湖南省“五市十校教研教改共同体”2021届高三下学期数学5月大联考试

这是一份湖南省“五市十校教研教改共同体”2021届高三下学期数学5月大联考试，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（共8题；共40分）
1.设集合 A={0,2,4}，B={x|x2-mx+n=0} ，若 A∪B={0,1,2,3,4} ，则 m+n 的值是（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
2.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8.在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )
A. 0.72 B. 0.8 C. 0.86 D. 0.9
3.设a，b，m为实数，给出下列三个条件：① a3>b3 ：② am2>bm2 ；③ 1a<1b ，其中使 a>b 成立的充分不必要条件是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ①②③
4.算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）代表1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位、十位和百位这三组中随机选择往下拨1粒上珠，且往上拨2粒下珠，则算盘表示的数的个数为（ ）
A. 9 B. 18 C. 27 D. 36
5.F1、F2 分别是双曲线 x22-y24=1 的左、右焦点，过 F1 的直线分别交该双曲线的左、右两支于A、B两点，若 AF2⊥BF2，|AF2|=|BF2| ，则 |AF2|= （ ）
A. 2 B. 22 C. 4 D. 42
6.已知 |a|=1，|b|=2,m=a+tb ，设函数 f(t)=|m| ，当 t=34 时， f(t) 取得最小值，则 a 在 b 方向上的投影为（ ）
A. 3 B. -3 C. 32 D. -32
7.已知 (1+x)7=a0+a1(x-1)1+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7 ，则 a0+a3= （ ）
A. 688 B. 161 C. 129 D. 22
8.已知 a=x13,b=(13)x,c=lg13x ，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 a=b 时， c二、多选题（共4题；共20分）
9.关于函数 f(x)=1x+1x+1 的结论正确的是（ ）
A. f(x) 在定义域内单调递减
B. f(x) 的值域为R
C. f(x) 在定义城内有两个零点
D. y=f(x-12) 是奇函数
10.设复数 z1，z2 满足 z1+z2=0 ，则（ ）
A. z1=z2
B. |z1|=|z2|
C. 若 z1(2-i)=3+i ，则 z1z2=-2i
D. 若 |z1-(1+3i)|=1 ，则 1≤|z2|≤3
11.已知函数 f(x)=ex+acsx ， f'(x) 是 f(x) 的导函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 a=-1 时， f(x) 在 (0,+∞) 单调递增
B. 当 a=-1 时， f(x) 在 (0,f(0)) 处的切线为x轴
C. 当 a=1 时， f'(x) 在 [0,+∞) 上无零点
D. 当 a=1 时， f(x) 在 (-3π2,-π) 存在唯一极小值点
12.在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，四边形 ABCD 为菱形， AB=2 ， AA1=1 ， ∠BAD=π3 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线 AC1⊥ 平面 A1BD
B. 直线 DB1 与平面 C1CDD1 所成角的正切值为 62
C. 过 A1D 作与 AC1 平行的平面 A1DG ，则平面 A1DG 截直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的截面面积为 102
D. 点 E 为棱 B1C1 上任意一点，直线 AA1 与直线 BE 所成角的正切值的取值范围是 [0,2]
三、填空题（共4题；共20分）
13.若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为________．
14.已知 sin(π8-α)=13 ，则 sin2α+cs2α= ________．
15.已知函数 f(x)=lnx ，数列 {an} 是公差为2的等差数列，且 an=f(xn) ，若 x1+x2+x3+…+x10=e ，则 ln(x11+x12+x13+…+x20)= ________．
16.函数 f(x) 的定义域为D，对D内的任意 x1、x2 ，当 x1四、解答题（共6题；共70分）
17.已知数列 {an} 的前n项和 Sn=n2+n ，数列 {bn} 满足 b1=1，bn+1-bn=2⋅3n-1 ．
（1）求数列 {an} 与数列 {bn} 的通项公式；
（2）记 cn=(-1)n(an+1)n(n+1)+lg3(bn+1-bn) ，求数列 {cn} 的前n项和 Tn ．
18.△ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，其面积为 S ，且 b(asinA+csinC-bsinB)=3S ．
（1）求 csB 的值；
（2）若 a 、 b 、 c 成等比数列，且 △ABC 的面积是 72 ，求 △ABC 的周长．
19.如图，在多面体 ABCDEF 中， ABCD 是正方形， AB=2，DE=BF，BF//DE ，M为棱 AE 的中点．
（1）求证：平面 BMD// 平面 EFC ；
（2）若 ED⊥ 平面 ABCD ， BM⊥CF ，求二面角 E-AF-B 的余弦值．
20.某地一公司的市场研究人员为了解公司生产的某产品的使用情况，从两个方面进行了调查统计，一是产品的质量参数x，二是产品的使用时间t（单位：千小时），经统计分析，质量参数x服从正态分布N(0.8,0.0152)，使用时间t与质量参数x之间有如下关系：
附：参考数据：x=0.8,t=3.1，i=17xi2=4.55，i=17ti2=67.88，0.115=0.339．若ξ∼N(μ,σ2)，则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.6828,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9544
参考公式：相关系数r=i=1n(xi-x)(ti-t)i=1n(xi-x)2i=1n(ti-t)2；
回归直线方程为t=bx+a，其中b=i=1n(xi-x)(ti-t)i=1n(xi-x)2,a=y-bx．
（1）该地监管部门对该公司的该产品进行检查，要求质量参数在0.785以上的产品为合格产品．现抽取20件该产品进行校验，求合格产品的件数的数学期望；
（2）该公司研究人员根据最小二乘法求得线性回归方程为t=2.92x+0.76，请用相关系数说明使用时间t与质量参数x之间的关系是否可用线性回归模型拟合．
21.已知椭圆 x216+y29=1 ，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，直线 l:y=kx+b(k>0) 与椭圆交于M、N两点，且M点位于第一象限．
（1）若 b=0 ，证明：直线 AM 和 AN 的斜率之积为定值；
（2）若 k=34 ，求四边形 AMBN 的面积的最大值．
22.已知函数 f(x)=(x+1)lnx ；
（1）求曲线 y=f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程；
（2）求证： ln21+ln76+…+ln(n2-2)n2-3+2n>32(n≥2,n∈N*) ．
答案解析
一、单选题（共8题；共40分）
1.设集合 A={0,2,4}，B={x|x2-mx+n=0} ，若 A∪B={0,1,2,3,4} ，则 m+n 的值是（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】 D

