黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三下学期第三次模拟理科数学试题

哈师大附中2020年高三第三次模拟考试

理科数学

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上.

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则集合的子集的个数为（    ）

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

【答案】B

【解析】

【分析】

可解方程组得出，或，从而得出有两个元素，从而得出的子集个数．

【详解】解得，或；

,即中有2个元素；

子集个数为4．

故选：B．

【点睛】考查描述法表示集合的概念，交集的定义及运算，以及子集的定义，子集个数的求法．

2. 已知复数纯虚数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知可得实部为0且虚部不为0，求得与的值，再由同角三角函数基本关系式得答案．

【详解】为纯虚数，

，解得，根据

可得．

则．

故选：A．

【点睛】本题考查复数的基本概念，训练了同角三角函数基本关系式的应用，是基础的计算题．

3. 小赵到哈尔滨南岗区7个小区和道里区8个小区调查空置房情况，将调查得到的小区空置房的套数绘成了如图所示的茎叶图，则调查中的南岗区空置房套数的中位数与道里区空置房套数的中位数之差为（    ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

【答案】D

【解析】

【分析】

根据中位数的求法，将南岗区7个小区和道里区8个小区的空置房套数按照从小到大顺序排列即可求出．

【详解】南岗区7个小区的空置房套数为：60,73,74,79,81,82,91,所以中位数为79；

道里区8个小区的空置房套数为：69,74,75,76,80,82,83,90,所以中位数为；

故南岗区空置房套数的中位数与道里区空置房套数的中位数之差为．

故选：D．

【点睛】本题主要考查利用茎叶图求中位数，属于基础题．

4. “新冠肺炎”疫情的控制需要根据大数据进行分析，并有针对性的采取措施.下图是甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周内的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图.根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，下列说法错误的是（    ）

A. 2月7日到2月13日甲省的平均新增“新冠肺炎”确诊人数低于乙省

B. 2月7日到2月13日甲省的单日新增“新冠肺炎”确诊人数最大值小于乙省

C. 2月7日到2月13日乙省相对甲省的新增“新冠甲省肺炎”确诊人数的波动大

D. 后四日（2月10日至13日）乙省每日新增“新冠肺炎”确诊人数均比甲省多

【答案】C

【解析】

【分析】

根据图象计算平均数,读数进行比较即可得到结果.

【详解】根据图象所给数据可得2月7日到2月13日甲省的平均新增“新冠肺炎”确诊人数为20， 单日新增最大值为28； 2月7日到2月13日乙省的平均新增“新冠肺炎”确诊人数约为22，单日新增最大值为29，故可得A、B正确；

从图中可观察出甲省人数在之间变化，乙省人数在之间变化，很明显甲省的波动大，故C错误；

 由图可知，后四日乙人数均比甲人数多，故D正确.

故选：C．

【点睛】本题主要考查了统计的相关知识，考查用样本的数字特征估计总体，属于基础题．

5. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用三视图转换为直观图，由此即可求出几何体的体积．

【详解】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是底面边长为2的正方形和高为1的四棱锥．

如图所示：

所以：．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了三视图和直观图形之间的转换，锥体体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和空间想象能力，属于基础题．

6. 如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的的值为（    ）

A. 的值

B. 的值

C. 的值

D. 的值

【答案】A

【解析】

【详解】第一次循环，;

第二次循环，；

第三次循环，，

此时，不成立，结束循环，输出为的值，

故选A.

7. 函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法不正确的是（    ）

A. 函数的最小正周期 B. 函数的图象关于直线对称

C. 函数的图象关于对称 D. 函数在上递增

【答案】D

【解析】

【分析】

先利用辅助角公式化简函数解析式，再根据平移法则可得到函数的解析式，即可判断各选项的真假．

【详解】因为，所以

，即可知函数的最小正周期，A正确；当时，，所以函数的图象关于直线对称，B正确；当时，，所以函数的图象关于对称，C正确；

因为，，所以D错误．

故选：D．

【点睛】本题主要考查辅助角公式和平移法则的应用，以及函数的性质应用，熟记公式和基本性质是解题的关键，属于基础题．

8. 如图，直四棱柱的底面是菱形，，，M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

用向量分别表示,利用向量夹角公式即可求解.

