2018-2019学年湖北省武汉市洪山区八年级（上）期末数学试卷

这是一份2018-2019学年湖北省武汉市洪山区八年级（上）期末数学试卷，共23页。

A．x≠3B．x＝3C．x≠0D．x＝0
2．（3分）分式方程1的解为（ ）
A．x＝1B．x＝2C．x＝﹣1D．无解
3．（3分）如图的三角形纸片中，AB＝9，BC＝6，AC＝5．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长是（ ）
A．7B．8C．9D．10
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．ab2•3a2b＝3a2b2
C．（﹣a3）2＝a6D．﹣2a6÷a2＝﹣2a3
5．（3分）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．m（a+b）＝ma+mb
B．a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21
C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
D．x2+16﹣y2＝（x+y）（x﹣y）+16
6．（3分）利用图1面积的不同表示方法可以验证代数恒等式：a2+b2＝c2（勾股定理）．实际上，还有很多代数恒等式也可用这种方法说明其正确性，那么根据图2所表示的代数恒等式为（ ）
A．（x+2y）（x+y）＝x2+3xy+3y2
B．（x+2y）（x+y）＝x2+2xy+3y2
C．（2x+y）（x+2y）＝2x2+5xy+2y2
D．（x+2y）（x+y）＝x2+3xy+2y2
7．（3分）把3x3﹣12xy2分解因式，结果正确的（ ）
A．3（x+2xy）（x﹣2xy）B．3x（x2﹣4y2）
C．3x（x﹣2y）（x+2y）D．3x（x﹣4y2）
8．（3分）计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）抗震救灾活动中，小童统计了甲、乙两个班的捐款情况，得到三个信息：设甲班有x人，则依题意可列方程为（ ）
①甲班捐款2500元，乙班捐款2700元；
②乙班平均每人捐款数比甲班多；
③甲班比乙班多5人．
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，∠AOC＝∠BOC＝10°，OC＝20，在OA上找一点M，在OB上找一点N，则CM+MN的最小值是（ ）
A．20B．16C．12D．10
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上．
11．（3分）计算 ．
12．（3分）若分式的值为零，则x＝ ．
13．（3分）0.00000105用科学记数法表示为 ．
14．（3分）若x2﹣2（m﹣1）x+36是一个完全平方式，则m的值为 ．
15．（3分）如图，等腰Rt△ABD和Rt△ABC中，∠ADB＝∠ACB＝90°，连接CD．若AC＝12，BC＝4，则四边形ABCD的面积是 ．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，AB．将Rt△ABC折叠，使得点C恰好落在AB边上的点E处，折痕为AD．P为折痕AD上一动点，则△PEB周长的最小值是 ．
三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程．
17．（8分）解方程或化简分式：
（1）
（2）
18．（8分）利用乘法公式计算：
（1）（2a﹣1）（1+2a）﹣2（a﹣2）2
（2）（2a﹣3b﹣1）（2a+3b﹣1）﹣（2a﹣3b+1）2
19．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于D，过C作CN⊥AD交AD于H，交AB于N．
（1）△ANC的形状是 ；（在“等边三角形”、“等腰三角形”、“直角三角形”、“等腰直角三角形”中选一个填上去）
（2）若AB＝10，AC＝6，求CD的长．
20．（8分）将下列多项式因式分解：
（1）2（a﹣2b）2﹣6（a﹣2b）3
（2）x3﹣7x2﹣30x
21．（8分）先阅读下面的内容，再解决问题．
对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+2xa﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2xa﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变．于是有x2+2xa﹣3a2＝（x2+2xa+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣4a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题：