【解析】【解答】因为集合 A={0,2,4}，B={x|x2-mx+n=0} ， A∪B={0,1,2,3,4} ，则 B={1,3} ，
所以， 1 、 3 是方程 x2-mx+n=0 的两根，所以， {1+3=m1×3=n ，因此， m+n=4+3=7 .
故答案为：D.

2.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8.在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )
A. 0.72 B. 0.8 C. 0.86 D. 0.9
【答案】 A

【解析】【解答】设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，并成活而成长为幼苗)，
则P(A)＝0.9.又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，
所以P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.
故答案为：A

3.设a，b，m为实数，给出下列三个条件：① a3>b3 ：② am2>bm2 ；③ 1a<1b ，其中使 a>b 成立的充分不必要条件是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ①②③
【答案】 B

【解析】【解答】解：对于①，当 a3>b3 时， a>b 成立，而当 a>b 时， a3>b3 成立，所以 a3>b3 是 a>b 的充要条件，所以①不合题意；
对于②，当 am2>bm2 时，由不等式的性质可知 a>b 成立，而当 a>b ， m=0 时， am2>bm2 不成立，所以 am2>bm2 是 a>b 的充分不必要条件，所以②符合题意；
对于③，当 a=-1,b=1 时， 1a<1b 成立，而 a>b 不成立，当 a=1,b=-1 时， a>b 成立，而 1a<1b 不成立，所以 1a<1b 是 a>b 的既不充分也不必要条件，所以③不合题意，
故答案为：B

4.算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）代表1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位、十位和百位这三组中随机选择往下拨1粒上珠，且往上拨2粒下珠，则算盘表示的数的个数为（ ）
A. 9 B. 18 C. 27 D. 36
【答案】 B

【解析】【解答】根据珠算的运算法则及题干描述的操作，从个、十、百上珠中选1粒往下拨即 C31 ，下珠往上拨分两种情况，全部来自个、十、百即 C31 或来自个、十、百中的两个即 C32 ，
则总数为 C31(C31+C32)=18 .
故答案为：B.

