积公式即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴四边形AODE是矩形；
（2）解：∵四边形AODE是矩形，
∴AO＝DE＝1，
∵AB＝2，
∴BO＝＝，
∴OD＝BO＝，
∴四边形AODE的面积＝AO•OD＝1×＝．
21．（8分）在一个不透明的袋子中有一个黑球和两个白球（除颜色外其他均相同）．
（1）小丽从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率是 ；
（2）小强第一次从袋子中摸出一个球，摸到黑球不放回，摸到白球放回；第二次又从袋子中摸出一个球，请用树状图（或列表法）求小强两次都摸到白球的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小丽从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
由树状图知，共有8种等可能结果，其中小强两次都摸到白球的有4种结果，
∴小强两次都摸到白球的概率为＝．
22．（10分）体育李老师为了解九年级女生体质健康的变化情况，本学期从九年级全体90名女生中随机抽取15名女生进行体质测试，并调取该15名女生上学期的体质测试成绩进行对比，李老师对两次数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．两次测试成绩（百分制）的频数分布直方图如下（数据分组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b．上学期测试成绩在80≤x＜90的是：
80 81 83 84 84 88
c．两个学期测试成绩的平均数、中位数、众数如下：
学期
平均数
中位数
众数
上学期
82.9
n
84
本学期
83
86
86
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中n的值是 83 ；
（2）体育李老师计划根据本学期统计数据安排80分以下的同学参加体质加强训练项目，则九年级约有 18 名女生参加此项目；
（3）分析这15名女生从上学期到本学期体质健康变化的总体情况．（从两个方面进行分析）
【分析】（1）先确定中位数落在第3小组，再由此中位数即可；
（2）根据题意列式计算即可；
（3）对照表中数据即可得到结论．
【解答】解：（1）表中n的值是83；
故答案为：83；
（2）90×＝18，
答：九年级约有18名女生参加此项目；
故答案为：18；
（3）这15名女生从上学期到本学期体质健康变化的总体情况为：体质测试成绩本学期比上学期明显变好，①平均分提高了，②高于80分占80%．
23．（10分）在某次防灾抗灾过程中，为了保障某市的抗灾物资供应，现有一批救灾物资由A、B两种型号的货车运输至该市．已知2辆A型货车和3辆B型货车共可满载救灾物资34吨，4辆A型货车和2辆B型货车共可满载救灾物资36吨．
（1）求1辆A型货车和1辆B型货车分别能满载多少吨；
（2）已知这批救灾物资共73吨，计划同时调用A、B两种型号的货车共10辆，并要求一次性将全部物资运送到该市，试求一调用A、B两种型号的货车的方案．
【分析】（1）设1辆A型货车能满载救灾物资x吨，1辆B型货车能满载救灾物资y吨，根据“2辆A型货车和3辆B型货车共可满载救灾物资34吨，4辆A型货车和2辆B型货车共可满载救灾物资36吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设调用A型货车m辆，则调用B型货车（10﹣m）辆，根据这10辆车的装载量不少于73吨，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各调车方案．
【解答】解：（1）设1辆A型货车能满载救灾物资x吨，1辆B型货车能满载救灾物资y吨，
依题意，得：，
解得：．
答：1辆A型货车能满载救灾物资5吨，1辆B型货车能满载救灾物资8吨．
（2）设调用A型货车m辆，则调用B型货车（10﹣m）辆，
依题意，得：5m+8（10﹣m）≥73，
解得：m≤2．
又∵m为正整数，
∴m可以取1，2，
∴共有2种调车方案，方案1：调用A型货车1辆，B型货车9辆；方案2：调用A型货车2辆，B型货车8辆．
24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．
（1）求证：＝；
（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，利用平行线的性质得到∠AFO＝∠ADB＝90°，然后根据垂径定理得到结论；
（2）连接AC，如图，利用＝得到∠CAD＝∠ABC，再证明△ACE∽△BCA，利用相似比计算出AC＝2，接着根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径；
【解答】（1）证明：∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AFO＝∠ADB＝90°，
∴OC⊥AD
∴＝．
（2）解：连接AC，如图，
∵＝，
∴∠CAD＝∠ABC，
∵∠ECA＝∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴，
∴AC2＝CE•CB，即AC2＝1×（1+3），
∴AC＝2，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝2，
∴⊙O的半径为．