（1）分解因式a2﹣8a+15；
（2）若；
①当a，b，m满足条件：2a×4b＝8m时，直接写出m的值为 ；
②若△ABC的三边长是a、b、c，且c为奇数，求△ABC的周长．
22．（10分）武汉某道路改造工程，若由甲、乙两工程队合作20天可完成；若甲工程队先单独施工40天，再由乙工程队单独施工10天也可完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，并且要求整个工期不能超过30天，问如何安排甲、乙工程队做这项工程使得花费最少？
23．（10分）已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E在边BC上，点F在射线EC上，且∠EAF＝45°．
（1）如图1，画出△AEF关于直线AF对称的△AE′F，并写出画法；
（2）如图2，若∠AFE＝75°，求的值；
（3）如图3，若BE＝CF，直接写出∠AFE的度数为 ．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点A（a，0）、C（b，0）、B（0，），a、b满足：a2+2ab+2b2﹣4b+4＝0，且AB＝AC．
（1）判断△ABC的形状并证明；
（2）如图1，点D为BA延长线上一点，AD＝AB，E为x轴负半轴上一点，F为DE上一点，连接CF交AD于点G，∠EFC＝120°，求的值；
（3）如图2，R（3a，0）点P为线段BR上一动点，以AP为边作等腰△APQ，PA＝PQ，且∠APQ＝∠RAB，连接AQ．当点P运动时，△ABQ的面积是否变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．
2018-2019学年湖北省武汉市洪山区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x＝3C．x≠0D．x＝0
【分析】直接利用分式有意义的条件进而得出答案．
【解答】解：分式有意义，则3﹣x≠0，
解得：x≠3．
故选：A．
2．（3分）分式方程1的解为（ ）
A．x＝1B．x＝2C．x＝﹣1D．无解
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解．
故选：D．
3．（3分）如图的三角形纸片中，AB＝9，BC＝6，AC＝5．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】根据翻折变换的性质得到DC＝DE，BE＝BC，根据已知求出AE的长，根据三角形周长公式计算即可．
【解答】解：由折叠的性质可知，DC＝DE，BE＝BC＝6，
∵AB＝9，
∴AE＝AB﹣BE＝33，
△AED的周长为：AD+AE+DE＝AC+AE＝8，
答：△AED的周长为8．
故选：B．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．ab2•3a2b＝3a2b2
C．（﹣a3）2＝a6D．﹣2a6÷a2＝﹣2a3
【分析】直接利用整式的混合运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A、a2+a3，无法合并，故此选项错误；
B、ab2•3a2b＝3a3b3，故此选项错误；
C、（﹣a3）2＝a6，正确；
D、﹣2a6÷a2＝﹣2a4，故此选项错误；
故选：C．
5．（3分）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．m（a+b）＝ma+mb
B．a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21
C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
D．x2+16﹣y2＝（x+y）（x﹣y）+16
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D不符合题意；
故选：C．
6．（3分）利用图1面积的不同表示方法可以验证代数恒等式：a2+b2＝c2（勾股定理）．实际上，还有很多代数恒等式也可用这种方法说明其正确性，那么根据图2所表示的代数恒等式为（ ）
A．（x+2y）（x+y）＝x2+3xy+3y2
B．（x+2y）（x+y）＝x2+2xy+3y2
C．（2x+y）（x+2y）＝2x2+5xy+2y2
D．（x+2y）（x+y）＝x2+3xy+2y2
【分析】根据图2列出算式，再求出即可．
【解答】解：根据图2得：长方形的面积为（x+2y）（x+y）＝x2+xy+2xy+2y2＝x2+3xy+2y2，
故选：D．
7．（3分）把3x3﹣12xy2分解因式，结果正确的（ ）
A．3（x+2xy）（x﹣2xy）B．3x（x2﹣4y2）