5.F1、F2 分别是双曲线 x22-y24=1 的左、右焦点，过 F1 的直线分别交该双曲线的左、右两支于A、B两点，若 AF2⊥BF2，|AF2|=|BF2| ，则 |AF2|= （ ）
A. 2 B. 22 C. 4 D. 42
【答案】 C

【解析】【解答】解：由双曲线的定义可得， |AF2|-|AF1|=2a,|BF1|-|BF2|=2a ，
因为 |AF2|=|BF2| ，所以 |BF2|-|AF1|=2a ，
所以 |BF1|-|AF1|=4a ，即 |AB|=4a ，
因为 AF2⊥BF2 ，
所以 |AF2|2+|BF2|2=|AB|2 ，所以 2|AF2|2=|AB|2=16a2 ，
由 x22-y24=1 ，得 a2=2 ，
所以 2|AF2|2=|AB|2=16a2=32 ，得 |AF2|=4 ，
故答案为：C

6.已知 |a|=1，|b|=2,m=a+tb ，设函数 f(t)=|m| ，当 t=34 时， f(t) 取得最小值，则 a 在 b 方向上的投影为（ ）
A. 3 B. -3 C. 32 D. -32
【答案】 D

【解析】【解答】略
7.已知 (1+x)7=a0+a1(x-1)1+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7 ，则 a0+a3= （ ）
A. 688 B. 161 C. 129 D. 22
【答案】 A

【解析】【解答】 ∵(1+x)7=[2+(x-1)]7 ，展开的通项公式为： C7r⋅27-r(x-1)r ，
且 (1+x)7=a0+a1(x-1)1+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7 ，
故 a0=C70⋅27=128,a3=C73⋅24=560 ，
所以 a0+a3=128+560=688
故答案为：A．

8.已知 a=x13,b=(13)x,c=lg13x ，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 a=b 时， c【答案】 C

【解析】【解答】分别作出 y=x13,y=(13)x,y=lg13x 的图象，
A，当 a=b 时， x13=(13)x ，交点为 P ，此时 c=lg13x 在上方， c>a ，错误；
B，当 b=c 时， (13)x=lg13x ，交点为 R ，此时 a=x13 在上方， a>c ，错误；
C，当 a=c 时， x13=lg13x ，交点为 Q ，此时 b=(13)x 在下方， bD，当 c=0 时，为 S 点，此时 a=x13 在 b=(13)x 上方，错误；
故答案为：C

二、多选题（共4题；共20分）
9.关于函数 f(x)=1x+1x+1 的结论正确的是（ ）
A. f(x) 在定义域内单调递减
B. f(x) 的值域为R
C. f(x) 在定义城内有两个零点
D. y=f(x-12) 是奇函数
【答案】 B,D

【解析】【解答】 f(x)=1x+1x+1 的定义域为 (-∞,-1)∪(-1,0)∪(0,+∞) ，
而 1x 和 1x+1 在各段定义域内均为减函数，
故 f(x) 在各段上为减函数，但不能说在定义域内单调递减，A不符合题意；
当 x∈(-1,0) ， x→-1 时，有 f(x)=1x+1x+1→+∞ ，
当 x→0 时，有 f(x)=1x+1x+1→-∞ ，
所以 f(x) 的值域为R，B符合题意；
令 f(x)=1x+1x+1=2x+1x2+x=0 ，可得 x=-12 ，
所以 f(x) 在定义城内有一个零点，C不符合题意；
y=f(x-12)=1x-12+1x+12=2xx2-14=8x4x2-1 ，
令 g(x)=8x4x2-1 ，易知 x≠±12 ，此时定义域关于原点对称，
且 g(-x)=-8x4x2-1=-g(x) ，故 g(x) 为奇函数，
所以 y=f(x-12) 是奇函数，D符合题意，
故答案为：BD.

