2021年江苏省苏州市中考数学全真模拟试卷（二）

这是一份2021年江苏省苏州市中考数学全真模拟试卷（二），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年江苏省苏州市中考数学全真模拟试卷（二）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分共30分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）﹣2的倒数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．4a2﹣2a2＝2 B．x2•x5＝x10 C．（a4）3＝a12 D．y8÷y2＝y4
3．（3分）某班派6名同学参加拔河比赛，他们的体重（单位：千克）分别是：67，61，59，63，57，66．这组数据的中位数是（　　）
A．59 B．61 C．62 D．63
4．（3分）不等式组的解集是（　　）
A．x≤1 B．﹣1≤x＜1 C．x＞﹣1 D．﹣1＜x≤1
5．（3分）由抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝（x+3）2，则下列平移方式可行的是（　　）
A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度
C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度
6．（3分）在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
7．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．圆 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．菱形
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
9．（3分）如图，E是▱ABCD的AD边上一点，CE与BA的延长线交于点F，则下列比例式：①＝；②＝；③＝；④＝，其中一定成立的是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②
10．（3分）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝，线段PQ在边BA上运动，PQ＝，有下列结论：
①CP与QD可能相等；
②△AQD与△BCP可能相似；
③四边形PCDQ面积的最大值为；
④四边形PCDQ周长的最小值为3+．
其中，正确结论的序号为（　　）

A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围为　 　．
12．（3分）因式分解：a2﹣4＝　 　．
13．（3分）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴：　 　．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点M是直线y＝﹣x上的动点，过点M作MN⊥x轴，交直线y＝x于点N，当MN≤8时，设点M的横坐标为m，则m的取值范围为　 　．

15．（3分）用一张边长为4cm的正方形纸片刚好围成一个圆柱的侧面，则该圆柱的底面圆的半径为　 　cm．
16．（3分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为　 　．

17．（3分）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是　 　．

18．（3分）如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝8，AB＝10，⊙O的半径为4．点P是AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点．设AP＝x（0≤x≤10），PQ2＝y，则y与x的函数关系式为　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共76分在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（5分）计算：﹣+2cos60°．
20．（5分）若点P的坐标为（，2x﹣9），其中x满足不等式组，求点P所在的象限．
21．（6分）如图，BD是▱ABCD的对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：AE＝CF．

22．（6分）有三个质地、大小都相同的小球分别标上数字2，﹣2，3后放入一个不透明的口袋搅匀，任意摸出一个小球，记下数字a后，放回口袋中搅匀，再任意摸出一个小球，又记下数字b．这样就得到一个点的坐标（a，b）．
（1）求这个点（a，b）恰好在函数y＝﹣x的图象上的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程，并求出结果）
（2）如果再往口袋中增加n（n≥1）个标上数字2的小球，按照同样的操作过程，所得到的点（a，b）恰好在函数y＝﹣x的图象上的概率是　 　（请用含n的代数式直接写出结果）．
23．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在BC、AC上，且DC＝DE．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若AB＝5，AE＝1，DE＝3，求BC的长．

24．（9分）小李2014年参加工作，每年年底都把本年度收入减去支出后的余额存入银行（存款利息记入收入），2014年底到2019年底，小李的银行存款余额变化情况如下表所示：（单位：万元）
年份
2014年
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
收入
3
8
9
a
14
18
支出
1
4
5
6
c
6
存款余额
2
6
10
15
b
34
（1）表格中a＝　 　；
（2）请把下面的条形统计图补充完整；（画图后标注相应的数据）
（3）请问小李在哪一年的支出最多？支出了多少万元？

25．（8分）初夏五月，小明和同学们相约去森林公园游玩．从公园入口处到景点只有一条长15km的观光道路．小明先从入口处出发匀速步行前往景点，1.5h后，迟到的另3位同学在入口处搭乘小型观光车（限载客3人）匀速驶往景点，结果反而比小明早到45min．已知小型观光车的速度是步行速度的4倍．
（1）分别求出小型观光车和步行的速度．
（2）如果小型观光车在某处让这3位同学下车步行前往景点（步行速度和小明相同），观光车立即返回接载正在步行的小明后直接驶往景点，并正好和这3位同学同时到达．求这样做可以使小明提前多长时间到达景点？（上下车及车辆调头时间忽略不计）
26．（9分）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．
①求证：DQ＝AE；
②推断：的值为　 　；
（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．