C．3x（x﹣2y）（x+2y）D．3x（x﹣4y2）
【分析】原式分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：3x3﹣12xy2＝3x（x2﹣4y2）＝3x（x+2y）（x﹣2y）．
故选：C．
8．（3分）计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先把括号内通分得到原式，然后把除法运算化为乘法运算后约分即可．
【解答】解：原式[]

•
．
故选：C．
9．（3分）抗震救灾活动中，小童统计了甲、乙两个班的捐款情况，得到三个信息：设甲班有x人，则依题意可列方程为（ ）
①甲班捐款2500元，乙班捐款2700元；
②乙班平均每人捐款数比甲班多；
③甲班比乙班多5人．
A．B．
C．D．
【分析】人数为未知数，各班的捐款总数已知，根据②中等量关系来建立方程，即可得解．
【解答】解：甲班每人捐款元，乙班每人捐款元，根据②中的等量关系，可得方程：
（1）
故选：C．
10．（3分）如图，∠AOC＝∠BOC＝10°，OC＝20，在OA上找一点M，在OB上找一点N，则CM+MN的最小值是（ ）
A．20B．16C．12D．10
【分析】作点C关于AO的对称点C'，连接C'M，C'O，则CM＝C'M，OC＝OC'＝20，当C'，M，N在同一直线上且MN⊥OB时，C'M+MN的最小值等于线段C'N的长，依据∠C'ON＝30°，即可得到Rt△C'ON中，C'NOC'＝10，进而得出CM+MN的最小值等于10．
【解答】解：如图所示，作点C关于AO的对称点C'，连接C'M，C'O，则CM＝C'M，OC＝OC'＝20，
∴CM+MN＝C'M+MN，
当C'，M，N在同一直线上且MN⊥OB时，C'M+MN的最小值等于线段C'N的长，
又∵∠AOC＝∠BOC＝10°，∠C'OM＝∠COM，
∴∠C'ON＝30°，
∴Rt△C'ON中，C'NOC'＝10，
∴CM+MN的最小值等于10，
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上．
11．（3分）计算 ﹣3 ．
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式3．
故答案为：﹣3．
12．（3分）若分式的值为零，则x＝ 3 ．
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．由分式值为零的条件可知x2﹣9＝0且x+3≠0．
【解答】解：∵分式的值为零，
∴x2﹣9＝0且x+3≠0．
解得：x＝3．
故答案为3．
13．（3分）0.00000105用科学记数法表示为 1.05×10﹣6 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.00000105＝1.05×10﹣6．
故答案为：1.05×10﹣6．
14．（3分）若x2﹣2（m﹣1）x+36是一个完全平方式，则m的值为 7或﹣5 ．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【解答】解：∵x2﹣2（m﹣1）x+36是一个完全平方式，
∴m﹣1＝6或m﹣1＝﹣6，
解得：m＝7或﹣5，
故答案为：7或﹣5
15．（3分）如图，等腰Rt△ABD和Rt△ABC中，∠ADB＝∠ACB＝90°，连接CD．若AC＝12，BC＝4，则四边形ABCD的面积是 48 ．
【分析】延长AD交BC延长线于E，作DF⊥AC于F，DG⊥BE于G，AC交BD于点O，则DG＝CF，DF＝CG，由勾股定理得出AB4，由等腰直角三角形的性质得出AD＝BDAB＝4，证明△AOD≌△BED（ASA），得出OD＝ED，∠DOF＝∠E，证明△ODF≌△EDG（AAS），得出DF＝DG，证出CD平分∠ACE，得出∠DCF＝45°，证出△DCF是等腰直角三角形，得出DF＝CF＝CG＝DG，设DF＝DG＝CG＝x，则BG＝4+x，在RtBDG中，由勾股定理得出方程，解方程得出DF＝4，由三角形面积公式即可得出四边形ABCD的面积．
【解答】解：延长AD交BC延长线于E，作DF⊥AC于F，DG⊥BE于G，AC交BD于点O，如图所示：
则DG＝CF，DF＝CG，
∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝4，
∴AB4，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴AD＝BDAB＝4，
∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠BDE＝90°，∠OAD＝∠EBD，
在△AOD和△BED中，，
∴△AOD≌△BED（ASA），
∴OD＝ED，∠DOF＝∠E，
在△ODF和△EDG中，，
∴△ODF≌△EDG（AAS），
