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2021届湖南省五市十校高三上学期第二次大联考 数学试题（Word版，含答案解析）
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这是一份2021届湖南省五市十校高三上学期第二次大联考 数学试题（Word版，含答案解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021届湖南省五市十校高三上学期第二次大联考
数学试题
一、单选题
1．设复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简已知复数有，根据复数模的几何含义求即可.
【详解】
∴，
故选：C
2．已知，，则是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】B
【分析】根据三角函数的符号，可直接确定角所在的象限.
【详解】由得，则，
又，所以是第二象限角.
故选：B.
3．设等差数列的公差为，若，则“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用指数函数的单调性、数列增减性的定义以及等差数列的定义判断即可.
【详解】充分性：若，则，即，，即，
所以，数列为递减数列，充分性成立；
必要性：若为递减数列，则，即，，则，
必要性成立.
因此，“”是“为递减数列”的充要条件.
故选：C.
【点睛】本题考查充要条件的判断，同时也考查了数列单调性定义的应用，考查推理能力，属于中等题.
4．陈镜开(1935~2010)，新中国举重运动员，1956年在上海举行的“中苏举重友谊赛”中，他以133公斤的成绩，打破美国运动员C.温奇保特的56公斤级挺举世界纪录，这是中国运动员创造的第一个世界纪录1956~1964年期间，在上海､北京､莫斯科､莱比锡等国内外的重大举重比赛中，陈镜开先后9次打破最轻量级和次轻量级挺举世界纪录，举重比赛挺举项目中，运动员对所要重量有3次试举次数，只要一次试举成功即为完成本次所要重量的比赛，才有资格进入下轮所要更大重量的比赛，结合平时训练数据，某运动员挺举130公斤成功的概率为0.6(每次试举之间互不影响)，则在挺举比赛中，他有资格进入下轮比赛的概率是（ ）
A．0.784 B．0.84 C．0.904 D．0.936
【答案】D
【分析】根据题意，设“该运动员进入下轮比赛”为事件，则其对立事件为“该运动员没有进入下轮比赛”，由相互独立事件概率计算公式可得，进而由对立事件的概率性质计算可得答案.
【详解】解：设“该运动员进入下轮比赛”为事件，
其对立事件为“该运动员没有进入下轮比赛”，
事件即该运动员次试举都失败，
则，
则.
故选：D.
5．已知直线，圆，则圆C上到直线的距离为的点共有（ ）
A．1 B．2个 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据圆心到直线的距离，结合半径求解.
【详解】如图所示：
由圆，得圆心，半径，
又圆心到直线的距离为，
因为半径为，
所以圆C上到直线的距离为的点共有3个，
故选：C
6．原油作为“工业血液”､“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是（ ）
A．第一种方案更划算
B．第二种方案更划算
C．两种方案一样
D．无法确定
【答案】B
【分析】分别求出两种方案的平均油价，结合基本不等式作出比较即可得出结论.
【详解】设小李这两次加油的油价分别为元升､元升，则：
方案一：两次加油平均价格为，
方案二：两次加油平均价格为，
故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算.
故选：B.
7．如图，在半径为2的扇形中，，是弧上的一个三等分点，分别是线段，上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算得，再利用向量数量积公式整理得，当时，取最大值4.
【详解】解析：，是弧上的一个三等分点，故，，
故当时，取最大值4.
【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
8．函数在区间上的所有零点的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】函数的零点就是函数与函数图象交点的横坐标，只需画出函数和函数在同一坐标系中的图象，根据图象的对称性确定交点的横坐标之和.
【详解】令，得，
函数的零点就是函数与函数图象交点的横坐标.
又函数的图象关于点对称，函数的周期为4，其图象也关于点对称，画出两函数图象如图所示：
由图象可知两函数图象在上共有4个交点，这4个点两两关于点对称，故其横坐标的和为.
故选：A
【点睛】求解函数零点的和的一般方法有：
（1）直接法：令，求解函数的所有零点的值，然后确定所有零点的和；
（2）数形结合：令，然后将方程灵活变形，转化为函数的模型，画出和的图象，根据量函数图象的单调性、奇偶性、对称性及周期性等，确定交点的个数及交点的横坐标关系，然后求和即可.