25．（10分）已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．
（1）该抛物线的对称轴为 直线x＝﹣1 ；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．
【分析】（1）根据题意可得抛物线的对称轴；
（2）抛物线的顶点在x轴上，可得顶点坐标为（﹣1，0），进而可得a的值；
（3）根据点N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N′（﹣4，y2），进而可得m的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．
∴对称轴为直线x＝﹣1，
故答案为：直线x＝﹣1；
（2）∵抛物线的顶点在x轴上，
∴顶点坐标为（﹣1，0），
解得a＝﹣1或a＝，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x﹣1或y＝x2+x+；
（3）∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴点N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N′（﹣4，y2），
①当a＞0时，若y1＞y2，则m＜﹣4或m＞2；
②当a＜0时，若y1＞y2，则﹣4＜m＜2．
26．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，将线段AC绕点A逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段AD，连接BD，交AC于点P．
（1）当α＝90°时，
①依题意补全图形；
②求证：PD＝2PB；
（2）写出一个α的值，使得PD＝PB成立，并证明．
【分析】（1）当α＝90°时，①依题意即可补全图形；
②根据30度角所对直角边等于斜边一半即可证明PD＝2PB；
（2）当α的值为60或120度时，根据等腰三角形的性质即可证明PD＝PB成立．
【解答】解：（1）当α＝90°时，
①如图即为补全的图形；
②证明：∵∠BAC＝30°，AB＝AC，
根据题意可知：AC＝AD，
∴AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠CAD＝90°，
∴∠DAB＝120°，
∴∠ABD＝∠D＝∠BAC＝30°，
∴AP＝BP，
在Rt△APD中，∠ADB＝30°，
∴PD＝2AP，
∴PD＝2PB；
（2）当α＝60（或120°）时，PD＝PB成立，
情况1，如图所示：
当α＝60°时，过点D作DF⊥AC于点F，过点B作BE⊥AC于点E，
∴DF∥BE，
∴△DFP∽△BEP，
∴＝，
在Rt△ABE中，∠BAC＝30°，
∴AC＝AB＝2BE，
在Rt△ADF中，∠CAD＝60°，
∴AD＝DF，
∵AD＝AC＝AB，
∴2BE＝DE，
∴BE＝DF，
∴PD＝PB．
情况2，如图所示：
当α＝120°时，过点D作DF⊥AC于点F，过点B作BE⊥AC于点E，
∴DF∥BE，
∴△DFP∽△BEP，
∴＝，
在Rt△ABE中，∠BAC＝30°，
∴AC＝AB＝2BE，
在Rt△ADF中，∠FAD＝60°，
∴AD＝DF，
∵AD＝AC＝AB，
∴2BE＝DE，
∴BE＝DF，
∴PD＝PB．
27．（14分）以下为一个合作学习小组在一次数学研讨中的过程记录，请阅读后完成下方的问题．
（Ⅰ）情景问题
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，且CD＝3，求AB的最小值．
（Ⅱ）合作探究
小明：我发现点A、B、C在以AB为直径的圆上……
小丽：取AB的中点O，连接OC，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知：OC＝AB，再由OC≥CD，就可以解决本题了．
（Ⅲ）计算猜想
小华：将情景问题中的∠ACB＝90°改成∠ACB＝60°，其余条件不变，如图2，我们也可以构造△ABC的外接圆，求得AB的最小值为 3 ．
小军：根据上面的学习经验，我们可以进一步猜想“在△ABC中，∠ACB＝α，CD⊥AB，垂足为点D，且CD＝m，则AB的最小值为 ．（用含a，m的代数式表示）”．
（Ⅳ）推理证明
证明（Ⅲ）中小军的猜想．
问题1：帮助小明完成（Ⅱ）中的说理过程；
问题2：完成（Ⅲ）中的两个填空；
问题3：证明（Ⅲ）中小军的猜想；
问题4：图3中矩形ABCD是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板EF，且EF∥AB，点E到墙AB的距离为3米，到地面BC的距离为4米．点O为室内光源，OM、ON为光线，∠MON＝50°，通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小．若背光工作区BM+BN的和最大时，该实验室“可利用比”最高，求此时BM+BN的值．
【分析】问题1，取AB的 中点，可得AB＝2OC且OC≥CD，从而求得；
问题2，作△ABC的外接圆⊙O，作OE⊥AB于E，可得AB，BF＝R，OC+OE≥CE，CE≥CD，进一步可得；
问题3，同问题2相同的方法过程，只需用字母表示即可；
问题4，作EG⊥AB于G，延长EF交BC于H，，由△EGM≌△FHL得∠HFL＝∠GEM，从而得∠NFL＝40°，利用问题3的结论NL最小＝，从而得出（BM+BN）最大＝7﹣．
【解答】问题1，如图1，