∴DF＝DG，
∵DF⊥AC，DG⊥BE，
∴CD平分∠ACE，
∴∠DCF90°＝45°，
∴△DCF是等腰直角三角形，
∴DF＝CF＝CG＝DG，
设DF＝DG＝CG＝x，则BG＝4+x，
在RtBDG中，由勾股定理得：x2+（4+x）2＝（4）2，
解得：x＝4，或x＝﹣8（舍去），
∴DF＝4，
∴四边形ABCD的面积＝△ACD的面积+△ABC的面积12×412×4＝48；
故答案为：48．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，AB．将Rt△ABC折叠，使得点C恰好落在AB边上的点E处，折痕为AD．P为折痕AD上一动点，则△PEB周长的最小值是 8 ．
【分析】连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB＝BE+CD+DB＝BC+BE，先求出BC和BE长，代入求出即可．
【解答】解：连接CE，交AD于M，
∵沿AD折叠C和E重合，
∴∠ACD＝∠AED＝90°，AC＝AE＝8，∠CAD＝∠EAD，
∴BE＝88，AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD＝DE，
∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB＝BE+CD+DB＝BC+BE，
∴△PEB的周长的最小值是BC+BE＝8+88＝8．
故答案为：8．
三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程．
17．（8分）解方程或化简分式：
（1）
（2）
【分析】（1）根据分式方程的解法即可求出答案；
（2）根据分式的运算法则即可求出答案；
【解答】解：（1）∵，
∴y（y﹣2）+3（y+2）＝y2﹣4﹣8，
∴y+6＝﹣12，
∴y＝﹣18，
经检验，y＝﹣18是分式方程的解；
（2）原式
•

18．（8分）利用乘法公式计算：
（1）（2a﹣1）（1+2a）﹣2（a﹣2）2
（2）（2a﹣3b﹣1）（2a+3b﹣1）﹣（2a﹣3b+1）2
【分析】（1）先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再去掉括号，最后合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝4a2﹣1﹣2（a2﹣4a+4）
＝4a2﹣1﹣2a2+8a﹣8
＝2a2+8a﹣9；
（2）原式＝（2a﹣1）2﹣9b2﹣[（2a﹣3b）+1]2
＝4a2﹣4a+1﹣9b2﹣[4a2﹣12ab+9b2+2（2a﹣3b）+1]
＝4a2﹣4a+1﹣9b2﹣4a2+12ab﹣9b2﹣4a+6b﹣1
＝﹣18b2﹣8a+12ab+6b．
19．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于D，过C作CN⊥AD交AD于H，交AB于N．
（1）△ANC的形状是 等腰三角形 ；（在“等边三角形”、“等腰三角形”、“直角三角形”、“等腰直角三角形”中选一个填上去）
（2）若AB＝10，AC＝6，求CD的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的判定和题目中的条件，可以判定△ANC的形状；
（2）根据（1）中的结论和全等三角形的判定和性质，可以得到CD和ND的关系，再根据等腰三角形的性质即可求得ND的长，从而可以得到CD的长．
【解答】解：（1）∵∠BAC的平分线AD交BC于D，CN⊥AD交AD于H，交AB于N，
∴∠NAH＝∠CAH，∠AHN＝∠AHC＝90°，
在△AHN和△AHC中，
，
∴△AHN≌△AHC（ASA），
∴AN＝AC，
∴△ANC是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形；
（2）连接DN，如右图所示，
由（1）知，AN＝AC，
在△AND和△ACD中，
，
∴△AND≌△ACD（SAS），
∴CD＝ND，∠AND＝∠ACD，
∵AB＝10，AC＝6，AN＝AC，
∴AN＝6，
∴BN＝4，
∵∠ACB＝2∠B，∠AND＝∠B+∠NDB，
∴∠B＝∠NDB，
∴BN＝DN，
∴DN＝4，
∴CD＝4．
20．（8分）将下列多项式因式分解：
（1）2（a﹣2b）2﹣6（a﹣2b）3
（2）x3﹣7x2﹣30x
【分析】（1）提取公因式2（a﹣2b）2，再将能合并的合并即可；
（2）先提取公因式x，再用十字相乘法分解即可．
【解答】解：（1）2（a﹣2b）2﹣6（a﹣2b）3
＝2（a﹣2b）2[1﹣3（a﹣2b）]
＝2（1﹣3a+6b）（a﹣2b）2
（2）x3﹣7x2﹣30x
＝x（x2﹣7x﹣30）
＝x（x+3）（x﹣10）
21．（8分）先阅读下面的内容，再解决问题．