二、多选题
9．某校对120名考生的数学竞赛成绩进行统计，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．该校学生数学竞赛成绩落在内的考生人数为24
C．该校学生数学竞赛成绩的中位数大于80
D．估计该校学生数学竞赛成绩的平均数落在内
【答案】BD
【分析】根据频率分布直方图性质可判断A的正误；根据频率分布直方图，求得的概率，即可求得该组人数，即可判断B的正误；根据频率分布直方图中位数的求法，可判断C的正误；根据频率分布直方图中平均数的求法，求得平均数，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A，由频率分布直方图性质得：，解得，故A错误；
对于B，由频率分布直方图得成绩落在的概率为0.2，人数为，故B正确；
对于C，由频率分布直方图得：的频率为，的频率为，所以成绩的中位数位于内，故C错误；
对于D，估计成绩的平均数为：所以成绩的平均数落在内，故D正确.
故选：BD.
10．已知实数满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】构造函数，判断其在上单调递增，可得，再利用单调性逐一分析选项中的不等式是否成立即可.
【详解】因为成立，所以，
由变形得，
令函数，
因为都在递增，
所以函数在上单调递增，
即，
所以，
因为函数在上单调递减，所以，A正确；
因为函数在上单调递增，所以，B正确；
因为，函数在上单调递增，所以，C正确；
，的符号可正可负，D错.
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是构造函数，并判断其单调性，再根据单调性得到.
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在区间上为增函数
B．直线是函数图像的一条对称轴
C．函数的图像可由函数的图像向右平移个单位得到
D．函数的图像关于点对称
【答案】AB
【分析】先将函数变形为的形式，然后利用三角函数的性质逐一判断．
【详解】解：，
对于A选项，当时，，函数为增函数，A正确；
令，，得，，当时，，所以直线是函数图象的一条对称轴，B正确；
函数的图象向右平移个单位得到函数图象，C错误；
，故函数的图像关于对称，D错误，
故选：AB.
12．如图，在长方体，中，，，、、分别是，，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．平面
C．若点P在平面ABCD内，且平面GEF，则线段长度的最小值为
D．若点Q在平面ABCD内，且，则线段长度的最小值为
【答案】ABD
【分析】连接，，，根据线面垂直的判定定理，先证明面，即可得到；判断A正确；根据A选项，可判断D选项中点的轨迹是直线，求出的最小值，进而可判断D正确；根据线面平行、面面平行的判定定理及性质，可证明B正确，结合B选项，得到C选项中，的轨迹是直线，求出的最小值，即可判定C错.
【详解】连接，，，
在长方体中，，
所以侧面与侧面都为正方形，平面，
因此，，
又，面，面，
面，
又面，，故A选项正确；
面，且，点的轨迹是直线，
为使取得最小值，只需，即与重合，此时，，故D选择项正确；
、、分别是，，的中点，
所以，，
又平面，平面，平面，平面，
面面，
又面，面，故B选项正确；
若在平面内，且面，则由B选项可知：的轨迹是直线，
为使线段长度最小，只需，此时在中，，，，，，故C选项错误.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：
证明空间中位置关系时，通常需要根据空间中线面、面面垂直或平行的判定定理及性质，进行证明即可；有时也可建立适当的空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，根据空间位置关系的向量表示即可证明.
三、填空题
13．若一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________．
【答案】
【分析】由圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，可得圆锥的底面圆的直径、母线长均为2，求得底面圆半径，进而根据圆锥侧面积公式求得结果。
【详解】因为圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，所以圆锥底面圆的半径，母线长，所以圆锥的侧面积为。
【点睛】本题考查圆锥的轴截面、侧面积，属于基础题。考查空间想象能力、运算能力。圆锥的轴截面是以圆锥母线为腰、圆锥底面圆直径为底的等腰三角形。
14．的展开式中的系数为__________.
【答案】810
【分析】由二项式定理可知展开式的通项为，令，得，进而确定展开式中的系数.