AB最小＝6，理由如下：
取AB的 中点，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝2OC，
∵OC≥CD，
∴当OC＝CD＝3时，
AB最小＝2×3＝6；
问题2，如图2，
解：作△ABC的外接圆⊙O，作OE⊥AB于E，作直径AF，连接BF，
∴∠ABF＝90°，
设⊙O的半径是R，
∵＝，
∴∠F＝∠ACB＝60°，
∴AB＝AF•sinF＝2R•＝，
BF＝AF•cosF＝AF＝R，
∵OE⊥AB，
∴AE＝EB，
∴OE＝＝，
∵OC+OE≥CE，CE≥CD，
∴R+R≥3，
∴R≥2，
∴AB＝≥3，
∴AB的最小值是3，
故答案是3；
问题3，如图2，
解：作△ABC的外接圆⊙O，作OE⊥AB于E，作直径AF，连接BF，
∴∠ABF＝90°，
设⊙O的半径是R，
∵＝，
∴∠F＝∠ACB＝α，
∴AB＝AF•sinF＝2R•sinα，
BF＝AF•cosF＝2R•conα，
∵OE⊥AB，
∴AE＝EB，
∴OE＝＝R•cosα，
∵OC+OE≥CE，CE≥CD，
∴R+R•cosα≥m，
∴R≥，
∴AB＝2R•sinα≥
∴AB的最小值是，
故答案是；
问题4，如图3，
作EG⊥AB于G，延长EF交BC于H，
则FH⊥BC，
设∠NFH＝∠EFO＝β，
∴∠MEF＝∠EFO+∠O＝50°+β，
∴∠MEG＝90°﹣（50°+β）＝40°﹣β，
在BH的延长线上截取HL＝GM，
∵EG＝FH＝3，
∠EGM＝∠FHL＝90°，
∴△EGM≌△FHL（SAS），
∴∠HFL＝∠GEM＝40°﹣β，
∴∠NFL＝∠HFL+∠NFH＝（40°﹣β）+β＝40°，
由问题3可知，
NL最小＝＝，
∵BM+BN＝（BG﹣GM）+（BH﹣NH）＝7﹣NL，
∴（BM+BN）最大＝7﹣．
2021年江苏省盐城市盐都区、大丰区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上）
1．（3分）在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的数是（ ）
A．|﹣3| B．﹣2 C．0 D．π
2．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x•x＝2x B．（2x）2＝2x2 C．（x3）3＝x6 D．x+x＝2x
4．（3分）在半径为6cm的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是（ ）
A．πcm B．2πcm C．3πcm D．6πcm
5．（3分）王刚设计了一个转盘游戏：随意转动转盘，使指针最后落在红色区域的概率为，如果他将转盘等分成12份，则红色区域应占的份数是（ ）
A．3份 B．4份 C．6份 D．9份
6．（3分）方程x2+x﹣3＝0的两根分别是x1、x2，则x1+x2等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
7．（3分）如图所示，由7个相同的小正方体组合成一个立体图形，从它上面看到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车在隧道内的长度y随着火车进入隧道的时间x的变化而变化的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）．
9．（3分）如图，已知l1∥l2，且∠1＝120°，则∠2＝ ．
10．（3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为 ．
11．（3分）若分式的值为0，则x＝ ．
12．（3分）把多项式4x2﹣y2分解因式的结果是 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则△ADE与四边形DBCE的面积之比为 ．
14．（3分）2022年将在北京﹣张家口举办冬季奥运会，北京将成为世界上第一个既举办夏季奥运会，又举办冬季奥运会的城市．某队要从两名选手中选取一名参加比赛，为此对这两名队员进行了五次测试，测试成绩如图所示．若选择A选手，则理由是 ．
15．（3分）如图，一次函数y1＝﹣x+4的图象与反比例函数y2＝（k为常数且k≠0）的图象交于A（3，m），B（n，3）两点．则在第一象限内，当y1＞y2时x的取值范围是 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝a，点E为AD的中点，点F为射线AB上一点，连接CF，BF＝3，若将△AEF沿直线EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则a的值为 ．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（6分）计算：﹣2cos60°+20210﹣（﹣）﹣1．
18．（6分）化简：2a（a+2b）﹣（a+2b）2．
19．（8分）先化简，再求值：÷（1+），其中x＝﹣．
20．（8分）已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB＝2，DE＝1，求四边形AODE的面积．
21．（8分）在一个不透明的袋子中有一个黑球和两个白球（除颜色外其他均相同）．
（1）小丽从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率是 ；