对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+2xa﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2xa﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变．于是有x2+2xa﹣3a2＝（x2+2xa+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣4a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题：
（1）分解因式a2﹣8a+15；
（2）若；
①当a，b，m满足条件：2a×4b＝8m时，直接写出m的值为 5 ；
②若△ABC的三边长是a、b、c，且c为奇数，求△ABC的周长．
【分析】（1）仿照阅读材料中的例子，配方再用平方差公式分解即可；
（2）①对所给对方式子配方，根据偶次方的非负性，可求得a和b的值，从而可得m的值；
②根据①中a、b的值和题意．可求得c的值，进而求得△ABC的周长．
【解答】解：（1）a2﹣8a+15＝a2﹣8a+16﹣1
＝（a﹣4）2﹣12
＝（a﹣3）（a﹣5）
（2）∵；
∴（a2﹣14a+49）+（b2﹣8b+16）+|m﹣c|＝0
∴（a﹣7）2+（b﹣4）2+|m﹣c|＝0
∴a﹣7＝0，b﹣4＝0
∴a＝7，b＝4
∵2a×4b＝8m
∴27×44＝8m
∴27×28＝23m时
∴215＝23m
∴15＝3m
∴m＝5；
故答案为：5．
②由①知，a＝7，b＝4，∵△ABC的三边长是a，b，c，
∴3＜c＜11，
又∵c边的长为奇数，
∴c＝5，7，9，
当a＝7，b＝4，c＝5时，△ABC的周长是：7+4+5＝16，
当a＝7，b＝4，c＝7时，△ABC的周长是：7+4+7＝18，
当a＝7，b＝4，c＝9时，△ABC的周长是：7+4+9＝20．
22．（10分）武汉某道路改造工程，若由甲、乙两工程队合作20天可完成；若甲工程队先单独施工40天，再由乙工程队单独施工10天也可完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，并且要求整个工期不能超过30天，问如何安排甲、乙工程队做这项工程使得花费最少？
【分析】（1）设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则乙工程队单独完成此项工程需要天，根据“若甲工程队先单独施工40天，再由乙工程队单独施工10天也可完成”，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）设甲工程队施工m天，则乙工程队施工（30﹣0.5m）天，由整个工期不能超过30天，可得出m≤30，设甲、乙工程队完成这项工程需付施工费w万元，根据总费用＝每日费用×天数，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则乙工程队单独完成此项工程需要天，
根据题意得：1，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，
∴30．
答：甲工程队单独完成此项工程需要60天，乙工程队单独完成此项工程需要30天．
（2）设甲工程队施工m天，则乙工程队施工（30﹣0.5m）天，
∵整个工期不能超过30天，
∴m≤30．
设甲、乙工程队完成这项工程需付施工费w万元，
根据题意得：w＝m+2.5×（30﹣0.5m）＝﹣0.25m+75，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝30时，w取最小值，最小值＝﹣0.25×30+75＝67.5，此时30﹣0.5m＝30﹣0.5×30＝15．
答：安排甲、乙工程队同时施工，甲工程队施工30天、乙工程队施工15天，施工费最低，最低施工费为67.5万元．
23．（10分）已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E在边BC上，点F在射线EC上，且∠EAF＝45°．
（1）如图1，画出△AEF关于直线AF对称的△AE′F，并写出画法；
（2）如图2，若∠AFE＝75°，求的值；
（3）如图3，若BE＝CF，直接写出∠AFE的度数为 22.5° ．
【分析】（1）过点A画AE的垂线AE′且使AE′＝AE，即可画出关于AF对称的三角形；
（2）根据（1）的画法，画出△AEF关于AF对称的△ADF，再根据全等三角形的对应角相等可得直角三角形DCF，推出∠DFC＝30°，进而得结论；
（3）过点A画AF的垂线AD，连接DB、DE，得△ABD≌△ACF、△ADE≌△AFE，根据BE＝CF可推出DE和BC为斜边的等腰三角形全等进而得AC＝CF，即可得结论．
【解答】解：（1）如图所示：
过点A作E′A⊥AE，且使E′A＝EA，