27．（10分）已知，如图1，直线l与反比例函数y＝（k＞0）位于第一象限的图象相交于A、B两点，并与y轴、x轴分别交于E、F．

（1）试判断AE与BF的数量关系并说明理由．
（2）如图2，若将直线l绕点A顺时针旋转，使其与反比例函数y＝的另一支图象相交，设交点为B．试判断AE与BF的数量关系是否依然成立？请说明理由．
28．（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y＝x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．


2021年江苏省苏州市中考数学全真模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分共30分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）﹣2的倒数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解：∵﹣2×（）＝1，
∴﹣2的倒数是﹣．
故选：D．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．4a2﹣2a2＝2 B．x2•x5＝x10 C．（a4）3＝a12 D．y8÷y2＝y4
【分析】分别计算各选项即可．
【解答】解：A．根据合并同类项的法则，应该等于2a2，该选项错误，不符合题意；
B．根据同底数幂的乘法法则，应该等于x7，该选项错误，不符合题意；
C．根据幂的乘方法则，该选项正确，符合题意；
D．根据同底数幂的除法，应该等于y6，该选项错误，不符合题意．
故选：C．
3．（3分）某班派6名同学参加拔河比赛，他们的体重（单位：千克）分别是：67，61，59，63，57，66．这组数据的中位数是（　　）
A．59 B．61 C．62 D．63
【分析】将数据重新排列，再根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为57，59，61，63，66，67，
所以这组数据的中位数为＝62，
故选：C．
4．（3分）不等式组的解集是（　　）
A．x≤1 B．﹣1≤x＜1 C．x＞﹣1 D．﹣1＜x≤1
【分析】根据“大小小大取中间”得出﹣1＜x≤1．
【解答】解：由不等式组可得，
原方程组的解集为﹣1＜x≤1．
故选：D．
5．（3分）由抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝（x+3）2，则下列平移方式可行的是（　　）
A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度
C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度
【分析】先确定抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝（x+3）2的顶点坐标为（﹣3，0），然后利用顶点的平移情况确定抛物线的平移情况．
【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝（x+3）2的顶点坐标为（﹣3，0），
因为点（0，0）向左平移3个单位长度后得到（﹣3，0），
所以把抛物线y＝x2向左平移3个单位得到抛物线y＝（x+3）2．
故选：C．
6．（3分）在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解答】解：∵直角三角形中，一个锐角等于40°，
∴另一个锐角的度数＝90°﹣40°＝50°．
故选：B．
7．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．圆 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．菱形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】根据旋转的性质得出AC＝AC1，∠BAC1＝90°，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，
∴AC＝AC1，∠CAC1＝60°，
∵AB＝8，AC＝6，∠BAC＝30°，
∴∠BAC1＝90°，AB＝8，AC1＝6，
∴在Rt△BAC1中，BC1的长＝，
故选：C．
9．（3分）如图，E是▱ABCD的AD边上一点，CE与BA的延长线交于点F，则下列比例式：①＝；②＝；③＝；④＝，其中一定成立的是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②
【分析】根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，根据平行线分线段成比例定理得到，即＝；根据相似三角形的性质得到，即＝，根据相似三角形的性质得到，即＝．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，
∴，即＝；故①正确；
∵AB∥CD，
∴△AEF∽△CDE，
∴，即＝，故②正确；
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△FBC，
∴，即＝，故③正确；
∵AF∥CD，
∴，故④错误，
故选：B．
10．（3分）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝，线段PQ在边BA上运动，PQ＝，有下列结论：
①CP与QD可能相等；
②△AQD与△BCP可能相似；
③四边形PCDQ面积的最大值为；
④四边形PCDQ周长的最小值为3+．
其中，正确结论的序号为（　　）

