2023届山东省枣庄市高三下学期第二次模拟考试数学试题含解析

这是一份2023届山东省枣庄市高三下学期第二次模拟考试数学试题含解析，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023届山东省枣庄市高三下学期第二次模拟考试数学试题

一、单选题
1．复数的共轭复数是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算化简，根据共轭复数的概念可得答案.
【详解】,
故的共轭复数为 ，
故选：B
2．已知集合，，则（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】先求出，在判断两个集合的关系，从而可得出答案.
【详解】，
则集合是集合的真子集，
所以，，，，
故ABD错误，A正确.
故选：C.
3．指数函数的图象如图所示，则图象顶点横坐标的取值范围是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的图象可知，，再结合二次函数的顶点式即可解出．
【详解】由图可知，，而，顶点横坐标为，所以．
故选：A．
4．党的十八大以来的十年，是砥砺奋进、矢志“为中国人民谋幸福”的十年．在党中央的正确领导下，我国坚定不移贯彻新发展理念，着力推进高质量发展，推动构建新发展格局，实施供给侧结构性改革，制定一系列具有全局性意义的区域重大战略，经济实力实现历史性跃升．国内生产总值（GDP）从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，稳居世界第二位．下表是2022年我国大陆31省市区GDP数据．
2022年中国大陆31省市区GDP
排名
省份
GDP（单位：亿元）

排名
省份
GDP（单位：亿元）
1
广东省
129118.6

17
辽宁省
2897.5.1
2
江苏省
122875.6

18
云南省
28954.2
3
山东省
87435.1

19
广西壮族自治区
26300.9
4
浙江省
77715.4

20
山西省
25642.6
5
河南省
61345.1
21
内蒙古自治区
23158.7
6
四川省
56749.8
22
贵州省
20164.6
7
湖北省
53734.9
23
新疆维吾尔自治区
17741.3
8
福建省
53109.9
24
天津市
16311.3
9
湖南省
48670.4
25
黑龙江省
15901.0
10
安徽省
45045.0
26
吉林省
13070.2
11
上海市
44652.8
27
甘肃省
11201.6
12
河北省
42370.4
28
海南省
6818.2
13
北京市
41610.9
29
宁夏回族自治区
5069.6
14
陕西省
32772.7
30
青海省
3610.1
15
江西省
32074.7
31
西藏自治区
2132.6
16
重庆市
29129.0




则由各省市区GDP组成的这组数据的第75百分位数为（    ） （单位：亿元）A．16311.3 B．17741.3 C．48670.4 D．53109.9
【答案】D
【分析】根据百分位数的计算方法计算即可.
【详解】解：因为，
所以，第75百分位数为从小到大排序后的第24个数，
所以，由表中数据可知，第24个数为福建省的数据，即为53109.9.
故选：D
5．已知，，是同一平面内两两不共线的单位向量，下列结论可能成立的是（    ）
A．
B．
C．存在不全为0的实数，，使
D．若，则
【答案】D
【分析】由平面向量数量的定义、共线向量定理可判断A，B，C；由可得，两边同时平方可得，同理可得，由向量的模长公式可求出可判断D正确.
【详解】对于A，由可得，
因为
所以，故，共线，，共线，故A不正确；
对于B，若，则，则，由向量共线定理可知，，共线，故B不正确；
对于C，存在不全为0的实数，，使，由向量共线定理可得，共线，不满足，是不共线的向量，故C不正确；
对于D，由可得，两边同时平方，则，
，则
同理可得，
所以，故D正确.
故选：D.
6．某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（    ）
参考数据：，，．
A．455 B．2718 C．6346 D．9545
【答案】B
【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于[80，88]的人数.
【详解】由题意可知，，

则数学成绩位于[80，88]的人数约为.
故选：B
7．如图，在棱长为1的正方体中，M是的中点，点P是侧面上的动点，且．平面，则线段MP长度的取值范围为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件及三角形的中位线，利用线面平行的判定定理及面面平行的判定定理，结合直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理即可求解.
【详解】取的中点为,取的中点为,取的中点为，如图所示