（2）小强第一次从袋子中摸出一个球，摸到黑球不放回，摸到白球放回；第二次又从袋子中摸出一个球，请用树状图（或列表法）求小强两次都摸到白球的概率．
22．（10分）体育李老师为了解九年级女生体质健康的变化情况，本学期从九年级全体90名女生中随机抽取15名女生进行体质测试，并调取该15名女生上学期的体质测试成绩进行对比，李老师对两次数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．两次测试成绩（百分制）的频数分布直方图如下（数据分组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b．上学期测试成绩在80≤x＜90的是：
80 81 83 84 84 88
c．两个学期测试成绩的平均数、中位数、众数如下：
学期
平均数
中位数
众数
上学期
82.9
n
84
本学期
83
86
86
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中n的值是 ；
（2）体育李老师计划根据本学期统计数据安排80分以下的同学参加体质加强训练项目，则九年级约有 名女生参加此项目；
（3）分析这15名女生从上学期到本学期体质健康变化的总体情况．（从两个方面进行分析）
23．（10分）在某次防灾抗灾过程中，为了保障某市的抗灾物资供应，现有一批救灾物资由A、B两种型号的货车运输至该市．已知2辆A型货车和3辆B型货车共可满载救灾物资34吨，4辆A型货车和2辆B型货车共可满载救灾物资36吨．
（1）求1辆A型货车和1辆B型货车分别能满载多少吨；
（2）已知这批救灾物资共73吨，计划同时调用A、B两种型号的货车共10辆，并要求一次性将全部物资运送到该市，试求一调用A、B两种型号的货车的方案．
24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．
（1）求证：＝；
（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径．
25．（10分）已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．
（1）该抛物线的对称轴为 ；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．
26．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，将线段AC绕点A逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段AD，连接BD，交AC于点P．
（1）当α＝90°时，
①依题意补全图形；
②求证：PD＝2PB；
（2）写出一个α的值，使得PD＝PB成立，并证明．
27．（14分）以下为一个合作学习小组在一次数学研讨中的过程记录，请阅读后完成下方的问题．
（Ⅰ）情景问题
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，且CD＝3，求AB的最小值．
（Ⅱ）合作探究
小明：我发现点A、B、C在以AB为直径的圆上……
小丽：取AB的中点O，连接OC，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知：OC＝AB，再由OC≥CD，就可以解决本题了．
（Ⅲ）计算猜想
小华：将情景问题中的∠ACB＝90°改成∠ACB＝60°，其余条件不变，如图2，我们也可以构造△ABC的外接圆，求得AB的最小值为 ．
小军：根据上面的学习经验，我们可以进一步猜想“在△ABC中，∠ACB＝α，CD⊥AB，垂足为点D，且CD＝m，则AB的最小值为 ．（用含a，m的代数式表示）”．
（Ⅳ）推理证明
证明（Ⅲ）中小军的猜想．
问题1：帮助小明完成（Ⅱ）中的说理过程；
问题2：完成（Ⅲ）中的两个填空；
问题3：证明（Ⅲ）中小军的猜想；
问题4：图3中矩形ABCD是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板EF，且EF∥AB，点E到墙AB的距离为3米，到地面BC的距离为4米．点O为室内光源，OM、ON为光线，∠MON＝50°，通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小．若背光工作区BM+BN的和最大时，该实验室“可利用比”最高，求此时BM+BN的值．
2021年江苏省盐城市盐都区、大丰区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上）
1．（3分）在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的数是（ ）
A．|﹣3| B．﹣2 C．0 D．π
【分析】直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案．
【解答】解：在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，
|﹣3|＝3，则﹣2＜0＜|﹣3|＜π，
故最小的数是：﹣2．
故选：B．
2．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x•x＝2x B．（2x）2＝2x2 C．（x3）3＝x6 D．x+x＝2x
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方及合并同类项法则即可得到答案．