A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
【分析】①利用图象法判断或求出DQ的最大值，PC的最小值判定即可．
②设AQ＝x，则BP＝AB﹣AQ﹣PQ＝3﹣x﹣＝﹣x，因为∠A＝∠B＝60°，当＝时，△ADQ与△BPC相似，
即，解得x＝1或，推出当AQ＝1或时，两三角形相似．
③设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积＝×32﹣×x××﹣×3×（3﹣x﹣）×＝+x，当x取最大值时，可得结论．
④如图，作点D关于AB的对称点D′，作D′F∥PQ，使得D′F＝PQ，连接CF交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′＝PQ，此时四边形P′CDQ′的周长最小．求出CF的长即可判断．
【解答】解：①利用图象法可知PC＞DQ，或通过计算可知DQ的最大值为，PC的最小值为，所以PC＞DQ，故①错误．
②设AQ＝x，则BP＝AB﹣AQ﹣PQ＝3﹣x﹣＝﹣x，
∵∠A＝∠B＝60°，
∴当＝或＝时，△ADQ与△BPC相似，
即或＝，解得x＝1或或，
∴当AQ＝1或或时，两三角形相似，故②正确
③设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积＝S△ABC﹣S△ADQ﹣S△BCP＝×32﹣×x××﹣×3×（3﹣x﹣）×＝+x，
∵x的最大值为3﹣＝，
∴x＝时，四边形PCDQ的面积最大，最大值＝，故③正确，
如图，作点D关于AB的对称点D′，作D′F∥PQ，使得D′F＝PQ，连接CF交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′＝PQ，此时四边形P′CDQ′的周长最小．

过点C作CH⊥D′F交D′F的延长线于H，交AB于J．
由题意，DD′＝2AD•sin60°＝，HJ＝DD′＝，CJ＝，FH＝﹣﹣＝，
∴CH＝CJ+HJ＝，
∴CF＝＝＝，
∴四边形P′CDQ′的周长的最小值＝3+，故④错误，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围为　x≠﹣2　．
【分析】根据根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x+2≠0，
∴x≠﹣2
故答案为：x≠﹣2
12．（3分）因式分解：a2﹣4＝　（a+2）（a﹣2）　．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．
故答案为：（a+2）（a﹣2）．
13．（3分）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴：　y＝x2　．
【分析】根据形如y＝ax2的二次函数的性质直接写出即可．
【解答】解：∵图象的对称轴是y轴，
∴函数表达式y＝x2（答案不唯一），
故答案为：y＝x2（答案不唯一）．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点M是直线y＝﹣x上的动点，过点M作MN⊥x轴，交直线y＝x于点N，当MN≤8时，设点M的横坐标为m，则m的取值范围为　﹣4≤m≤4　．

【分析】先确定出M，N的坐标，进而得出MN＝|2m|，即可建立不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵点M在直线y＝﹣x上，
∴M（m，﹣m），
∵MN⊥x轴，且点N在直线y＝x上，
∴N（m，m），
∴MN＝|﹣m﹣m|＝|2m|，
∵MN≤8，
∴|2m|≤8，
∴﹣4≤m≤4，
故答案为：﹣4≤m≤4．
15．（3分）用一张边长为4cm的正方形纸片刚好围成一个圆柱的侧面，则该圆柱的底面圆的半径为　　cm．
【分析】正方形的边长等于底面圆的周长，列出方程求出半径即可．
【解答】解：设圆的半径为rcm，
根据题意得：2πr＝4，
∴r＝＝（cm），
故答案为：．
16．（3分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为　　．

【分析】作AD⊥BC于D，利用勾股定理分别求出AC、AB、BC的长，根据三角形的面积公式求出AD、CD，根据正切的定义解答即可．
【解答】解：作AD⊥BC于D，
由勾股定理得，AC＝，AB＝3，BC＝4，
△ABC的面积为：×AB×CE＝6，
∴×CB×AD＝6，
解得AD＝，
CD＝＝，
tan∠ACB＝＝．
故答案为：．

17．（3分）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是　625　．

【分析】根据题目中的数据和各行的数字个数的特点，可以求得第20行第19个数是多少，本题得以解决．
【解答】解：由图可得，
第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20＝210个数，
∴第20行第20个数是：1+3（210﹣1）＝628，
∴第20行第19个数是：628﹣3＝625，
故答案为：625．
18．（3分）如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝8，AB＝10，⊙O的半径为4．点P是AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点．设AP＝x（0≤x≤10），PQ2＝y，则y与x的函数关系式为　y＝x2﹣x+48　．