10.设复数 z1，z2 满足 z1+z2=0 ，则（ ）
A. z1=z2
B. |z1|=|z2|
C. 若 z1(2-i)=3+i ，则 z1z2=-2i
D. 若 |z1-(1+3i)|=1 ，则 1≤|z2|≤3
【答案】 B,C,D

【解析】【解答】设复数 z1=a+bi ，由 z1+z2=0 ，所以 z2=-a-bi ，
因此： z1=a-bi≠z2 ，A选项错误；
因为 |z1|=a2+b2,|z2|=(-a)2+(-b)2=a2+b2 ，所以B选项正确；
因为 z1(2-i)=3+i ，所以 z1=3+i2-i=1+i ，则 z2=-1-i
所以 z1z2=(1+i)(-1-i)=-2i ，所以C选项正确；
因为 |z1-(1+3i)|=1 ，
根据复数的几何意义可知，复数 z1=a+bi 所表示的点 (a,b) 的轨迹是以 (1,3) 为圆心，1为半径的圆，
则由对称性可知，复数 z2=-a-bi 所表示的点 (-a,-b) 的轨迹是以 (-1,-3) 为圆心，1为半径的圆，
由 |z2| 的几何意义表示点 (-a,-b) 与 (0,0) 间的距离，由图可知： 1≤|z2|≤3 ，D选项正确；
故答案为：BCD.

11.已知函数 f(x)=ex+acsx ， f'(x) 是 f(x) 的导函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 a=-1 时， f(x) 在 (0,+∞) 单调递增
B. 当 a=-1 时， f(x) 在 (0,f(0)) 处的切线为x轴
C. 当 a=1 时， f'(x) 在 [0,+∞) 上无零点
D. 当 a=1 时， f(x) 在 (-3π2,-π) 存在唯一极小值点
【答案】 A,C,D

【解析】【解答】当 a=-1 时， f(x)=ex-csx ，则 f'(x)=ex+sinx ，
因为当 x∈(0,+∞) 时， ex>1,-1≤sinx≤1 ，
所以 f'(x)=ex+sinx>0 恒成立，所以函数 f(x) 在 (0,+∞) 单调递增，A选项正确；
f'(0)=e0+sin0=1 ， f(0)=0 ，
故 f(x) 在 (0,f(0)) 处的切线方程为： y=x ，B选项错误；
当 a=1 时， f(x)=ex+csx ，所以 f'(x)=ex-sinx ，
令 φ(x)=ex-sinx ，则 φ'(x)=ex-csx>0 ，
所以 φ(x)=ex-sinx 在 [0,+∞) 上单调递增，
即 f'(x)=ex-sinx 在 [0,+∞) 上单调递增，
所以 f'(x)≥f'(0)=1 ，所以 f'(x) 在 [0,+∞) 上无零点，C选项正确；
当 x∈(-3π2,-π) 时， f'(x)=ex-sinx 在 (-3π2,-π) 单调递增，
又 f'(-3π2)=e-3π2-sin(-3π2)=e-3π2-1<0 ，
而 f'(-π)=e-π-sin(-π)=e-π>0 ，
由零点存在定理得，存在唯一 x0∈(-3π2,-π) ，使得 f'(x0)=0 ，
当 x∈(-3π2,x0) 时， f'(x0)<0 ，所以函数 f(x) 在 (-3π2,x0) 上单调递减，
当 x∈(x0，-π) 时， f'(x0)>0 ，所以函数 f(x) 在 (x0，-π) 上单调递增，
从而 f(x) 在 (-3π2,-π) 存在唯一极小值点 x0 ，D选项正确；
故答案为：ACD.