【详解】展开式的通项为，
令，得，
所以展开式中的系数为.
故答案为：810.
【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
15．已知分别是双曲线的左，右焦点，P是双曲线C的右支上一点，是的内心，且，则C的离心率为__________.
【答案】
【分析】由焦点三角形内心与各顶点构成的三角形中，令内切圆半径为有，且，即可求离心率.
【详解】设内切圆半径为，则，
故，，又，即，
故.
故答案为：3
【点睛】关键点点睛：根据内心与三角形各顶点构成的三角形面积公式并结合已知面积比得到，进而求得离心率.
16．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高，已知听到的声强m与标准声调(约为，单位：之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝，已知某处“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式，现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50米，若A同学大喝一声的声强大约相当于10个B同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为__________米
【答案】45
【分析】设同学的声强为，喷出泉水高度为，根据以及某处“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式，得到，求解.
【详解】设同学的声强为，喷出泉水高度为，则同学的声强为，喷出泉水高度为50，
因为，即,
又因为，即,
相减得,即,
解得.
故答案为：45.
17．在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为S，已知_________.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.
【分析】（1）若选择①，先利用正弦定理进行边角互化，再结合正余弦的和差角公式化简可得，得出；若选择②，利用余弦定理及面积公式可得，得；
（2）由（1）可知，由及得，，再根据余弦定理求解的值.
【详解】解析：（1）选择条件①. ，
，
得，
选择条件②，由余弦定理及三角形的面积公式可得：，
得.
（2）由得，∵，，
∴，解得.
由余弦定理得：.
【点睛】本题考查解三角形，难度一般.解答的关键在于根据题目中边角关系，运用正弦定理进行边角互化、再根据两角和与差的正弦公式进行化简是关键. 一般地，当等式中含有a,b,c的关系式，且全为二次时，可利用余弦定理进行化简；当含有内角的正弦值及边的关系，且为一次式时，可考虑采用正弦定理进行边角互化.
四、解答题
18．已知等比数列的各项均为正数，，是与的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，进而可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项相消法可求得.
【详解】（1）设等比数列的公比为，依题有，，
由题意可得，即，解得，
因此，；
（2），
因此，.
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于型数列，利用分组求和法；
（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.
19．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，与底面所成角的正切值为，是的中点，线段上的动点.
（1）证明：平面；
（2）若二面角的余弦值为，求的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）先通过题目条件证明平面，得到，由，是的中点，得到,再根据线面垂直的判定定理证明出平面；
（2）以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，则，计算平面的法向量及平面的法向量，
使平面和平面的法向量夹角余弦值的绝对值为，求解出的值.
【详解】（1）证明：平面平面，
.
又，，，平面，
平面，
又平面，∴.
又，是的中点，
，
又，，平面，
平面.
（2）以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.
∵与底面所成角的正切值为，，∴，
则，，.
设，则，
设平面的法向量为，由，得：，
而平面的一个法向量为，依题意得：，
即，得或(舍).
故.
【点睛】本题的难点在于（2）中已知二面角大小求解设的长，解答时设，可采用空间向量的方法求解，先利用空间向量求解已知面的法向量，使法向量满足条件，然后求解出的值.
20．某公司有1400名员工，其中男员工900名，用分层抽样的方法随机抽取28名员工进行5G手机购买意向调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后购买5G手机的员工称为“观望者”，调查结果发现抽取的这28名员工中属于“追光族”的女员工有2人，男员工有10人.
（1）完成下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；
属于“追光族”
属于“观望者”
合计
女员工
男员工
合计
（2）在抽取的属于“追光族”的员工中任选4人，记选出的4人中男员工有人，女员工有人，求随机变量的分布列与数学期望.
附：，其中.
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）列联表答案见解析，没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】（1）根据题意写出列联表，代入公式计算出，进行判断即可；
（2）机变量的所有可能取值为，分布求出对应概率，列出分布列，求出期望即可．
【详解】解：（1）由题意得：2×2列联表如下：
属于“追光族"
属于“观望者"
合计
女员工
2
8
10
男员工
10
8
18
合计
12
16
28
，
故没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；
（2）由（1）知在样本里属于“追光族"的员工有12人.其中男员工10人，女员工2人，
所以可能的取值有，
，，，
的分布列为：
0
2
4
的期望.