【分析】连接OQ、OP、作PM⊥OA于M，由PM∥BO，得＝＝，求出PM、AM，利用OP2＝PQ2+OQ2＝PM2+OM2，列出等式即可解决问题．
【解答】解：如图连接OQ、OP、作PM⊥OA于M．
∵PQ是⊙O切线，
∴∠PMA＝∠BOA＝90°，AO＝8，AB＝10，
∴PM∥BO，BO＝＝6，
∴＝＝，
∴PM＝x，AM＝x．OM＝8﹣x，
∵OP2＝PQ2+OQ2＝PM2+OM2，
∴y+16＝x2+64﹣x+x2，
∴y＝x2﹣x+48，
故答案为y＝x2﹣x+48

三、解答题（本大题共10小题，共76分在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（5分）计算：﹣+2cos60°．
【分析】本题涉及绝对值、负指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝﹣3+2﹣﹣3+2×，
＝﹣3+2﹣﹣3+1，
＝﹣4．
20．（5分）若点P的坐标为（，2x﹣9），其中x满足不等式组，求点P所在的象限．
【分析】先求出不等式组的解集，进而求得P点的坐标，即可求得点P所在的象限．
【解答】解：，
解①得：x≥4，
解②得：x≤4，
则不等式组的解集是：x＝4，
∵＝1，2x﹣9＝﹣1，
∴点P的坐标为（1，﹣1），
∴点P在的第四象限．
21．（6分）如图，BD是▱ABCD的对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：AE＝CF．

【分析】根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，求出∠AEB＝∠CFD＝90°，根据AAS推出△ABE≌△CDF，得出对应边相等即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF．
22．（6分）有三个质地、大小都相同的小球分别标上数字2，﹣2，3后放入一个不透明的口袋搅匀，任意摸出一个小球，记下数字a后，放回口袋中搅匀，再任意摸出一个小球，又记下数字b．这样就得到一个点的坐标（a，b）．
（1）求这个点（a，b）恰好在函数y＝﹣x的图象上的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程，并求出结果）
（2）如果再往口袋中增加n（n≥1）个标上数字2的小球，按照同样的操作过程，所得到的点（a，b）恰好在函数y＝﹣x的图象上的概率是　　（请用含n的代数式直接写出结果）．
【分析】（1）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与这个点（a，b）恰好在函数y＝﹣x的图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）由再往口袋中增加n（n≥1）个标上数字2的小球，共有（n+3）2种等可能的结果，其中符合要求的结果有2（n+1）种，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）列表得：
a
b
2
﹣2
3
2
（2，2）
（2，﹣2）
（2，3）
﹣2
（﹣2，2）
（﹣2，﹣2）
（﹣2，3）
3
（3，2）
（3，﹣2）
（3，3）
∵共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有2种，
∴P（点在函数图象上）＝；

（2）∵再往口袋中增加n（n≥1）个标上数字2的小球，共有（n+3）2种等可能的结果，其中符合要求的结果有2（n+1）种，
故答案为：．
23．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在BC、AC上，且DC＝DE．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若AB＝5，AE＝1，DE＝3，求BC的长．

【分析】（1）与等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，∠DEC＝∠C，得出∠DEC＝∠B，即可得出△ABC∽△DEC；
（2）求出CE，由相似三角形的对应边成比例得出，即可求出BC的长．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DC＝DE，
∴∠DEC＝∠C，
∴∠DEC＝∠B，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DEC；
（2）解：∵AB＝AC＝5，AE＝1，
∴CE＝AC﹣AE＝4，
∵△ABC∽△DEC，
∴，
即＝．
解得：BC＝．
24．（9分）小李2014年参加工作，每年年底都把本年度收入减去支出后的余额存入银行（存款利息记入收入），2014年底到2019年底，小李的银行存款余额变化情况如下表所示：（单位：万元）
年份
2014年
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
收入
3
8
9
a
14
18
支出
1
4
5
6
c
6
存款余额
2
6
10
15
b
34
（1）表格中a＝　11　；
（2）请把下面的条形统计图补充完整；（画图后标注相应的数据）
（3）请问小李在哪一年的支出最多？支出了多少万元？