12.在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，四边形 ABCD 为菱形， AB=2 ， AA1=1 ， ∠BAD=π3 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线 AC1⊥ 平面 A1BD
B. 直线 DB1 与平面 C1CDD1 所成角的正切值为 62
C. 过 A1D 作与 AC1 平行的平面 A1DG ，则平面 A1DG 截直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的截面面积为 102
D. 点 E 为棱 B1C1 上任意一点，直线 AA1 与直线 BE 所成角的正切值的取值范围是 [0,2]
【答案】 B,C,D

【解析】【解答】连接 AC,BD 交于点 O ，连接 A1C1,B1D1 交于点 O1 ，
∵ 四边形 ABCD 为菱形， ∴AC⊥BD ，
又四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 为直四棱柱， ∴OO1⊥ 平面 ABCD ，
则以 O 为坐标原点， OA,OB,OO1 的正方向为 x,y,z 轴建立如图所示空间直角坐标系，
则 A(3,0,0) ， B(0,1,0) ， C(-3,0,0) ， D(0,-1,0) ， A1(3,0,1) ， B1(0,1,1) ， C1(-3,0,1) ， D1(0,-1,1) ；
对于A， ∵AC1=(-23,0,1) ， A1B=(-3,1,-1) ， ∴AC1⋅A1B=6-1=5≠0 ，
即 AC1 不垂直于 A1B ， ∴AC1 与平面 A1BD 不垂直，A不符合题意；
对于B， DB1=(0,2,1) ， CC1=(0,0,1) ， CD=(3,-1,0) ，
设平面 C1CDD1 的法向量 n=(x,y,z) ，
则 {n⋅CC1=z=0n⋅CD=3x-y=0 ，令 x=1 ，则 y=3 ， z=0 ， ∴n=(1,3,0) ，
设直线 DB1 与平面 C1CDD1 所成角为 θ ，
则 sinθ=|DB1⋅n||DB1|⋅|n|=2325=155 ， ∴tanθ=62 ，B符合题意；
对于C，连接 A1D 交 AD1 于 M ，取 C1D1 中点 H ，连接 MH ，
由直四棱柱特点知：四边形 ADD1A1 为矩形， ∴M 为 AD1 中点， ∴MH//AC1 ，
又 MH⊂ 平面 A1DH ， AC1⊄ 平面 A1DH ， ∴AC1// 平面 A1DH ，
可知过 A1D 作与 AC1 平行的平面 A1DG ，平面 A1DG 截直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 所得的截面为 △A1DH ；
在 △A1DH 中，由余弦定理得： A1H2=4+1-4cs2π3=7 ， ∴A1H=7 ；
又 A1D=4+1=5 ， DH=1+1=2 ， ∴A1D2+DH2=A1H2 ， ∴A1D⊥DH ，
∴S△A1DH=12A1D⋅DH=102 ，即所求截面面积为 102 ，C符合题意；
对于D，设 E(x,y,1) ，且 B1E=λB1C1(0≤λ≤1) ，
又 B1E=(x,y-1,0) ， B1C1=(-3,-1,0) ， ∴x=-3λ ， y=1-λ ， ∴E(-3λ,1-λ,1) ，
则 BE=(-3λ,-λ,1) ，又 AA1=(0,0,1) ，
设直线 AA1 与 BE 所成角为 θ ，
∴csθ=|cs|=|BE⋅AA1||BE|⋅|AA1|=14λ2+1 ， ∴tanθ=2λ ，
又 0≤λ≤1 ， ∴tanθ∈[0,2] ，D符合题意.
故答案为：BCD.

三、填空题（共4题；共20分）
13.若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为________．
【答案】 833π

【解析】【解答】
圆锥的侧面展开恰为一个半径为4的半圆，所以圆锥的底面周长为： 4π ，底面半径为：2，圆锥的高为： 23 ；圆锥的体积为： 13π⋅22×23=833π. 故答案为 833π.

14.已知 sin(π8-α)=13 ，则 sin2α+cs2α= ________．
【答案】 729

【解析】【解答】因为 sin(π8-α)=13 ，
所以 cs(2(π8-α))=1-2sin2(π8-α)=1-29=79 ，
又 cs(2(π8-α))=cs(π4-2α)=22cs2α+22sin2α
所以 22(cs2α+sin2α)=79 ，
则 sin2α+cs2α=729 .
故答案为： 729 .