【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.
21．已知椭圆的右焦点为，顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长为的菱形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，为坐标原点，、是椭圆上两点，且的中点在线段（不含端点、）上，求面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出、的值，由此可得出椭圆的标准方程；
（2）设点、，利用点差法可求得直线的斜率为，设直线的方程为，与椭圆的方程，由得出，列出韦达定理，计算出以及原点到直线的距离，可得出关于的表达式，进而可求得的取值范围.
【详解】（1）依题意：，因此，椭圆E的标准方程为；
（2）设、，
则的中点在线段上，且，则，
又，两式相减得：，
可得，
易知：，，，
设直线的方程为，
联立得.
所以，，可得，
由韦达定理可得，，
又，所以，
，
原点到直线的距离为，
，
，则，所以，.
【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：
（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.
22．已知函数，设曲线在点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）证明：对定义域内任意，都有；
（3）当时，关于的方程有两个不等的实数根，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）求导，求得，，由直线的点斜式方程可得的解析式.
（2）令，求导，判断其导函数的符号，得出函数的单调性，求得其最值，可得证；
（3）当时，，由（1）（2）得在处的切线方程，在处的切线方程，令，分析可得恒成立.设函数在两个零点处的切线方程与直线的交点的横坐标分别为和，利用，，可得证.
【详解】解：（1）∵∴，又，∴.
（2）令，
∴在上单调递增，且，
∴当时，单调递减，当时，单调递增，
∴恒成立，∴恒成立.
（3）当时，，则，所以 在定义域内单调递增，而，，∴存在，使.
∴当时，，单调递减；当时，，单调递增，
令解得或.由（1）（2）可知在处的切线方程为，且恒成立，又，所以在处的切线方程为，
令，
当时，，当时，，
∴恒成立.
设函数在两个零点处的切线方程与直线的交点的横坐标分别为和，不妨设，则，，令，解得，，
∴，故得证.
【点睛】方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.
2021届湖南省五市十校高三上学期第二次大联考
数学试题
一、单选题
1．设复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简已知复数有，根据复数模的几何含义求即可.
【详解】
∴，
故选：C
2．已知，，则是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】B
【分析】根据三角函数的符号，可直接确定角所在的象限.
【详解】由得，则，
又，所以是第二象限角.
故选：B.
3．设等差数列的公差为，若，则“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用指数函数的单调性、数列增减性的定义以及等差数列的定义判断即可.
【详解】充分性：若，则，即，，即，
所以，数列为递减数列，充分性成立；
必要性：若为递减数列，则，即，，则，
必要性成立.
因此，“”是“为递减数列”的充要条件.
故选：C.
【点睛】本题考查充要条件的判断，同时也考查了数列单调性定义的应用，考查推理能力，属于中等题.
4．陈镜开(1935~2010)，新中国举重运动员，1956年在上海举行的“中苏举重友谊赛”中，他以133公斤的成绩，打破美国运动员C.温奇保特的56公斤级挺举世界纪录，这是中国运动员创造的第一个世界纪录1956~1964年期间，在上海､北京､莫斯科､莱比锡等国内外的重大举重比赛中，陈镜开先后9次打破最轻量级和次轻量级挺举世界纪录，举重比赛挺举项目中，运动员对所要重量有3次试举次数，只要一次试举成功即为完成本次所要重量的比赛，才有资格进入下轮所要更大重量的比赛，结合平时训练数据，某运动员挺举130公斤成功的概率为0.6(每次试举之间互不影响)，则在挺举比赛中，他有资格进入下轮比赛的概率是（ ）
A．0.784 B．0.84 C．0.904 D．0.936
【答案】D
【分析】根据题意，设“该运动员进入下轮比赛”为事件，则其对立事件为“该运动员没有进入下轮比赛”，由相互独立事件概率计算公式可得，进而由对立事件的概率性质计算可得答案.