【分析】（1）本年度收入减去支出后的余额加上上一年存入银行的余额作为本年的余额，则可建立一元一次方程10+a﹣6＝15，然后解方程即可；
（2）根据题意得，再解方程组得到2018年的存款余额，然后补全条形统计图；
（3）利用（2）中c的值进行判断．
【解答】解：（1）10+a﹣6＝15，解得，a＝11，
故答案为：11；
（2）根据题意得，解得，，
即存款余额为22万元，
条形统计图补充为：

（3）小李在2018年的支出最多，支出了7万元．
25．（8分）初夏五月，小明和同学们相约去森林公园游玩．从公园入口处到景点只有一条长15km的观光道路．小明先从入口处出发匀速步行前往景点，1.5h后，迟到的另3位同学在入口处搭乘小型观光车（限载客3人）匀速驶往景点，结果反而比小明早到45min．已知小型观光车的速度是步行速度的4倍．
（1）分别求出小型观光车和步行的速度．
（2）如果小型观光车在某处让这3位同学下车步行前往景点（步行速度和小明相同），观光车立即返回接载正在步行的小明后直接驶往景点，并正好和这3位同学同时到达．求这样做可以使小明提前多长时间到达景点？（上下车及车辆调头时间忽略不计）
【分析】（1）分别表示出小型观光车和步行所用的时间，进而得出等式求出答案；
（2）首先表示出观光车返回与小明相遇用时，进而求出观光车在距景点的距离，求出小明全程用时进而得出答案．
【解答】解：（1）设步行的速度为x km/h，则小型观光车的速度为4x km/h．
由题意得：＝1.5++，
解得x＝5．
经检验，x＝5是原方程的根，
答：步行的速度为5 km/h，小型观光车的速度为20 km/h；

（2）设观光车在距景点m km处把人放下，
此时观光车行驶用时 h，小明已步行路程为：5×（1.5+）＝ km．
故观光车返回与小明相遇用时＝ h．
由题意得×2+＝，
解得：m＝．
小明此时全程用时为1.5++＝（h），
故小明可提前﹣＝ h，
答：这样做可以使小明提前h到达景点．
26．（9分）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．
①求证：DQ＝AE；
②推断：的值为　1　；
（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．

【分析】（1）①由正方形的性质得AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．所以∠HAO+∠OAD＝90°，又知∠ADO+∠OAD＝90°，所以∠HAO＝∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE＝DQ．
②证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题．
（2）结论：＝k．如图2中，作GM⊥AB于M．证明：△ABE∽△GMF即可解决问题．
（3）如图2中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．利用相似三角形的性质求出PM，CM即可解决问题．
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．
∴∠QAO+∠OAD＝90°．
∵AE⊥DQ，
∴∠ADO+∠OAD＝90°．
∴∠QAO＝∠ADO．
∴△ABE≌△DAQ（ASA），
∴AE＝DQ．
②解：结论：＝1．
理由：∵DQ⊥AE，FG⊥AE，
∴DQ∥FG，
∵FQ∥DG，
∴四边形DQFG是平行四边形，
∴FG＝DQ，
∵AE＝DQ，
∴FG＝AE，
∴＝1．
故答案为1．

（2）解：结论：＝k．
理由：如图2中，作GM⊥AB于M．

∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴＝，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴＝＝＝k．

（3）解：如图2中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．

∵FB∥GC，FE∥GP，
∴∠CGP＝∠BFE，
∴tan∠CGP＝tan∠BFE＝＝，
∴可以假设BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，
∵＝，FG＝2，
∴AE＝3，
∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，
∴k＝1或﹣1（舍弃），
∴BE＝3，AB＝9，
∵BC：AB＝2：3，
∴BC＝6，
∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，
∴∠FEB＝∠EPM，
∴△FBE∽△EMP，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EM＝，PM＝，
∴CM＝EM﹣EC＝﹣3＝，
∴PC＝＝．
27．（10分）已知，如图1，直线l与反比例函数y＝（k＞0）位于第一象限的图象相交于A、B两点，并与y轴、x轴分别交于E、F．