【解答】解：x•x＝x2，故A不符合题意；
（2x）2＝4x2，故B不符合题意；
（x3）3＝x9，故C不符合题意；
x+x＝2x，故D符合题意；
故选：D．
4．（3分）在半径为6cm的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是（ ）
A．πcm B．2πcm C．3πcm D．6πcm
【分析】弧长公式为，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长．
【解答】解：弧长为：＝2π（cm）．
故选：B．
5．（3分）王刚设计了一个转盘游戏：随意转动转盘，使指针最后落在红色区域的概率为，如果他将转盘等分成12份，则红色区域应占的份数是（ ）
A．3份 B．4份 C．6份 D．9份
【分析】首先根据概率确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出红色区域应占的份数．
【解答】解：∵他将转盘等分成12份，指针最后落在红色区域的概率为，
设红色区域应占的份数是x，
∴＝，
解得x＝4，
故选：B．
6．（3分）方程x2+x﹣3＝0的两根分别是x1、x2，则x1+x2等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【分析】根据根与系数的关系求解．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣1．
故选：B．
7．（3分）如图所示，由7个相同的小正方体组合成一个立体图形，从它上面看到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面看：共分3列，从左往右分别有2，2，1个小正方形．
故选：A．
8．（3分）如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车在隧道内的长度y随着火车进入隧道的时间x的变化而变化的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，可以写出各个过程中，y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．
【解答】解：∵火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长），
∴火车从刚开始进入到完全进入隧道的过程中，y随x的增大而增大，
当火车完全进入隧道到火车头恰好刚要出隧道这一过程中，y随x的增大不发生变化，
当火车头恰好出隧道到火车尾恰好出隧道这一过程中，y随x的增大而减小，
故选：A．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）．
9．（3分）如图，已知l1∥l2，且∠1＝120°，则∠2＝ 60° ．
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠3的度数，再根据∠3+∠2＝180°，即可得到∠2的度数．
【解答】解：∵l1∥l2，∠1＝120°，
∴∠1＝∠3＝120°，
∵∠3+∠2＝180°，
∴∠2＝60°，
故答案为：60°．
10．（3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为 3.6×104 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【解答】解：将36000用科学记数法表示应为3.6×104，
故答案为：3.6×104．
11．（3分）若分式的值为0，则x＝ 1 ．
【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．
【解答】解：∵x﹣1＝0，∴x＝1，
当x＝1，时x+3≠0，
∴当x＝1时，分式的值是0．
故答案为1．
12．（3分）把多项式4x2﹣y2分解因式的结果是 （2x+y）（2x﹣y） ．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（2x+y）（2x﹣y），
故答案为：（2x+y）（2x﹣y）
13．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则△ADE与四边形DBCE的面积之比为 1：8 ．
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC
∴＝（）2＝，
∴△ADE与四边形DBCE的面积之比为＝1：8，
故答案为：1：8．
14．（3分）2022年将在北京﹣张家口举办冬季奥运会，北京将成为世界上第一个既举办夏季奥运会，又举办冬季奥运会的城市．某队要从两名选手中选取一名参加比赛，为此对这两名队员进行了五次测试，测试成绩如图所示．若选择A选手，则理由是 A选手的成绩比较稳定 ．
【分析】根据折线统计图中的数据，分别计算A选手、B选手五次成绩的平均数和方差，做出判断即可．
【解答】解：A选手成绩的平均数为：（7+8+8+9+8）＝8，
B选手成绩的平均数为：（10+8+11+6+5）＝8，
A选手成绩的方差为：[（7﹣8）2+（8﹣8）2×3+（9﹣8）2]＝0.4，
B选手成绩的方差为：[（10﹣8）2+（8﹣8）2+（11﹣8）2+（6﹣8）2+（5﹣8）2]＝5.2，
∵0.4＜5.2，
∴A选手的成绩比较稳定．
故答案为：A选手的成绩比较稳定．