【详解】解：设“该运动员进入下轮比赛”为事件，
其对立事件为“该运动员没有进入下轮比赛”，
事件即该运动员次试举都失败，
则，
则.
故选：D.
5．已知直线，圆，则圆C上到直线的距离为的点共有（ ）
A．1 B．2个 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据圆心到直线的距离，结合半径求解.
【详解】如图所示：
由圆，得圆心，半径，
又圆心到直线的距离为，
因为半径为，
所以圆C上到直线的距离为的点共有3个，
故选：C
6．原油作为“工业血液”､“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是（ ）
A．第一种方案更划算
B．第二种方案更划算
C．两种方案一样
D．无法确定
【答案】B
【分析】分别求出两种方案的平均油价，结合基本不等式作出比较即可得出结论.
【详解】设小李这两次加油的油价分别为元升､元升，则：
方案一：两次加油平均价格为，
方案二：两次加油平均价格为，
故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算.
故选：B.
7．如图，在半径为2的扇形中，，是弧上的一个三等分点，分别是线段，上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算得，再利用向量数量积公式整理得，当时，取最大值4.
【详解】解析：，是弧上的一个三等分点，故，，
故当时，取最大值4.
【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
8．函数在区间上的所有零点的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】函数的零点就是函数与函数图象交点的横坐标，只需画出函数和函数在同一坐标系中的图象，根据图象的对称性确定交点的横坐标之和.
【详解】令，得，
函数的零点就是函数与函数图象交点的横坐标.
又函数的图象关于点对称，函数的周期为4，其图象也关于点对称，画出两函数图象如图所示：
由图象可知两函数图象在上共有4个交点，这4个点两两关于点对称，故其横坐标的和为.
故选：A
【点睛】求解函数零点的和的一般方法有：
（1）直接法：令，求解函数的所有零点的值，然后确定所有零点的和；
（2）数形结合：令，然后将方程灵活变形，转化为函数的模型，画出和的图象，根据量函数图象的单调性、奇偶性、对称性及周期性等，确定交点的个数及交点的横坐标关系，然后求和即可.
二、多选题
9．某校对120名考生的数学竞赛成绩进行统计，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．该校学生数学竞赛成绩落在内的考生人数为24
C．该校学生数学竞赛成绩的中位数大于80
D．估计该校学生数学竞赛成绩的平均数落在内
【答案】BD
【分析】根据频率分布直方图性质可判断A的正误；根据频率分布直方图，求得的概率，即可求得该组人数，即可判断B的正误；根据频率分布直方图中位数的求法，可判断C的正误；根据频率分布直方图中平均数的求法，求得平均数，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A，由频率分布直方图性质得：，解得，故A错误；
对于B，由频率分布直方图得成绩落在的概率为0.2，人数为，故B正确；
对于C，由频率分布直方图得：的频率为，的频率为，所以成绩的中位数位于内，故C错误；
对于D，估计成绩的平均数为：所以成绩的平均数落在内，故D正确.
故选：BD.
10．已知实数满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】构造函数，判断其在上单调递增，可得，再利用单调性逐一分析选项中的不等式是否成立即可.
【详解】因为成立，所以，
由变形得，
令函数，
因为都在递增，
所以函数在上单调递增，
即，
所以，
因为函数在上单调递减，所以，A正确；
因为函数在上单调递增，所以，B正确；
因为，函数在上单调递增，所以，C正确；
，的符号可正可负，D错.
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是构造函数，并判断其单调性，再根据单调性得到.
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在区间上为增函数
B．直线是函数图像的一条对称轴
C．函数的图像可由函数的图像向右平移个单位得到
D．函数的图像关于点对称
【答案】AB
【分析】先将函数变形为的形式，然后利用三角函数的性质逐一判断．
【详解】解：，
对于A选项，当时，，函数为增函数，A正确；
令，，得，，当时，，所以直线是函数图象的一条对称轴，B正确；
函数的图象向右平移个单位得到函数图象，C错误；
，故函数的图像关于对称，D错误，
故选：AB.