【详解】由题意可得，

故选：D

【点睛】本题主要考查用向量的夹角公式求异面直线所成的角，属于基础题.

9. 已知圆，过圆M内一点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意画出图形，分别求出最长弦和最短弦的值，再由求解．

【详解】解：如图，

，则，

．

四边形的面积为．

故选：．

【点睛】本题考查直线与圆的性质，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题．

10. 已知函数，若函数有三个零点，则实数k的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

把函数有三个零点，可得方程有三个根，进而转化为函数和的图象有三个不同的交点，结合函数的图象、斜率公式和判别式，即可求解.

【详解】由题意，函数有三个零点，即方程有三个根，

函数过定点，

作出函数和的图象，如图所示，

当直线过点和时，此时，

当直线与相切时，

联立方程组，可得，

由，解得，

结合图象可知，若函数和的图象有3个交点，

则实数的取值范围是.

故选：C

【点睛】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，其中解答中把函数的零点转化为两个函数的图象的交点的个数，结合图象求解是解答的关键，意在考查转化思想与数形结合思想的应用，属于中档试题.

11. 已知双曲线的右焦点为F，过原点的直线交双曲线C于A、B两点，且，则双曲线C的离心率取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据图象的对称性和双曲线的定义，分点是否在线段上，结合三角形中边长的关系，得到离心率的范围.

【详解】因为直线和双曲线都关于原点对称，所以、也关于原点对称，

设为左焦点，则、关于原点对称，所以，因为，

所以，所以，

所以，，

①当点不在线段上时，在中，

所以，所以，所以.

②当点在线段上时，，所以，所以.

综上所述，.

故选：A

【点睛】本题主要考查双曲线的定义，图象对称性的应用，解题的关键是构建关于的不等式，求得离心率的取值范围，属于中档题.

12. 若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

令，，即，利用导数研究函数的性质，由递增，由零点存在定理知存在，使，则可得，，代入，得关于的不等式，再构造函数，利用单调性求得的取值范围，再由，求得a的最大值.

【详解】令，，所以，

因为需要保证有意义，所以，所以在上单调递增，

因为当时，，且，

所以，使得，

并且当时，；当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，且，

所以，，

所以

所以，

考虑函数，

其中，

根据复合函数单调性可得函数在上单调递减，

因为，所以解得到，所以，

因为在上单调递增，所以，

所以的最大值为.

故选：C

【点睛】本题主要考查导数的计算和导数在研究函数中的应用，利用导数研究极值时，无法正常求出极值点，可设出极值点作分析，还考查了学生分析推理能力，运算能力，综合应用能力，难度很大.

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上.

13. 2020年5月17日晚“2019年感动中国人物名单揭晓”，中国女排位列其中，在感动中国的舞台上，她们的一句“我们没赢够”，再次鼓舞中国人民中国之光——中国女排，一次次在逆境中绝地反击，赢得奥运冠军，“女排精神”也是我们当前处于“新冠”逆境中的高三学子们学习的榜样，前进的动力.一次比赛中，中国女排能够闯入决赛的概率为0.8，在闯入决赛条件下中国女排能够获胜的概率是0.9，则中国女排闯进决赛且获得冠军的概率是________.

【答案】0.72

【解析】

【分析】

利用相互独立事件概率乘法公式能求出中国女排闯进决赛且获得冠军的概率．

【详解】解：一次比赛中，中国女排能够闯入决赛的概率为0.8，

在闯入决赛条件下中国女排能够获胜的概率是0.9，

则中国女排闯进决赛且获得冠军的概率为：

．

故答案为：0.72．

【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

14. 稠环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳香烃类化合物，长期食用会致癌.下面是一组稠环芳香烃的结构简式和分子式：

由此推断并十苯的分子式为________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据等差数列的定义可以判断出稠环芳香烃的分子式中、的下标分别成等差数列，结合等差数列的通项公式可以求出并n苯的分子式，最后求出并十苯的分子式即可.

【详解】因为稠环芳香烃的分子式中下标分别是：，的下标分别是：

所以稠环芳香烃的分子式中下标成等差数列，首项为，公差为4，所以通项公式为：

，

稠环芳香烃的分子式中下标成等差数列，首项为，公差为2，所以通项公式为：

，

所以并n苯的分子式为：，

因此当时，得到并十苯的分子式为：.