15.已知函数 f(x)=lnx ，数列 {an} 是公差为2的等差数列，且 an=f(xn) ，若 x1+x2+x3+…+x10=e ，则 ln(x11+x12+x13+…+x20)= ________．
【答案】 21

【解析】【解答】 an=f(xn)=lnxn ，
所以 xn=ean ，
xn+1xn=ean+1-an=e2
所以 {xn} 是以 q=e2 的等比数列，
x11+x12+x13+…+x20=(x1+x2+x3+…+x10)×q10=e×e20=e21
ln(x11+x12+x13+…+x20)=lne21=21 ，
故答案为：21.

16.函数 f(x) 的定义域为D，对D内的任意 x1、x2 ，当 x1【答案】 2

【解析】【解答】根据题意，由对任意 x∈[0,1] ， f(1-x)+f(x)=2 ，
则 f(x) 的函数图像在 x∈[0,1] 关于 (12,1) 对称，
令 x=12 可得 f(12)=1 ，
又因为对任意 x∈[0,14],f(x)≥4x ，
所以 f(14)≥1 ，又因为 f(12)=1 且 f(x) 是定义域为 [0,1] 的非减函数，
所以当 x∈[14,12] 时，必有 f(x)=1 ，
又由于 f(x) 的函数图像关于 (12,1) 对称，
所以 x∈[12,34] 时，也有 f(x)=1 ，
f(47)+f(58)=1+1=2 ，
故答案为：2.

四、解答题（共6题；共70分）
17.已知数列 {an} 的前n项和 Sn=n2+n ，数列 {bn} 满足 b1=1，bn+1-bn=2⋅3n-1 ．
（1）求数列 {an} 与数列 {bn} 的通项公式；
（2）记 cn=(-1)n(an+1)n(n+1)+lg3(bn+1-bn) ，求数列 {cn} 的前n项和 Tn ．
【答案】 （1）解：当 n≥2 ， an=Sn-Sn-1=n2+n-(n+1)2-(n+1)=2n ，
又 a1=2 也满足上式， ∴an=2n(n∈N*) ．
∵bn+1-bn=2⋅3n-1 ， b1=1 ；
∴ b2-b1=2⋅30 ， b3-b2=2⋅31 ， b4-b3=2⋅32 ，……， bn-bn-1=2⋅3n-2 ，
以上各式相加得 bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+⋯+(bn-bn-1) =1+2×30+2×31+⋅⋅⋅+2×3n-2=3n-1 ，当 n=1 时也满足该式， ∴bn=3n-1 ．
（2）解：由（1）可得： cn=(-1)n(an+1)n(n+1)+lg3(bn+1-bn) =(-1)n(2n+1)n(n+1)+lg3(2⋅3n-1)
=(-1)n(1n+1n+1)+(n-1)+lg32 ，
∴Tn=-(1+12)+(12+13)+⋯+(-1)n(1n+1n+1)+n(n-1)2+nlg32
=-1+(-1)nn+1+n2-n2+nlg32 .

18.△ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，其面积为 S ，且 b(asinA+csinC-bsinB)=3S ．
（1）求 csB 的值；
（2）若 a 、 b 、 c 成等比数列，且 △ABC 的面积是 72 ，求 △ABC 的周长．
【答案】 （1）解： ∵b(asinA+csinC-bsinB)=3×12absinC ，
由正弦定理得： b(a2+c2-b2)=32abc ，即 a2+c2-b2=32ac ，
∴csB=a2+c2-b22ac=32ac2ac=34 ；
（2）解：由（1）知 sinB=1-cs2B=74 ，
又 ∵a 、 b 、 c 成等比数列， ∴b2=ac ， S=12acsinB=72 ，
即 12ac×74=72 ， ∴ac=4 ，
又 ∵b2=a2+c2-2accsB ，即 4=a2+c2-2×4×34 ，
即 a2+c2=10 ，则 (a+c)2=a2+c2+2ac=10+8=18 ， ∴a+c=32 ，
又 ∵b2=ac=4 ， ∴b=2 ，因此 △ABC 的周长为 32+2 ．