15．（3分）如图，一次函数y1＝﹣x+4的图象与反比例函数y2＝（k为常数且k≠0）的图象交于A（3，m），B（n，3）两点．则在第一象限内，当y1＞y2时x的取值范围是 1＜x＜3 ．
【分析】把A（3，m），B（n，3）两点分别代入y1＝﹣x+4即可求得m、n的值，即可求得A、B的坐标，根据图象即可求得．
【解答】解：∵一次函数y1＝﹣x+4的图象与反比例函数y2＝（k为常数且k≠0）的图象交于A（3，m），B（n，3）两点，
∴m＝﹣3+4，3＝﹣n+4，
∴m＝1，n＝1，
∴A（3，1），B（1，3），
由图象可知，在第一象限内，当y1＞y2时x的取值范围是1＜x＜3，
故答案为：1＜x＜3．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝a，点E为AD的中点，点F为射线AB上一点，连接CF，BF＝3，若将△AEF沿直线EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则a的值为 4或1 ．
【分析】连接EC，利用矩形的性质，求出DE的长度，证明EC平分∠DCF，再证∠FEC＝90°，最后证△FEC∽△EDC，利用相似的性质即可求出AB的长度．
【解答】解：如图，连接EC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝4，DC＝AB＝a，
∵E为AD中点，
∴AE＝DE＝AD＝2，
∴CE2＝CD2+DE2＝a2+4，
∵BF＝3，BC＝4，
∴CF＝＝＝5，
由翻折知，△AEF≌△GEF，
∴AE＝GE，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，
∴GE＝DE，
∴EC平分∠DCG，
∴∠DCE＝∠GCE，
∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，
∴∠GEC＝∠DEC，
∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，
∴∠FEC＝∠D＝90°，
又∵∠DCE＝∠GCE，
∴△FEC∽△EDC，
∴，
∴CE2＝CF•CD，
∴a2+4＝5a，
解得：a＝4或1．
故答案为：4或1．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（6分）计算：﹣2cos60°+20210﹣（﹣）﹣1．
【分析】分别化简零指数幂，负整数指数幂，代入特殊角三角函数值，然后先算乘法，再算加减．
【解答】解：原式＝﹣2×+1﹣（﹣2）
＝﹣1+1+2
＝2．
18．（6分）化简：2a（a+2b）﹣（a+2b）2．
【分析】先提取公因式a+2b，再进行运算．
【解答】解：2a（a+2b）﹣（a+2b）2
＝（a+2b）[2a﹣（a+2b）]
＝（a+2b）（2a﹣a﹣2b）
＝（a+2b）（a﹣2b）
＝a2﹣4b2．
19．（8分）先化简，再求值：÷（1+），其中x＝﹣．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷＝•＝，
当x＝﹣时，原式＝3．
20．（8分）已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB＝2，DE＝1，求四边形AODE的面积．
【分析】（1）根据题意可判断出四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质可得出AC⊥BD，即∠AOD＝90°，继而可判断出四边形AODE是矩形；
（2）由菱形的性质和勾股定理求出OB，得出OD，由矩形的面积公式即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴四边形AODE是矩形；
（2）解：∵四边形AODE是矩形，
∴AO＝DE＝1，
∵AB＝2，
∴BO＝＝，
∴OD＝BO＝，
∴四边形AODE的面积＝AO•OD＝1×＝．
21．（8分）在一个不透明的袋子中有一个黑球和两个白球（除颜色外其他均相同）．
（1）小丽从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率是 ；
（2）小强第一次从袋子中摸出一个球，摸到黑球不放回，摸到白球放回；第二次又从袋子中摸出一个球，请用树状图（或列表法）求小强两次都摸到白球的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小丽从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
由树状图知，共有8种等可能结果，其中小强两次都摸到白球的有4种结果，
∴小强两次都摸到白球的概率为＝．
22．（10分）体育李老师为了解九年级女生体质健康的变化情况，本学期从九年级全体90名女生中随机抽取15名女生进行体质测试，并调取该15名女生上学期的体质测试成绩进行对比，李老师对两次数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．两次测试成绩（百分制）的频数分布直方图如下（数据分组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b．上学期测试成绩在80≤x＜90的是：
80 81 83 84 84 88
c．两个学期测试成绩的平均数、中位数、众数如下：
学期
平均数
中位数
众数
上学期
82.9
n
84
本学期
83
86
86
