广西专用高考数学一轮复习考点规范练30等差数列及其前n项和含解析新人教A版文

考点规范练30　等差数列及其前n项和

基础巩固

1.若{an}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d等于(　　)

A.-2 B.- C. D.2

2.在等差数列{an}中,已知a1=2,a2+a3+a4=24,则a4+a5+a6等于(　　)

A.38 B.39 C.41 D.42

3.记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=(　　)

A.-12 B.-10 C.10 D.12

4.已知等差数列{an}的前4项和为30,前8项和为100,则它的前12项和为(　　)

A.110 B.200 C.210 D.260

5.已知数列{an}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前n项和为Sn,则使得Sn达到最大的n是(　　)

A.18 B.19 C.20 D.21

6.(2021山西吕梁一模)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,满足a3=3a1,a2=3a1-1,则数列的前10项和为(　　)

A. B.55 C. D.65

7.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是　　　　　斤.(“斤”非国际通用单位) 

8.已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是　　　　　. 

9.若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=.

(1)求证:成等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

10.(2021新高考Ⅱ)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,若a3=S5,a2a4=S4.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求使Sn>an成立的n的最小值.

能力提升

11.已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且2a1+3a3=S6,给出以下结论:

①a10=0;②S10最小;③S7=S12;④S19=0.

其中一定正确的结论是(　　)

A.①② B.①③④ 

C.①③ D.①②④

12.已知数列{an}是等差数列,数列{bn}满足bn=anan+1an+2(n∈N*),设Sn为{bn}的前n项和.若a12=a5>0,则当Sn取得最大值时,n的值等于　　　　　. 

13.在数列{an}中,其前n项和为Sn,a1=1,a2=2,当整数n≥2时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,则S15=　　　　　. 

14.(2021全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积.已知=2.

(1)证明:数列{bn}是等差数列;

(2)求{an}的通项公式.

15.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1+a5=,S7=63.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}满足b1=a1,且bn+1-bn=an+1,求数列的前n项和Tn.

高考预测

16.在等差数列{an}中,已知a1+a4+a7=30,a3+a6+a9=24,则其前9项和S9=　. 

17.(2021广东珠海二模)已知等差数列{an}满足a1=-1,a4=2a2+a3.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若bn=cos,求数列{bn}的前40项和S40.

答案：

1.B　解析由a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-a1=-1,得a1=1.

又由a3=a1+2d=1+2d=0,得d=-.故选B.

2.D　解析由a1=2,a2+a3+a4=24,得3a1+6d=6+6d=24,解得d=3,所以a4+a5+a6=3a1+12d=42.

3.B　解析因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.

4.C　解析设{an}的前n项和为Sn.

∵在等差数列{an}中,S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,

又S4=30,S8=100,∴30,70,S12-100成等差数列,

∴2×70=30+S12-100,解得S12=210.

5.C　解析a1+a3+a5=105⇒a3=35,a2+a4+a6=99⇒a4=33,

则{an}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此当Sn取得最大值时,n=20.

6.C　解析设等差数列{an}的公差为d,则

所以a1=1,d=1,所以Sn=n+,

所以,所以=1,

所以是以1为首项,为公差的等差数列,

数列的前10项和T10=10+.

7.184　解析用a1,a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵斤数,

由题意,得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,

即8a1+×17=996,解得a1=65.

所以a8=65+7×17=184.

8.16　解析∵{an}为等差数列,设公差为d,a2a5+a8=0,S9=27,

∴

整理②得a1+4d=3,即a1=3-4d,③

把③代入①解得d=2,∴a1=-5.

∴S8=8a1+28d=16.

9.(1)证明当n≥2时,由an+2SnSn-1=0,

得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,

所以=2.

又=2,故是首项为2,公差为2的等差数列.

(2)解由(1)可得=2n,Sn=.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1==-.

当n=1时,a1=不适合上式.

故an=

10.解(1)由等差数列的性质可得S5=5a3,则a3=5a3,解得a3=0.

设等差数列的公差为d,从而有a2a4=(a3-d)(a3+d)=-d2,

S4=a1+a2+a3+a4=(a3-2d)+(a3-d)+a3+(a3+d)=-2d,

从而-d2=-2d,由于公差不为0,故d=2,

数列{an}的通项公式为an=a3+(n-3)d=2n-6.

(2)由数列的通项公式可得a1=2-6=-4,则Sn=n×(-4)+×2=n2-5n,

故不等式Sn>an,即n2-5n>2n-6,整理可得(n-1)(n-6)>0,解得n<1或n>6,又n为正整数,故n的最小值为7.

11.B　解析设等差数列{an}的公差为d,

则2a1+3a1+6d=6a1+15d,

即a1+9d=0,a10=0,故①正确;

若a1>0,d<0,则S9=S10,

且它们为Sn的最大值,故②错误;

S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,

即S7=S12,故③正确;

S19==19a10=0,故④正确.

12.16　解析设{an}的公差为d,由a12=a5>0,

得a1=-d,a12<a5,即d<0,

所以an=d,从而可知当1≤n≤16时,an>0;

当n≥17时,an<0.

从而b1>b2>…>b14>0>b17>b18>…,b15=a15a16a17<0,b16=a16a17a18>0,

故S14>S13>…>S1,S14>S15,S15<S16,S16>S17>S18>….

因为a15=-d>0,a18=d<0,

所以a15+a18=-d+d=d<0,

所以b15+b16=a16a17(a15+a18)>0,

所以S16>S14,所以Sn中S16最大.

故答案为16.

13.211　解析由Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1),

得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1=2,

即an+1-an=2(n≥2),

则数列{an}从第二项起构成以2为首项,2为公差的等差数列,所以S15=1+2×14+×2=211.

14.(1)证明当n=1时,b1=S1,易得b1=.

当n≥2时,=Sn,代入=2消去Sn,得=2,化简得bn-bn-1=.

故{bn}是以为首项,为公差的等差数列.

(2)解易得a1=S1=b1=.

由(1)可得bn=,由=2可得Sn=.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1==-,显然a1不满足该式.

故an=

15.解(1)(方法一)设正项等差数列{an}的首项为a1,公差为d,

则解得

故数列{an}的通项公式为an=2n+1.

(方法二)∵{an}是等差数列,且a1+a5=,

∴2a3=,又an>0,∴a3=7.

∵S7==7a4=63,

∴a4=9,∴公差d=a4-a3=2.

∴an=a3+(n-3)d=2n+1,即数列{an}的通项公式为an=2n+1.

(2)∵bn+1-bn=an+1,且an=2n+1,∴bn+1-bn=2n+3.

又b1=a1=3,∴当n≥2时,bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=(2n+1)+(2n-1)+…+5+3=n(n+2).

当n=1时,b1=3满足上式,∴bn=n(n+2).

∴.

∴Tn=+…+

=1-+++…++

=1+=.

16.81　解析在等差数列{an}中,

由a1+a4+a7=3a4=30,得a4=10.

由a3+a6+a9=3a6=24,得a6=8.

故S9==81.

17.解(1)设等差数列{an}的公差为d,a4=a1+3d,2a2+a3=3a1+4d.

由a1=-1,a4=2a2+a3,则-1+3d=-3+4d,得d=2,

所以an=2n-3.

(2)因为bn=cos,则当n为奇数时,bn=0;

当n为偶数时,若n=4k+2,k∈N,则bn=-,若n=4k+4,k∈N,则bn=.

所以S40=()+()+()+…+()+()=2d(a2+a4+a6+a8+…+a40)=4×=3120.