19.如图，在多面体 ABCDEF 中， ABCD 是正方形， AB=2，DE=BF，BF//DE ，M为棱 AE 的中点．
（1）求证：平面 BMD// 平面 EFC ；
（2）若 ED⊥ 平面 ABCD ， BM⊥CF ，求二面角 E-AF-B 的余弦值．
【答案】 （1）证明：如图，连接 AC ，交 BD 于点N，
∴N为 AC 的中点，
连接 MN ，由M为棱 AE 的中点，则 MN//EC ．
∵ MN⊄ 面 EFC ， EC⊂ 面 EFC ，∴ MN// 平面 EFC ．
∵ BF//DE，BF=DE ，∴四边形 BDEF 为平行四边形，
∴ BD//EF ．又 BD⊄ 平面 EFC ， EF⊂ 平面 EFC ，
∴ BD// 平面 EFC ，又 MN∩BD=N ，
∴平面 BMD// 平面 EFC ．
（2）解：∵ ED⊥ 平面 ABCD，ABCD 是正方形
∴分别以 DA、DC、DE 为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
设 ED=2a ，
则 B(2,2,0),M(1,0,a),C(0,2,0),F(2,2,2a),E(0,0,2a)A(2,0,0)
∴BM=(-1,-2,a),CF=(2,0,2a)
∵BM⊥CF∴-1×2+a×2a=0∴a=1 ∴EA=(2,0,-2),AF=(0,2,2)
设平面 EAF 的法向量为 m=(x,y,z) ，则 {2x-2z=02y+2z=0∴m=(1,-1,1)
∵ BF//DE,DE⊥ 平面 ABCD,∴BF⊥ 平面 ABCD∴BF⊥DA ，又 DA⊥AB
∴ DA⊥ 平面 AFB ，∴平面 AFB 的法向量为 DA=(2,0,0) ．
∵cs〈m,DA〉=21+1+1×2=33 ，
由图可知二面角 E-AF-B 为钝角，
∴二面角的 E-AF-B 余弦值为 -33 ．

20.某地一公司的市场研究人员为了解公司生产的某产品的使用情况，从两个方面进行了调查统计，一是产品的质量参数x，二是产品的使用时间t（单位：千小时），经统计分析，质量参数x服从正态分布 N(0.8,0.0152) ，使用时间t与质量参数x之间有如下关系：
附：参考数据： x=0.8,t=3.1，i=17xi2=4.55，i=17ti2=67.88，0.115=0.339 ．若 ξ∼N(μ,σ2) ，则 P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.6828,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9544
参考公式：相关系数 r=i=1n(xi-x)(ti-t)i=1n(xi-x)2i=1n(ti-t)2 ；
回归直线方程为 t=bx+a ，其中 b=i=1n(xi-x)(ti-t)i=1n(xi-x)2,a=y-bx ．
（1）该地监管部门对该公司的该产品进行检查，要求质量参数在0.785以上的产品为合格产品．现抽取20件该产品进行校验，求合格产品的件数的数学期望；
（2）该公司研究人员根据最小二乘法求得线性回归方程为 t=2.92x+0.76 ，请用相关系数说明使用时间t与质量参数x之间的关系是否可用线性回归模型拟合．
【答案】 （1）解：一件产品的质量参数在0.785以上的概率 p=1-1-0.68282=0.8414 ，
设抽取20件该产品中为合格产品的件数为 ξ ，则 ξ~B(20 , 0.8414) ，
则 E(ξ)=20×0.8414=16.828 ．
（2）解： i=1n(xi-x)2=i=1nxi2-2xi=1nxi+nx2=i=1nxi2-2x⋅nx+nx2=i=1nxi2-nx2 ，
同理， i=1n(ti-t)2==i=1nti2-nt2 ，
∵b=i=1n(xi-x)(ti-t)i=1n(xi-x)2 ， ∴i=1n(xi-x)(ti-t)=bi=1n(xi-x)2 ，
∴r=i=1n(xi-x)(ti-t)i=1n(xi-x)2(ti-t)2=bi=1n(xi-x)2i=1n(xi-x)2(ti-t)2=bi=1n(xi-x)2i=1n(ti-t)2
=bi=1nxi2-nx2i=1nti2-nt2=2.92×4.55-7××3.12=2.92×
=2.92×0.114=2.92×0.337≈0.98
所以使用时间 t 与质量参数 x 之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合.