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中n的值是 83 ；
（2）体育李老师计划根据本学期统计数据安排80分以下的同学参加体质加强训练项目，则九年级约有 18 名女生参加此项目；
（3）分析这15名女生从上学期到本学期体质健康变化的总体情况．（从两个方面进行分析）
【分析】（1）先确定中位数落在第3小组，再由此中位数即可；
（2）根据题意列式计算即可；
（3）对照表中数据即可得到结论．
【解答】解：（1）表中n的值是83；
故答案为：83；
（2）90×＝18，
答：九年级约有18名女生参加此项目；
故答案为：18；
（3）这15名女生从上学期到本学期体质健康变化的总体情况为：体质测试成绩本学期比上学期明显变好，①平均分提高了，②高于80分占80%．
23．（10分）在某次防灾抗灾过程中，为了保障某市的抗灾物资供应，现有一批救灾物资由A、B两种型号的货车运输至该市．已知2辆A型货车和3辆B型货车共可满载救灾物资34吨，4辆A型货车和2辆B型货车共可满载救灾物资36吨．
（1）求1辆A型货车和1辆B型货车分别能满载多少吨；
（2）已知这批救灾物资共73吨，计划同时调用A、B两种型号的货车共10辆，并要求一次性将全部物资运送到该市，试求一调用A、B两种型号的货车的方案．
【分析】（1）设1辆A型货车能满载救灾物资x吨，1辆B型货车能满载救灾物资y吨，根据“2辆A型货车和3辆B型货车共可满载救灾物资34吨，4辆A型货车和2辆B型货车共可满载救灾物资36吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设调用A型货车m辆，则调用B型货车（10﹣m）辆，根据这10辆车的装载量不少于73吨，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各调车方案．
【解答】解：（1）设1辆A型货车能满载救灾物资x吨，1辆B型货车能满载救灾物资y吨，
依题意，得：，
解得：．
答：1辆A型货车能满载救灾物资5吨，1辆B型货车能满载救灾物资8吨．
（2）设调用A型货车m辆，则调用B型货车（10﹣m）辆，
依题意，得：5m+8（10﹣m）≥73，
解得：m≤2．
又∵m为正整数，
∴m可以取1，2，
∴共有2种调车方案，方案1：调用A型货车1辆，B型货车9辆；方案2：调用A型货车2辆，B型货车8辆．
24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．
（1）求证：＝；
（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，利用平行线的性质得到∠AFO＝∠ADB＝90°，然后根据垂径定理得到结论；
（2）连接AC，如图，利用＝得到∠CAD＝∠ABC，再证明△ACE∽△BCA，利用相似比计算出AC＝2，接着根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径；
【解答】（1）证明：∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AFO＝∠ADB＝90°，
∴OC⊥AD
∴＝．
（2）解：连接AC，如图，
∵＝，
∴∠CAD＝∠ABC，
∵∠ECA＝∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴，
∴AC2＝CE•CB，即AC2＝1×（1+3），
∴AC＝2，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝2，
∴⊙O的半径为．
25．（10分）已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．
（1）该抛物线的对称轴为 直线x＝﹣1 ；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．
【分析】（1）根据题意可得抛物线的对称轴；
（2）抛物线的顶点在x轴上，可得顶点坐标为（﹣1，0），进而可得a的值；
（3）根据点N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N′（﹣4，y2），进而可得m的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．
∴对称轴为直线x＝﹣1，
故答案为：直线x＝﹣1；
（2）∵抛物线的顶点在x轴上，
∴顶点坐标为（﹣1，0），
解得a＝﹣1或a＝，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x﹣1或y＝x2+x+；
（3）∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴点N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N′（﹣4，y2），
①当a＞0时，若y1＞y2，则m＜﹣4或m＞2；
②当a＜0时，若y1＞y2，则﹣4＜m＜2．
26．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，将线段AC绕点A逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段AD，连接BD，交AC于点P．
（1）当α＝90°时，
①依题意补全图形；
②求证：PD＝2PB；
（2）写出一个α的值，使得PD＝PB成立，并证明．
【分析】（1）当α＝90°时，①依题意即可补全图形；
