2021九江一中高三下学期5月适应性考试理数含答案

江西省九江第一中学2021届高三适应性考试一

数学（理）试卷   2021.5

一、选择题:本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1．已知为实数集，集合，，则（  ）

A． B． C． D．

2．若，则复数在复平面内对应的点在（  ）

A．曲线上 B．曲线上 C．直线上 D．直线上

3．双曲线的两条渐近线的夹角的大小等于（    ）

A． B． C． D．

4．若向量、满足，，则在方向上的投影为（   ）

A． B． C． D．

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．0

6．等比数列中，，则“”是“”的（   ）

A．充要条件  B．充分不必要条件 C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件

7．已知函数的最小正周期为，且曲线关于直线对称，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

8．已知，则下列说法正确的是（   ）

A．当时，                 B．当时，

C．当时，                 D．当时，

9．清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人，现采用抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级3人不相邻的概率为（   ）

A． B． C． D．

10．拋物线，过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，以为直径的圆与轴交于、两点，且，则（  ）

A． B． C． D．

11.下列四个命题中：①存在这样的四面体，使；

②存在这样的四面体，使；③存在这样的四面体，使；④存在这样的四面体，使；

其中真命题是（   ）

A. ①③④      B. ①②③   C. ②③④   D. ①②

12．若直线与曲线相交于不同的两点，，曲线在点，处的切线相交于点，则（   ）

A.     B.   C.    D.

二、填空题:本大题共4小题，每题5分，共20分。

13．的展开式中的常数项为____________（用数字作答）．

14．设为等差数列的前项和．若，，则________．

15．不等式组所表示的平面区域的面积为___________.

16．法国著名的军事家拿破仑.波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.在三角形中，角，以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，若三角形的面积为，则三角形的周长最小值为___________

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～22为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答。

(一）必考题：共60分

17．如图某公园有一块直角三角形的空地，其中，，长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中、、分别在、、上．设．

（1）若，求的边长；

（2）当多大时，的边长最小？并求出最小值．

18．如图，在四棱锥中，平面，且，，，．

（1）求证：；

（2）设F为棱上一点，且平面，求二面角的大小．

19．高三某班有（）位同学组成学习拔尖小组，每人写了一个高考祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐后，让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片.

（1）求甲和乙恰好互换卡片的概率；

（2）①当时恰有个人取回自己的卡片，试求的分布列；

②记个同学都拿到其他同学的卡片的概率为，且已知，试写出及的表达式（无需证明）

20. 已知椭圆，点为椭圆在第一象限的点，、为椭圆的左、右焦点,为坐标原点.

（1）设点到直线、的距离分别为、，求的取值范围；

（2）若的三个顶点都在椭圆上，且为的重心，判断的面积是否为定值，并说明理由．

21. 已知函数（为自然常数）.

（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）设，讨论函数的零点个数.

（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号。

22．已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，线直的极坐标方程为．

（1）求曲线和直线的直角坐标方程;

（2）若直线交曲线于，两点，交轴于点，求的值.

23．已知.

（1）若时，求的解集；

（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．