12．如图，在长方体，中，，，、、分别是，，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．平面
C．若点P在平面ABCD内，且平面GEF，则线段长度的最小值为
D．若点Q在平面ABCD内，且，则线段长度的最小值为
【答案】ABD
【分析】连接，，，根据线面垂直的判定定理，先证明面，即可得到；判断A正确；根据A选项，可判断D选项中点的轨迹是直线，求出的最小值，进而可判断D正确；根据线面平行、面面平行的判定定理及性质，可证明B正确，结合B选项，得到C选项中，的轨迹是直线，求出的最小值，即可判定C错.
【详解】连接，，，
在长方体中，，
所以侧面与侧面都为正方形，平面，
因此，，
又，面，面，
面，
又面，，故A选项正确；
面，且，点的轨迹是直线，
为使取得最小值，只需，即与重合，此时，，故D选择项正确；
、、分别是，，的中点，
所以，，
又平面，平面，平面，平面，
面面，
又面，面，故B选项正确；
若在平面内，且面，则由B选项可知：的轨迹是直线，
为使线段长度最小，只需，此时在中，，，，，，故C选项错误.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：
证明空间中位置关系时，通常需要根据空间中线面、面面垂直或平行的判定定理及性质，进行证明即可；有时也可建立适当的空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，根据空间位置关系的向量表示即可证明.
三、填空题
13．若一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________．
【答案】
【分析】由圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，可得圆锥的底面圆的直径、母线长均为2，求得底面圆半径，进而根据圆锥侧面积公式求得结果。
【详解】因为圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，所以圆锥底面圆的半径，母线长，所以圆锥的侧面积为。
【点睛】本题考查圆锥的轴截面、侧面积，属于基础题。考查空间想象能力、运算能力。圆锥的轴截面是以圆锥母线为腰、圆锥底面圆直径为底的等腰三角形。
14．的展开式中的系数为__________.
【答案】810
【分析】由二项式定理可知展开式的通项为，令，得，进而确定展开式中的系数.
【详解】展开式的通项为，
令，得，
所以展开式中的系数为.
故答案为：810.
【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
15．已知分别是双曲线的左，右焦点，P是双曲线C的右支上一点，是的内心，且，则C的离心率为__________.
【答案】
【分析】由焦点三角形内心与各顶点构成的三角形中，令内切圆半径为有，且，即可求离心率.
【详解】设内切圆半径为，则，
故，，又，即，
故.
故答案为：3
【点睛】关键点点睛：根据内心与三角形各顶点构成的三角形面积公式并结合已知面积比得到，进而求得离心率.
16．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高，已知听到的声强m与标准声调(约为，单位：之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝，已知某处“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式，现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50米，若A同学大喝一声的声强大约相当于10个B同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为__________米
【答案】45
【分析】设同学的声强为，喷出泉水高度为，根据以及某处“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式，得到，求解.
【详解】设同学的声强为，喷出泉水高度为，则同学的声强为，喷出泉水高度为50，
因为，即,
又因为，即,
相减得,即,
解得.
故答案为：45.
17．在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为S，已知_________.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.
【分析】（1）若选择①，先利用正弦定理进行边角互化，再结合正余弦的和差角公式化简可得，得出；若选择②，利用余弦定理及面积公式可得，得；
（2）由（1）可知，由及得，，再根据余弦定理求解的值.
【详解】解析：（1）选择条件①. ，
，
得，
选择条件②，由余弦定理及三角形的面积公式可得：，
得.
（2）由得，∵，，
∴，解得.
由余弦定理得：.
【点睛】本题考查解三角形，难度一般.解答的关键在于根据题目中边角关系，运用正弦定理进行边角互化、再根据两角和与差的正弦公式进行化简是关键. 一般地，当等式中含有a,b,c的关系式，且全为二次时，可利用余弦定理进行化简；当含有内角的正弦值及边的关系，且为一次式时，可考虑采用正弦定理进行边角互化.
四、解答题
18．已知等比数列的各项均为正数，，是与的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，进而可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项相消法可求得.
【详解】（1）设等比数列的公比为，依题有，，
由题意可得，即，解得，
因此，；
（2），
因此，.