②根据30度角所对直角边等于斜边一半即可证明PD＝2PB；
（2）当α的值为60或120度时，根据等腰三角形的性质即可证明PD＝PB成立．
【解答】解：（1）当α＝90°时，
①如图即为补全的图形；
②证明：∵∠BAC＝30°，AB＝AC，
根据题意可知：AC＝AD，
∴AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠CAD＝90°，
∴∠DAB＝120°，
∴∠ABD＝∠D＝∠BAC＝30°，
∴AP＝BP，
在Rt△APD中，∠ADB＝30°，
∴PD＝2AP，
∴PD＝2PB；
（2）当α＝60（或120°）时，PD＝PB成立，
情况1，如图所示：
当α＝60°时，过点D作DF⊥AC于点F，过点B作BE⊥AC于点E，
∴DF∥BE，
∴△DFP∽△BEP，
∴＝，
在Rt△ABE中，∠BAC＝30°，
∴AC＝AB＝2BE，
在Rt△ADF中，∠CAD＝60°，
∴AD＝DF，
∵AD＝AC＝AB，
∴2BE＝DE，
∴BE＝DF，
∴PD＝PB．
情况2，如图所示：
当α＝120°时，过点D作DF⊥AC于点F，过点B作BE⊥AC于点E，
∴DF∥BE，
∴△DFP∽△BEP，
∴＝，
在Rt△ABE中，∠BAC＝30°，
∴AC＝AB＝2BE，
在Rt△ADF中，∠FAD＝60°，
∴AD＝DF，
∵AD＝AC＝AB，
∴2BE＝DE，
∴BE＝DF，
∴PD＝PB．
27．（14分）以下为一个合作学习小组在一次数学研讨中的过程记录，请阅读后完成下方的问题．
（Ⅰ）情景问题
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，且CD＝3，求AB的最小值．
（Ⅱ）合作探究
小明：我发现点A、B、C在以AB为直径的圆上……
小丽：取AB的中点O，连接OC，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知：OC＝AB，再由OC≥CD，就可以解决本题了．
（Ⅲ）计算猜想
小华：将情景问题中的∠ACB＝90°改成∠ACB＝60°，其余条件不变，如图2，我们也可以构造△ABC的外接圆，求得AB的最小值为 3 ．
小军：根据上面的学习经验，我们可以进一步猜想“在△ABC中，∠ACB＝α，CD⊥AB，垂足为点D，且CD＝m，则AB的最小值为 ．（用含a，m的代数式表示）”．
（Ⅳ）推理证明
证明（Ⅲ）中小军的猜想．
问题1：帮助小明完成（Ⅱ）中的说理过程；
问题2：完成（Ⅲ）中的两个填空；
问题3：证明（Ⅲ）中小军的猜想；
问题4：图3中矩形ABCD是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板EF，且EF∥AB，点E到墙AB的距离为3米，到地面BC的距离为4米．点O为室内光源，OM、ON为光线，∠MON＝50°，通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小．若背光工作区BM+BN的和最大时，该实验室“可利用比”最高，求此时BM+BN的值．
【分析】问题1，取AB的 中点，可得AB＝2OC且OC≥CD，从而求得；
问题2，作△ABC的外接圆⊙O，作OE⊥AB于E，可得AB，BF＝R，OC+OE≥CE，CE≥CD，进一步可得；
问题3，同问题2相同的方法过程，只需用字母表示即可；
问题4，作EG⊥AB于G，延长EF交BC于H，，由△EGM≌△FHL得∠HFL＝∠GEM，从而得∠NFL＝40°，利用问题3的结论NL最小＝，从而得出（BM+BN）最大＝7﹣．
【解答】问题1，如图1，
AB最小＝6，理由如下：
取AB的 中点，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝2OC，
∵OC≥CD，
∴当OC＝CD＝3时，
AB最小＝2×3＝6；
问题2，如图2，
解：作△ABC的外接圆⊙O，作OE⊥AB于E，作直径AF，连接BF，
∴∠ABF＝90°，
设⊙O的半径是R，
∵＝，
∴∠F＝∠ACB＝60°，
∴AB＝AF•sinF＝2R•＝，
BF＝AF•cosF＝AF＝R，
∵OE⊥AB，
∴AE＝EB，
∴OE＝＝，
∵OC+OE≥CE，CE≥CD，
∴R+R≥3，
∴R≥2，
∴AB＝≥3，
∴AB的最小值是3，
故答案是3；
问题3，如图2，
解：作△ABC的外接圆⊙O，作OE⊥AB于E，作直径AF，连接BF，
∴∠ABF＝90°，
设⊙O的半径是R，
∵＝，
∴∠F＝∠ACB＝α，
∴AB＝AF•sinF＝2R•sinα，
BF＝AF•cosF＝2R•conα，
∵OE⊥AB，
∴AE＝EB，
∴OE＝＝R•cosα，
∵OC+OE≥CE，CE≥CD，
∴R+R•cosα≥m，
∴R≥，
∴AB＝2R•sinα≥
∴AB的最小值是，
故答案是；
问题4，如图3，
作EG⊥AB于G，延长EF交BC于H，
则FH⊥BC，
设∠NFH＝∠EFO＝β，
∴∠MEF＝∠EFO+∠O＝50°+β，
∴∠MEG＝90°﹣（50°+β）＝40°﹣β，
在BH的延长线上截取HL＝GM，
∵EG＝FH＝3，
∠EGM＝∠FHL＝90°，
∴△EGM≌△FHL（SAS），
∴∠HFL＝∠GEM＝40°﹣β，
∴∠NFL＝∠HFL+∠NFH＝（40°﹣β）+β＝40°，
由问题3可知，
NL最小＝＝，
∵BM+BN＝（BG﹣GM）+（BH﹣NH）＝7﹣NL，
∴（BM+BN）最大＝7﹣．
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