因为是的中点，是的中点，
所以,
因为平面,平面,
所以平面,
同理可得，平面,
又,平面,
所以平面平面.
又平面,线段扫过的图形是,
由,得,,
,,
所以,即为直角，
所以线段长度的取值范围是：.
故选：A.
8．已知，，曲线上存在点，使得，则a的范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出的范围，根据题意由可得只需证明，即函数在有解，令，利用导数可得的单调性，再利用单调性可得答案.
【详解】因为，所以，
由题意上存在一点使得，
即，只需证明，显然为增函数，
假设，则不满足，
同理不满足，
所以，那么函数即函数在有解，
即，可得，
从而，令，
则，
令，即，解得（舍去），
时， 时，
所以在单调递增，所以，
，，
所以的取值范围为，
即的取值范围为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：由得函数在有解，构造函数令，利用函数的单调性可得答案，本题考查了学生的思维能力、运算能力.

二、多选题
9．已知曲线：，：，则（    ）
A．的长轴长为 B．的渐近线方程为
C．与的离心率互为倒数 D．与的焦点相同
【答案】BC
【分析】将曲线，化为标准方程，可知分别表示椭圆与双曲线，结合它们的几何性质逐项判断即可．
【详解】曲线整理得，则曲线是焦点在轴上的椭圆，
其中，所以，离心率为，
故曲线的长轴长，故A错误；
曲线整理得，则曲线是焦点在轴上的双曲线，
其中，所以，离心率为，
的渐近线方程为，即，故B正确；
，所以与的离心率互为倒数，故C正确；
的焦点在轴上，的焦点在轴上，焦点位置不同，故D错误．
故选：BC.
10．已知为等差数列，前n项和为，，公差，则（    ）
A．
B．当戓6时，取得最小值为30
C．数列的前10项和为50
D．当时，与数列共有671项互为相反数．
【答案】AC
【分析】根据等差数列基本量求出通项公式及，即可判断A、B；判断通项大于零时的取值，将的前10项和列出，利用和之间的关系及的公式代入即可判断C；分析中的负项的性质及大小，进而判断中项的性质及大小，计算项数即可.
【详解】解：因为等差数列，且，公差，
所以，
，
所以，，
所以选项A正确；
因为，
根据二次函数的对称性及开口向下可知：
取得最大值为，故选项B错误；
记的前10项和为，
因为，当时，解得，
当时，解得，
所以

，
因为，所以，
所以，故选项C正确；
记，因为，，
所以，所以当时，，
由，，可知为偶数，
若与互为相反数，则，且为偶数，
由，所以为偶数，即为偶数，即为偶数，
即，即，且为偶数，所以，且为偶数，
故这样的有670个，故选项D错误.
故选：AC
11．已知函数的图象过点和，的最小正周期为T，则（    ）
A．T可能取
B．在上至少有3个零点
C．直线可能是曲线的一个对称轴
D．若函数的图象在上的最高点和最低点共有4个，则
【答案】BCD
【分析】根据题意可知，，，即可求出，从而根据函数的性质即可判断各选项的真假．
【详解】由图可知，，即，而，所以，
又，所以，即，，
所以．
对A，若，则，，显然，无整数解，错误；
对B，由可得，，因为，所以，
故有解，即在上至少有3个零点，正确；
对C，若直线可能是曲线的一个对称轴，则，
即，，又，，所以，，符合，正确；
对D，因为，所以，若函数的图象在上的最高点和最低点共有4个，则，，解得：，而，，所以，当时，符合，正确．
故选：BCD．
12．已知函数，则下列结论正确的是（    ）
A．当时，若有三个零点，则b的取值范围为
B．若满足，则
C．若过点可作出曲线的三条切线，则
D．若存在极值点，且，其中，则
【答案】ACD
【分析】对于A ，将代入求导求极值，有三个零点，则令极大值大于零，极小值小于零即可；
对于B ，根据，推断函数的对称性，进而可以求得的值；
对于C ，将代入得到的解析式，根据过某点处导数的几何意义的求法求解即可；
对于D ，利用导数在函数单调性中的应用，先分和讨论函数的单调性，得到且，此时可得的表达式，令，结合，再化简即可得到答案.
【详解】对于A ，，当时，，，
令，解得或，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时取得极大值，当时取得极小值，
有三个零点，，解得，故选项A正确；
对于B ，满足，根据函数的对称可知的对称点为，将其代入，得，
解得，故选项B错误；
对于C ，，

设切点为，则切线的斜率
化简，
得
由条件可知该方程有三个实根，有三个实根，
记，
令，解得或，
当时取得极大值，当时取得极小值，
因为过点可作出曲线的三条切线，
所以，解得，故选项C正确；
对于D ，，，
当，在上单调递增；
当，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
存在极值点，
由得
令，
，于是，
所以
，
化简得：，
，，于是，
.故选项D正确；
故选：ACD.