连接E′F，
△AE′F即为所求作的图形．
（2）如图所示：
过点A作AD⊥AE，且使AD＝AE，连接DF、DC，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠EAC＝90°，°∠DAC+∠CAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
AD＝AE，
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴BE＝CD．∠B＝∠ACD＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ECD＝90°．
∵△ADF是△AEF关于AF对称的图形，
∴∠AFD＝∠AFE＝75°，DF＝EF．
∴∠DFC＝30°，
∴DCDF，
∴BEEF．
即．
答：的值为．
（3）如图所示：
过点A作AD⊥AF，且使AD＝AF，连接BD，DE．
同（2）得△ABD≌△ACF（SAS）
∴∠ABD＝∠ACF＝135°，BD＝CF，
∵BE＝CF，∴BD＝BE，
∵∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠DBE＝90°．
∴△BDE是等腰直角三角形．
∵AD＝AF，∠EAF＝45°，
∴∠DAE＝45°，
AE＝AE，
∴△ADE≌△AFE（SAS）
∴DE＝EF，
∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，
∴BC＝EF，
∴DE＝BC．
∵△ABC和△BDE是斜边相等的等腰直角三角形，
∴△ABC≌△BDE（ASA）
∴BE＝AC，
∴AC＝CF，
∴∠AFC＝∠CAF＝22.5°．
答：∠AFE的度数为22.5°．
故答案为22.5°．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点A（a，0）、C（b，0）、B（0，），a、b满足：a2+2ab+2b2﹣4b+4＝0，且AB＝AC．
（1）判断△ABC的形状并证明；
（2）如图1，点D为BA延长线上一点，AD＝AB，E为x轴负半轴上一点，F为DE上一点，连接CF交AD于点G，∠EFC＝120°，求的值；
（3）如图2，R（3a，0）点P为线段BR上一动点，以AP为边作等腰△APQ，PA＝PQ，且∠APQ＝∠RAB，连接AQ．当点P运动时，△ABQ的面积是否变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．
【分析】（1）结论：△ABC是等边三角形．利用非负数的性质求出a，b即可判断．
（2）如图1中，作BH∥DE交x轴于H．证明△AHG≌△CBH（AAS），推出AG＝CH可得结论．
（3）结论：△ABQ的面积不变，S△ABQ＝4．如图2中，在x轴的正半轴上取一点M，使得PR＝PM，连接PM，QR．证明△PRQ≌△PMA（SAS），推出∠PRQ＝∠AMP＝30°，推出∠ARQ＝60°＝∠OAB，推出AB∥QR，再利用等高模型即可解决问题．
【解答】解：（1）结论：△ABC是等边三角形．
理由：∵a2+2ab+2b2﹣4b+4＝0，
∴（a+b）2+（b﹣2）2＝0，
∵（a+b）2≥0，（b﹣2）2≥0，
∴a＝﹣2，b＝2，
∴A（﹣2，0），C（2，0），
∴OA＝OC，
∵BO⊥AC，
∴BA＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形．
（2）如图1中，作BH∥DE交x轴于H．
∵∠DEA＝∠BHA，∠DAE＝∠BAH，AD＝AB，
∴△DAE≌△BAH（AAS），
∴AE＝AH，
∵∠D+∠DGF＝∠EFH＝120°，∠D+∠DEA＝∠DAC＝120°，
∴∠DEA＝∠DGF＝∠AGH，
∴∠AGH＝∠BHC，
∵∠GAH＝∠BCH＝120°，AH＝BC，
∴△AHG≌△CBH（AAS），
∴AG＝CH，
∴2．
（3）结论：△ABQ的面积不变，S△ABQ＝4．
理由：如图2中，在x轴的正半轴上取一点M，使得PR＝PM，连接PM，QR．
由题意R（﹣6，0），A（﹣2，0），B（0，﹣2），
∴OR＝6，OB＝2，
∴tan∠PQM，tan∠OAB
∴∠PRM＝∠PMR＝30°，∠OAB＝60°，
∴∠RPM＝120°，
∵∠RPM＝∠APQ＝120°，
∴∠APM＝∠RPQ，
∵PR＝PM，PQ＝PQ，
∴△PRQ≌△PMA（SAS），
∴∠PRQ＝∠AMP＝30°，
∴∠ARQ＝60°＝∠OAB，
∴AB∥QR，
∴S△ABQ＝S△ABR4×24．
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日期：2020/12/8 12:57:23；用户：熊文学；邮箱：13995874252；学号：38486437