故答案为：

【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的通项公式的应用，考查了数学运算能力和推理论证能力.

15. 是定义在R上的函数，其导函数为，若，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为________.

【答案】

【解析】

【分析】

令，得到，结合函数的单调性求出不等式的解集即可．

【详解】解：，即，

令，则，

故在递增，

而，

，即，

即，

故不等式的解集是，

故答案为：

【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，属于基础题．

16. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则_____；若O是外接圆的圆心，且，则实数______.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

①利用正弦定理边化角，结合两角和差公式进行化简变形，即可得答案．

②取边中点，则，，利用正弦定理边化角，化简即可得出答案．

【详解】①，

，

因为，代入上式得，

，

，

，

，

，

，

，

，

因为

所以，即，

因为是锐角三角形，

所以，

②取边中点，则

，

，

，

，

，

，

所以

．

故答案为：；．

【点睛】本题考查正弦定理，向量数量积的应用，属于中档题．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（一）必考题：共60分.

17. 已知数列，，满足，.

（Ⅰ）令，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前项和.

【答案】（Ⅰ）证明见解析，；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）先由题设条件，再由，进而证明数列为等差数列，求出其通项公式；

（Ⅱ）先由（Ⅰ）和题设条件求出，再利用错位相减法求其前项和即可．

【详解】解：（I）因为

所以

是以2为首项，2为公差的等差数列

（II）由（I）知，

设

【点睛】本题主要考查等差数列的定义、通项公式及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．

18. 新冠肺炎疫情这只“黑天鹅”的出现，给经济运行带来明显影响，住宿餐饮、文体娱乐、交通运输、旅游等行业受疫情影响严重.随着复工复产的有序推动，我市某西餐厅推出线上促销活动：

A套餐（在下列食品中6选3）

西式面点：蔓越莓核桃包、南瓜芝土包、黑列巴、全麦吐司；

中式面点：豆包、桂花糕

B套餐：酱牛肉、老味烧鸡熟食类组合.

复工复产后某一周两种套餐的日销售量（单位：份）如下：

（1）根据该西餐厅上面一周A、B两种套餐的销售情况，结合两种套餐的平均销售量和方差，评价两种套餐的销售情况（不需要计算，只给出结论即可）；

（2）如果该西餐厅每种套餐每日销量少于20份表示业绩“一般”，销量大于等于20份表示业绩“优秀”，求该西餐厅在这一周内B套餐连续两天中至少有一天销量业绩为“优秀”的概率；

（3）某顾客购买一份A套餐，求她所选的面点中所含中式面点个数X的分布列及数学期望.

【答案】（1）根据所给数据可知B套餐平均销量高于A套餐，但是A套餐销售情况比B套餐更稳定，波动性小；（2）；（2）分布列见解析，1.

【解析】

【分析】

（1）本题可以通过结合题目所给数据判断出B套餐与A套餐的平均销量以及销量波动性之间的关系，

（2）首先可结合题意得出共有六种可能事件，然后找出满足题目要求的事件共有三种，二者相除，即可得出结果，

（3）本题首先可以结合题意得出的可能数目为、、，然后计算出每一种情况下对应的概率，即可画出分布列并求出数学期望.

【详解】（1）根据所给数据可知B套餐平均销量高于A套餐，但是A套餐销售情况比B套餐更稳定，波动性小；

（2）设一周内B套餐连续两天中至少有一天销量业绩“优秀” 为事件C

结合题意，一共有六种可能事件，

分别是：、、、、、（每个数字代表对应的星期几），

因为销量大于等于20份表示业绩“优秀”，

所以星期五、星期六以及星期日的业绩为“优秀”，

故满足事件C的要求的可能事件有：、、，

则，

（3）由题意可知，的可能数目为、、，

当时，；

当时，；

当时，，

故X的分布列为：

.

【点睛】本题考查古典概型的概率的相关计算、分布列的画法以及数学期望的相关计算，可根据求出所有的可能事件以及满足题意的可能事件来计算出古典概型的概率，考查组合的灵活应用，考查计算能力，是中档题.