21.已知椭圆 x216+y29=1 ，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，直线 l:y=kx+b(k>0) 与椭圆交于M、N两点，且M点位于第一象限．
（1）若 b=0 ，证明：直线 AM 和 AN 的斜率之积为定值；
（2）若 k=34 ，求四边形 AMBN 的面积的最大值．
【答案】 （1）解：设 M(x1,y1) ，则 N(-x1,-y1) ，
∵ A(4,0) ， B(0,3) ，∴ kAM=y1-4+x1 ， kAN=y14+x1 ，
∵ M(x1,y1) 在椭圆上，∴ y12=916(16-x12)
∴ kAM⋅kAN=y12x12-16=916⋅16-x12x12-16=-916 为定值．
（2）解：设 l:y=34x+b ，依题意： k>0 ， M 点在第一象限，∴ -3联立： {y=34x+bx216+y29=1 得： 9x2+12bx+8b2-72=0 ，
∴ x1+x2=-4b3 ， x1⋅x2=89b2-8 ，
设 A 到 l 的距离为 d1 ， B 到 l 的距离为 d2 ，
∴ d1=|12+4b|5=45⋅|3+b|=45(3+b) ， d2=|-12+4b|5=45⋅|b-3|=45(3-b) ，
∴ d1+d2=245 ．
又∵ |MN|=1+916⋅|x1-x2|=54(x1+x2)2-4x1x2=54-169b2+32≤52
（当 b=0 时取等号），
∴ SAMBN=12|MN|⋅(d1+d2)≤12⋅52⋅245=122 ．
∴四边形 AMBN 的面积的最大值为 122

22.已知函数 f(x)=(x+1)lnx ；
（1）求曲线 y=f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程；
（2）求证： ln21+ln76+…+ln(n2-2)n2-3+2n>32(n≥2,n∈N*) ．
【答案】 （1）解：由题意可得：函数 f(x) 的定义域为 (0,+∞) ， f'(x)=lnx+x+1x ，
所以曲线 y=f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线斜率为 k=f'(1)=2 ，
又 f(1)=0 ，所以该切线方程为 y=2(x-1) ．
（2）证明：设 F(x)=(x+1)lnx-2x+2(x>1) ，则 F'(x)=lnx+1x-1 ，
令 g(x)=F'(x) ，则 g'(x)=1x-1x2=x-1x2 ，
当 x>1 时， g'(x)>0 ，所以 g(x)=F'(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，
又 g(1)=0 ，所以 g(x)=F'(x)>0 ，
即 F(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以 F(x)>F(1)=0 ，
故 x>1 时， (x+1)lnx>2(x-1) ．
令 x=n2-2>1(n≥2,n∈N) ，
则 (n2-1)ln(n2-2)>2(n2-3) ，所以 ln(n2-2)n2-3>2n2-1=2(n-1)(n+1)=1n-1-1n+1 ，
所以 k=2nln(k2-2)k2-3>(1-13)+(12-14)+(13-15)+(14-16)+...+(1n-2-1n)+(1n-1-1n+1) ，
化简可得 k=2nln(k2-2)k2-3>1+12-1n-1n+1>32-2n ，
所以 ln21+ln76+…+ln(n2-2)n2-3+2n>32(n≥2,n∈N*) 得证．

质量参数x
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
使用时间t
2.60
2.81
3.05
3.10
3.25
3.35
3.54
质量参数x
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
使用时间t
2.60
2.81
3.05
3.10
3.25
3.35
3.54