三、填空题
13．满足圆与相交的一个a值为____________．
【答案】（答案不唯一，只要在区间即可）
【分析】根据两圆相交可求得圆心距大于半径之差的绝对值，小于半径之和，即可得的范围，从而可的答案.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
因为两圆相交，
所以，
即，解得或，
所以满足圆与相交的一个a值可以为.
故答案为：.（答案不唯一，只要在区间即可）
14．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其外接球半径为2，则的最大值为____________．
【答案】8
【分析】由长方体模型得出，再由基本不等式得出最值.
【详解】设，因为三棱锥的三条侧棱两两垂直，
所以由长方体模型可知，，即.
，当且仅当时，取等号.
即的最大值为.
故答案为：
15．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球．采取不放回摸球，从中随机摸出22个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数．当最大时，____________．
【答案】17.8##
【分析】首先分析超几何分布最大项确定的值，再通过超几何分布的期望公式求出的值，即可求出.
【详解】不放回的摸球，每次实验结果不独立，为超几何分布
，
最大时，即最大，
超几何分布最大项问题，利用比值求最大项
设
则


令





故当时，严格增加，
当时，严格下降，
即时取最大值，
此题中，
根据超几何分布的期望公式可得，

故答案为：17.8
16．已知点在抛物线上，过点A作圆的两条切线分别交抛物线于B，C两点，则直线BC的方程为____________．
【答案】
【分析】根据给定的条件，求出抛物线的方程，设出圆的切线方程并求出切线的斜率，再设出点B，C的坐标并求出，即可求出直线方程作答.
【详解】因为点在抛物线上，则，解得，即抛物线方程为，
显然过点A作圆的两条切线斜率存在，设此切线方程为，即，
于是，解得，设点，
不妨令直线的斜率分别为，于是，，
同理，直线的斜率，而点，
直线BC的方程为，即.
故答案为：
【点睛】结论点睛：点是抛物线上的两点，则直线斜率；点是抛物线上的两点，则直线斜率.

四、解答题
17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且．
(1)求A；
(2)若，△ABC的面积为，求a．
【答案】(1)
(2)．

【分析】（1）由结合正弦定理的边化角公式得出A；
（2）由面积公式得出，再由余弦定理得出.
【详解】（1）由得，
又，所以．
由正弦定理得，
又，所以，
即．又A为△ABC的内角，所以．
（2）由得，，
解得．
又根据余弦定理得，
所以．
18．已知数列的首项，且满足．
(1)证明：为等比数列；
(2)已知，为的前n项和，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)1048

【分析】（1）由结合定义证明即可；
（2）由（1）得出，再讨论n为奇数和偶数，结合等比和等差求和公式得出．
【详解】（1）由可得．
又，所以是以为公比，1为首项的等比数列．
（2）由（1）可得，即．
当n为奇数时，；
当n为偶数时，．
所以

．
19．在四棱棱中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，．M为线段PD上一点（M不与D重合），且．

