江西省九江第一中学2021届高三下学期5月适应性考试 理科数学+答案

江西省九江第一中学2021届高三适应性考试

数学（理）试卷   2021.5

一、选择题:本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1．已知为实数集，集合，，则（ C  ）

A． B． C． D．

解：由可得，即

由可得或，即，所以

所以故选：C

2．若，则复数在复平面内对应的点在（ B   ）

A．曲线上 B．曲线上 C．直线上 D．直线上

解：因为，所以，

因此复数在复平面内对应的点为，可知其在曲线上.故选：B．

3．双曲线的两条渐近线的夹角的大小等于（  B  ）

A． B． C． D．

解：双曲线的两条渐近线的方程为，由直线的斜率为，可得倾斜角为，的斜率为，可得倾斜角为，所以两条渐近线的夹角的大小为，故选：B.

4．若向量、满足，，则在方向上的投影为（ D   ）

A． B． C． D．

解：由已知条件可得，，因此，在方向上的投影为.故选：D.

5．已知，则（  B  ）

A． B． C． D．0

解：因为，所以，

解得，所以，故选：B

6．等比数列中，，则“”是“”的（ B   ）

A．充要条件  B．充分不必要条件 C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件

解：等比数列中，令公比为，

∴若，则有；若，则有或，

∴“”是“”的充分不必要条件.故选：B

7．已知函数的最小正周期为，且曲线关于直线对称，则的最小值为（ B   ）

A． B． C． D．

解：

.因为的最小正周期为，所以，得.

依题意得，，所以，当时，取得最小值.故选：B

8．已知，则下列说法正确的是（ C   ）

A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，

解：分别作出的图象，

选项A，当时，，交点为，此时在上方，，错误；

选项B，当时，，交点为，此时在上方，，错误；

选项C，当时，，交点为，此时在下方，，正确；

选项D，当时，为点，此时在上方，错误；故选：C

9．清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人，现采用抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级3人不相邻的概率为（ D  ）

A． B． C． D．

解：共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人，

采用抽签方式决定演讲顺序，高二年级3人相邻，基本事件总数，

其中高一3人不相邻包含的基本事件个数，

高一年级3人不相邻的概率．故选：D．

10．拋物线，过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，以为直径的圆与轴交于、两点，且，则（ B   ）

A． B． C． D．

解：拋物线的焦点为，因为倾斜角为的直线过抛物线的焦点，所以直线的方程为，

联立，整理得，，设，，则，，，，

故圆心坐标为，半径为，方程为，

当时，,解得或，

则，，故选：B.

11.下列四个命题中：①存在这样的四面体，使；

②存在这样的四面体，使；③存在这样的四面体，使；④存在这样的四面体，使；

其中真命题是（ B  ）

A. ①③④      B. ①②③   C. ②③④   D. ①②

12．若直线与曲线相交于不同的两点，，曲线在点，处的切线相交于点，则（  C）

A.     B.   C.    D.

二、填空题:本大题共4小题，每题5分，共20分。

13．的展开式中的常数项为____________（用数字作答）．

解：由二项式知：，

∴当时为常数项，即.故答案为：15.

14．设为等差数列的前项和．若，，则________．

解：设数列的公差为，由可知，

，解之得．所以．

故答案为：．

15．不等式组所表示的平面区域的面积为___________.

解：作出可行域如图阴影部分所示：

由题意可知：

∴阴影区域的面积为：.

故答案为：

16．法国著名的军事家拿破仑.波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.在三角形中，角，以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，若三角形的面积为，则三角形的周长最小值为___________

解：如图，令△ABC角A，B，C所对边长分别为a，b，c，都是正三角形，分别为其中心，

△O1AB中，，

由正弦定理得，同理，

正面积，

而，则，中，由余弦定理得：

，

则有，△ABC中，由余弦定理得，

则，而，

又，

而，令bc=x，则，x∈(0,4]，

，0<x≤4时，，即，

所以f(x)在(0,4]是单调递减的，x=4时，f(x)=，

三角形周长最小值是6.

故答案为：

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～22为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答。

(一）必考题：共60分

17．如图某公园有一块直角三角形的空地，其中，，长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中、、分别在、、上．设．

（1）若，求的边长；

（2）当多大时，的边长最小？并求出最小值．

解：（1）设的边长为千米，由得，，

中，，，

为等边三角形，，故，即的边长为；

（2）设的边长为千米，所以，，

中，，，，由正弦定理得，，

故，

当时取得最小值，即的边长最小值．

18．如图，在四棱锥中，平面，且，，，．

（1）求证：；

（2）设F为棱上一点，且平面，求二面角的大小．

解：（1）证明：∵，平面，∴平面．

又∵平面，∴．

在中，由，得，．

又，，∴．

在中，，解得．

∴，即．而，∴平面．

又∵平面，∴

（2）解：连接交于点G，连接．

∵平面，平面平面，

∴，∴．

在直角梯形中，，

∴，∴．

如图，以E为坐标原点，，所在的直线为x轴，z轴建立空间直角坐标系，

则．

又∵，∴，∴，

∴，．

令平面的一个法向量为，

由得

取，得．

同理，平面的一个法向量为，

∴，

即二面角的大小为．

19．高三某班有（）位同学组成学习拔尖小组，每人写了一个高考祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐后，让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片.

（1）求甲和乙恰好互换卡片的概率；

（2）①当时恰有个人取回自己的卡片，试求的分布列；

②记个同学都拿到其他同学的卡片的概率为，且已知，试写出及的表达式（无需证明）

解：（1）记事件为：甲和乙恰好互换卡片；则；

（2）①

②

20. 已知椭圆，点为椭圆在第一象限的点，、为椭圆的左、右焦点,为坐标原点.

（1）设点到直线、的距离分别为、，求的取值范围；

（2）若的三个顶点都在椭圆上，且为的重心，判断的面积是否为定值，并说明理由．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【详解】（1）由题意可得，可得，

，

又因为，

因为，所以，所以；

（2）当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，

 设 ，则，因为为的重心，所以 ，

所以 ，所以 ，

 当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为 ，设，

 由 得 ，显然 ，

 所以 ，所以 ，

 因为为△ABC的重心，所以 即，

由在椭圆上得 ，化简得 ，所以 ，因为点A到直线BC的距离等于到直线BC距离的3倍，所以 ，所以，

综上得，△ABC的面积为定值 ．

21. 已知函数（为自然常数）.

（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）设，讨论函数的零点个数.

解：（1），则在上恒成立，记，则在上恒成立，.

当时，，即在上单调递增，；

当时，得出，且在上单调递减，在上单调递增. ，；

综上：

（2）（），

当时，有且仅有一个零点；

当时，时，，无零点；

时，，在上单调递减，

又，在上有唯一一个零点；

当时，时，；时，，在上单调递减，又，在上有唯一一个零点；

综上：，存在唯一一个零点.

（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号。

22．已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，线直的极坐标方程为．

（1）求曲线和直线的直角坐标方程;

（2）若直线交曲线于，两点，交轴于点，求的值.

【答案】（1），；（2）.

解：（1）曲线的参数方程为（为参数），

转化为直角坐标方程为或

直线 的极坐标方程为．

转化为直角坐标方程为：．

（2）由于直线与轴的交点的坐标为，所以直线的参数方程为（为参数），代入得到：，所以：，，则：．

23．已知.

（1）若时，求的解集；

（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

解：（1）当时，，

则即，，

，，解得，

故当时，的解集为.

（2）当时，，

不等式恒成立，即恒成立，

，即，

因为，所以，解得，的取值范围为.