19. 如图1，在直角梯形中，，，，，，点E在上，且，将三角形沿线段折起到的位置，（如图2）.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）在线段上存在点F，满足，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）证明：取中点，连结，推导出，，从而平面，由此能证明平面平面．

（Ⅱ）取中点，连结，推导出，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

【详解】解：（Ⅰ）证明：取中点，连结，

在直角梯形中，，，，，，

点在上，且，将三角形沿线段折起到的位置，，

，，

在中，，，，

，

在中，，，

，，

，，，

，平面，

又面，平面平面．

（Ⅱ）解：取中点，连结，

，，，

，面，，，两两垂直，

如图，建立空间直角坐标系，，，，，2，，，0，，

又是中点，，2，，，0，，，1，，

，3，，又，，

设平面的法向量，，，

，4，，，，，

则，取，得，1，，

平面的法向量，0，，

设平面与平面所成的锐二面角为，

则，

平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．

【点睛】

本题考查考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了学生运用数学基础知识解决实际问题的能力，属于中档题．

20. 已知椭圆，，，，四点中恰有三点在椭圆上，抛物线焦点到准线的距离为.

（1）求椭圆、抛物线的方程；

（2）过椭圆右顶点Q的直线与抛物线交于点A、B，射线、分别交椭圆于点、.

（i）证明：为定值；

（ii）记、的面积分别为、，求的最小值.

【答案】（1）；；（2）（i）证明见解析；（ii）.

【解析】

【分析】

（1）先判断在椭圆上，代入求得，得到椭圆的方程，再根据焦点到准线的距离为，求出，得到抛物线的方程；

（2）（i）设，与的方程联立化简，用坐标表示，利用根与系数的关系，即可证得为定值；

（ii）设直线，与联立，可求出的纵坐标，同理，可求出的纵坐标，再将表示出来并化简求最值.

【详解】（1）关于轴对称，关于轴对称，在上，

若在上，则，不在上，在上，

，，又，,

即椭圆，抛物线.

（2）（i）设，代入中，得

，，

即为定值.

（ii）设直线，将直线代入中得：

，

同理直线，得，

则

当且仅当，即时，的最小值为.

【点睛】本题考查了求椭圆的方程和抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，考查了设而不解，联立方程组，根与系数的关系等基本技巧，结合考查了向量数量积的坐标运算，还考查了分析能力，运算能力，属于中档题.

21. 已知函数.

（Ⅰ）当时，求在上的最值；

（Ⅱ）若对一切，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（Ⅰ）最大值1，最小值；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）当时， 求得函数的导数，得到函数的单调性和最值，即可求解；

（Ⅱ）由不等式的恒成立转化为求解函数的的最值，结合导数对分类讨论求，最后结合函数的单调性和性质，即可求解.

【详解】（Ⅰ）由函数，则，

当时， 可得

令，即，解得；

令，即，解得；

所以在递增，在递减，所以，

又，所以，

所以在上最大值为1，最小值为.

（Ⅱ）由函数，则，解得，

又由，

因为，则，可得，

所以，

（i）当时，，所以在递增，

所以恒成立；

（ii）当时，

当时，单调递增；当时，单调递减，

所以，，，

所以，使得，

所以当时，；当是，，

所以在单调递减，在单调递增，

又因为，

所以，所以，即实数的取值范围是.

【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，恒成立问题的求解，以及三角函数的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

【选修4-4：坐标系与参数方程】

22. 已知曲线（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，正方形的顶点都在上，且A、B、C、D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.

（Ⅰ）求曲线的普通方程及点A、B、C、D的直角坐标；

（Ⅱ）设P为上任意一点，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．

（Ⅱ）利用曲线上的点的范围，进一步求出关系式的范围．

【详解】解：（I），

（II）设

【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．

【选修4-5：不等式选讲】

23. 已知函数.

（Ⅰ）若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值集合A；

（Ⅱ）若，求证：

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由题意可得，由绝对值不等式的性质可得最小值，即可得到所求集合；

（Ⅱ）运用作差比较法，结合因式分解和不等式的性质，即可得证．

【详解】（I）

当且仅当时取.

（II）

由，即

所以

即，得证.

【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，以及不等式的证明，考查绝对值不等式的性质和作差比较法的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．