(1)证明：M为PD的中点；
(2)若平面BAM与平面CAM夹角的余弦值为，求AB．
【答案】(1)证明见解析
(2)．

【分析】（1）先证明CD⊥平面PAD，从而，再证明AM⊥平面PCD，从而得到，根据可得到M为PD的中点.
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．利用向量的方法求解即可.
【详解】（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以．
因为，，
平面PAD，平面PAD，
所以CD⊥平面PAD．
因为平面PAD，所以．
又AM⊥MC，，平面PCD，平面PCD，
所以AM⊥平面PCD．
又平面PCD，所以．
又因为，所以M为PD的中点．
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则，，．
设平面BAM的法向量，
因为，，
所以，令，则．
设平面CAM的法向量为，
因为，，
所以，令，得．
设平面BAM与平面CAM夹角为，则，
解得，即．
20．某市正在创建全国文明城市，学校号召师生利用周末从事创城志愿活动．高三（1）班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宜传员、文明监督员三项可供选择．每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为．每人每参加1项活动可获得综合评价10分，选择参加几项活动彼此互不影响，求
(1)在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；
(2)记随机选取的两人得分之和为X，求X的期望．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据条件概率的计算公式即可求得答案；
（2）方法一：根据女生参加活动的人数确定变量的可能取值，计算每个取值对应的概率，可得变量的分布列，即可求得期望；
方法二：分别计算出一名女生和一名男生参加活动可获得分数的期望，设恰有Y名女生参加活动，则男生有名参加活动，，计算出变量Y的期望，即可求X的期望.
【详解】（1）设“有女生参加活动”为事件A，“恰有一名女生参加活动”为事件B．
则，，
所以．
（2）方法一: “选取的两人中女生人数为i”记为事件，，
则，，．
由题意知X的可能值为，“得分为分”分别记为事件，，，，，则
，，；
，，；
，，．
；

；


；

；
，
所以X的分布列为
X
20
30
40
50
60
P






所以．
方法二：
根据题意，一名女生参加活动可获得分数的期望为，
一名男生参加活动可获得分数的期望为．
设恰有Y名女生参加活动，则男生有名参加活动，
，
则，，．
所以Y的分布列为
Y
0
1
2
P




则有，
所以．
【点睛】难点点睛：本题考查了条件概率的计算，比较基础，第二问考查随机变量的期望的求解，求解的思路并不困难，但难点在于要根据变量的取值的可能情况，计算每种情况相应的概率，计算较复杂，计算量较大，需要思维缜密，计算仔细。
21．已知双曲线C：的右焦点为，一条渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)在x轴上是否存在与F不重合的点P，使得当过点F的直线与C的右支交于A，B两点时，总成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在

【分析】（1）由焦点坐标和渐近线方程求出可得答案；
（2）假设存在满足题意，设，，设直线AB方程为与双曲线方程联立，方法一：由得出，代入韦达定理可得答案；方法二：利用两点间的距离求出、，过A，B两点向x轴做垂线得，代入韦达定理化简可得答案．
【详解】（1）由题意知，解得，
故双曲线C的方程为：；
（2）假设存在满足题意，设，，
由题意知，直线AB不与x轴重合，设直线AB：，
联立，
得，
则，，
且，．
方法一：
因为，所以PF是∠APB的角平分线，
则，
即，
则，
整理得，
故，化简得：（*），
所以当时，（*）式总成立，此时，
故存在满足题意．
方法二：

，
同理．
过A，B两点向x轴做垂线，易得，
所以，即．
化简得，
又因为，，整理得，
故，化简得：（*），
所以当时，（*）式总成立，此时，
故存在满足题意．

22．已知函数．
(1)当时，求证：；
(2)当时，函数的零点从小到大依次排列，记为
证明：（i）；
（ii）.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析

【分析】（1）求导，讨论单调性，求最值即可证明；
（2）（i）根据（1）得函数零点区间，变形为，，构造函数，求导，利用单调性即可证明；
（ii）利用导数研究函数的单调性，找到零点区间即可求得零点范围即可证明.
【详解】（1），则，令，
则，当时，，故在上单调递增，
又，故在上单调递减，在上单调递增，
又，所以；
当时，，，故，
又，所以在时恒成立；
综上，当时，．
（2）（i）由（1）知在内无零点，则，
由知，，，
令，，，
所以在上单调递减，
又，所以，即．
（ii）当时，，在上单调递减，
，；所以，使得，
当当时，单调递增；当时，单调递减；
记，则，令得，故函数在上单调递增，令得，故函数在上单调递减，所以，
故，又，所以在有且只有一个零点，记为；
当，时，，
故，在无零点；
当，时，，
故在上单调递增；
当，，，
故在上单调递减；
又，，
；
所以，使得；
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
又，，，
所以在，，各有一个零点，
在，上的两个零点分别为，，
所以，又，，
所以；
综上.
【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性，如果一次求导无法解决时，可以利用多次求导的方法来解决.在此过程中，要注意导函数和原函数间的对应关系.