（1）试判断AE与BF的数量关系并说明理由．
（2）如图2，若将直线l绕点A顺时针旋转，使其与反比例函数y＝的另一支图象相交，设交点为B．试判断AE与BF的数量关系是否依然成立？请说明理由．
【分析】（1）作AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N，连接MN、OA、OB、BM、AN，由AM∥x轴，得到S△AMN＝S△AMO＝，同理，S△BMN＝S△BNO＝，于是得到S△AMN＝S△BMN，推出A、B两点到MN的距离相等，且A、B位于MN同侧，故AB∥MN，得到四边形AMNF与BNME均为平行四边形，根据平行四边形的性质得到AM＝FN，EM＝BN．根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）作AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N，连接MN、OA、OB、BM、AN，由AM∥x轴，得到S△AMN＝S△AMO＝，同理，S△BMN＝S△BNO＝，于是得到S△AMN＝S△BMN，推出A、B两点到MN的距离相等，且A、B位于MN同侧，故AB∥MN，得到四边形AMNF与BNME均为平行四边形，根据平行四边形的性质得到AM＝FN，EM＝BN．根据全等三角形的性质即可得到结论；
【解答】解：（1）AE＝BF，
理由如下：作AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N，连接MN、OA、OB、BM、AN，
∵AM∥x轴，
∴S△AMN＝S△AMO＝，
同理，S△BMN＝S△BNO＝，
∴S△AMN＝S△BMN，
即A、B两点到MN的距离相等，且A、B位于MN同侧，故AB∥MN，
∴四边形AMNF与BNME均为平行四边形，
∴AM＝FN，EM＝BN．
又∵∠AME＝∠BNF＝90°，
在△EMA与△BNF中，
，
∴△EMA≌△BNF，
∴AE＝BF；

（2）结论依然成立，AE＝BF，
理由：作AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N，连接MN、OA、OB、BM、AN，
∵AM∥x轴，
∴S△AMN＝S△AMO＝，
同理，S△BMN＝S△BNO＝，
∴S△AMN＝S△BMN，
即A、B两点到MN的距离相等，且A、B位于MN同侧，故AB∥MN，
∴四边形AMNF与BNME均为平行四边形，
∴AM＝FN，EM＝BN．
又∵∠AME＝∠BNF＝90°，
在△EMA与△BNF中，
，
∴△EMA≌△BNF，
∴AE＝BF．


28．（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y＝x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．

【分析】（1）①求出点A的坐标，直线直线OA的解析式即可解决问题．
②求出直线OB的解析式，求出点N的坐标，利用矩形的性质求出点P的坐标，再利用待定系数法求出m的值即可．
（2）分两种情形：①当点A在y轴的右侧时，设A（a，a2），求出点P的坐标利用待定系数法构建方程求出a即可．
②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，利用①中结论即可解决问题．
【解答】解：（1）①∵点A在y＝x2的图象上，横坐标为8，
∴A（8，16），
∴直线OA的解析式为y＝2x，
∵点M的纵坐标为m，
∴M（m，m）．

②假设能在抛物线上，连接OP．
∵∠AOB＝90°，
∴直线OB的解析式为y＝﹣x，
∵点N在直线OB上，纵坐标为m，
∴N（﹣2m，m），
∴MN的中点的坐标为（﹣m，m），
∴P（﹣m，2m），把点P坐标代入抛物线的解析式得到m＝．

（2）①当点A在y轴的右侧时，设A（a，a2），
∴直线OA的解析式为y＝ax，
∴M（，2），
∵OB⊥OA，
∴直线OB的解析式为y＝﹣x，可得N（﹣，2），
∴P（﹣，4），代入抛物线的解析式得到，﹣＝±4，
解得，a＝4±4，
∴直线OA的解析式为y＝（±1）x．

②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，
∴直线OA 的解析式为y＝﹣x＝﹣（±1）x，
综上所述，满足条件的直线OA的解析式为y＝（±1）x或y＝﹣（±1）x．