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于型数列，利用分组求和法；
（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.
19．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，与底面所成角的正切值为，是的中点，线段上的动点.
（1）证明：平面；
（2）若二面角的余弦值为，求的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）先通过题目条件证明平面，得到，由，是的中点，得到,再根据线面垂直的判定定理证明出平面；
（2）以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，则，计算平面的法向量及平面的法向量，
使平面和平面的法向量夹角余弦值的绝对值为，求解出的值.
【详解】（1）证明：平面平面，
.
又，，，平面，
平面，
又平面，∴.
又，是的中点，
，
又，，平面，
平面.
（2）以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.
∵与底面所成角的正切值为，，∴，
则，，.
设，则，
设平面的法向量为，由，得：，
而平面的一个法向量为，依题意得：，
即，得或(舍).
故.
【点睛】本题的难点在于（2）中已知二面角大小求解设的长，解答时设，可采用空间向量的方法求解，先利用空间向量求解已知面的法向量，使法向量满足条件，然后求解出的值.
20．某公司有1400名员工，其中男员工900名，用分层抽样的方法随机抽取28名员工进行5G手机购买意向调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后购买5G手机的员工称为“观望者”，调查结果发现抽取的这28名员工中属于“追光族”的女员工有2人，男员工有10人.
（1）完成下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；
属于“追光族”
属于“观望者”
合计
女员工
男员工
合计
（2）在抽取的属于“追光族”的员工中任选4人，记选出的4人中男员工有人，女员工有人，求随机变量的分布列与数学期望.
附：，其中.
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）列联表答案见解析，没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】（1）根据题意写出列联表，代入公式计算出，进行判断即可；
（2）机变量的所有可能取值为，分布求出对应概率，列出分布列，求出期望即可．
【详解】解：（1）由题意得：2×2列联表如下：
属于“追光族"
属于“观望者"
合计
女员工
2
8
10
男员工
10
8
18
合计
12
16
28
，
故没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；
（2）由（1）知在样本里属于“追光族"的员工有12人.其中男员工10人，女员工2人，
所以可能的取值有，
，，，
的分布列为：
0
2
4
的期望.
【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.
21．已知椭圆的右焦点为，顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长为的菱形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，为坐标原点，、是椭圆上两点，且的中点在线段（不含端点、）上，求面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出、的值，由此可得出椭圆的标准方程；
（2）设点、，利用点差法可求得直线的斜率为，设直线的方程为，与椭圆的方程，由得出，列出韦达定理，计算出以及原点到直线的距离，可得出关于的表达式，进而可求得的取值范围.
【详解】（1）依题意：，因此，椭圆E的标准方程为；
（2）设、，
则的中点在线段上，且，则，
又，两式相减得：，
可得，
易知：，，，
设直线的方程为，
联立得.
所以，，可得，
由韦达定理可得，，
又，所以，
，
原点到直线的距离为，
，
，则，所以，.
【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：
（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.
22．已知函数，设曲线在点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）证明：对定义域内任意，都有；
（3）当时，关于的方程有两个不等的实数根，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）求导，求得，，由直线的点斜式方程可得的解析式.
（2）令，求导，判断其导函数的符号，得出函数的单调性，求得其最值，可得证；
（3）当时，，由（1）（2）得在处的切线方程，在处的切线方程，令，分析可得恒成立.设函数在两个零点处的切线方程与直线的交点的横坐标分别为和，利用，，可得证.
【详解】解：（1）∵∴，又，∴.
（2）令，
∴在上单调递增，且，
∴当时，单调递减，当时，单调递增，
∴恒成立，∴恒成立.
（3）当时，，则，所以 在定义域内单调递增，而，，∴存在，使.
∴当时，，单调递减；当时，，单调递增，
令解得或.由（1）（2）可知在处的切线方程为，且恒成立，又，所以在处的切线方程为，
令，
当时，，当时，，
∴恒成立.
设函数在两个零点处的切线方程与直线的交点的横坐标分别为和，不妨设，则，，令，解得，，
∴，故得证.
【点睛】方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.
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