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北京市海淀区2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷 解析版
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这是一份北京市海淀区2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷 解析版，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年北京市海淀区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分。
1．（3分）下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．5，12，13 D．1，，3
3．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，∠AOB＝60°，则AC的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．（3分）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（ ）
A．0.5 km B．0.6 km C．0.9 km D．1.2 km
6．（3分）把函数y＝x的图象向上平移2个单位，下列各点在平移后的函数图象上的是（ ）
A．（2，2） B．（2，3） C．（2，4） D．（2，5）
7．（3分）一次函数y＝kx+2中，若k＞0，则其图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．12
10．（3分）直线y＝x+1与y＝﹣2x+a的交点在第一象限，则a的取值可以是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
二、填空题：本大题共7小题，11-16题，每题3分，17题4分，共22分。
11．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）若正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限，请写出一个满足上述要求的k的值 ．
13．（3分）如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地可上，此处离树底部 m处．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝8cm，AB＝6cm，BE平分∠ABC交AD边于点E，则线段DE的长度为 ．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，等边△AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝ °．
16．（3分）春耕期间，某农资门市部连续8天调进一批化肥进行销售，在开始调进化肥的第7天开始销售．若进货期间每天调入化肥的吨数与销售期间每天销售化肥的吨数都保持不变，这个门市部的化肥存量S（单位：t）与时间t（单位：天）之间的函数关系如图所示，则该门市部这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用时间是 ．
17．（4分）在平面直角坐标系xOy中，过点A（5，3）作y轴的平行线，与x轴交于点B，直线y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）经过点A且与x轴交于点C（9，0）．我们称横、纵坐标都是整数的点为整点．
（1）记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．请你结合函数图象，则区域W内的整点个数为 ；
（2）将直线y＝kx+b向下平移n个单位（n≥0），若平移后的直线与线段AB，BC围成的区域（不含边界）存在整点，请结合图象写出n的取值范围 ．
三、解答题：本大题共8小题，第18题6分，第19、20、21题，每题5分，第22题6分，第23、24、25题，每题7分，共48分。
18．（6分）计算：
（1）3﹣﹣；
（2）（3+）（3﹣）．
19．（5分）已知点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，求证：四边形EBFD为平行四边形．
20．（5分）已知y与x﹣2成正比例，且当x＝1时，y＝﹣2．
（1）求变量y与x的函数关系式；
（2）请在给出的平面直角坐标系中画出此函数的图象；
（3）已知点A在函数y＝ax+b的图象上，请直接写出关于x的不等式ax+b＞2x﹣4的解集 ．
21．（5分）如图，直线l1的函数解析式为y＝﹣x+1，且l与x轴交于点A，直线l2经过点B，D，直线l1，l2交于点C．
（1）求直线l2的函数解析式；
（2）求△ABC的面积．
22．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．
（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；
（2）若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．
23．（7分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为A（a，0），B（0，b），其中a，b满足+b2﹣8b+16＝0，点P在y轴上，且在B点上方，PB＝m（m＞0），以AP为边作等腰直角△APM，∠APM＝90°，PM＝PA，点M落在第一象限．
（1）a＝ ；b＝ ；
（2）求点M的坐标（用含m代数式表示）；
（3）若射线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，若不变，求出Q点的坐标；若变化，请说明理由．
24．（7分）在△ABC中，CD⊥AB于点D．
（1）如图1，当点D是线段AB中点时，延长AC至点E，使得CE＝CB，连接EB．
①按要求补全图1；
②若AB＝2，AC＝，求EB的长．
（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，作∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠CAB，CE＝CB，连接AE，用等式表示线段AB，CD，AE的数量关系，并说明理由．
25．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：如果图形M上存在点Q，使得0≤PQ≤2，那么称点P为图形M的和谐点．已知点A（﹣4，3），B（4，3）．
（1）在点P1（﹣2，1），P2（﹣1，0），P3（5，4）中，直线AB的和谐点是 ；
（2）点P为直线y＝x+1上一点，若点P为直线AB的和谐点，求点P的横坐标t的取值范围；
（3）已知点C（4，﹣3），D（﹣4，﹣3），如果直线y＝x+b上存在矩形ABCD的和谐点E，F，使得线段EF上的所有点都是矩形ABCD的和谐点，且EF＞2，请直接写出b的取值范围．
2020-2021学年北京市海淀区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分。
1．（3分）下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的定义解答即可．
【解答】解：A、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
B、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
C、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
D、能表示y是x的函数，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．5，12，13 D．1，，3
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】解：A、42+52≠62，故不是直角三角形；
B、22+32≠42，故不是直角三角形；
C、52+122＝132，故是直角三角形；
D、12+（）2≠32，故不是直角三角形；
故选：C．
3．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、原式为最简二次根式，符合题意；
B、原式＝2，不符合题意；
C、原式＝，不符合题意；
D、原式＝|m|，不符合题意．
故选：A．
4．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，∠AOB＝60°，则AC的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】由矩形的性质可证明△ABC为等边三角形，即可求得∠ACB＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可求解．
【解答】解：∵矩形ABCD为矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，∠ABC＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∵AB＝2，
∴AC＝2AB＝4．
故选：C．
5．（3分）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（ ）
A．0.5 km B．0.6 km C．0.9 km D．1.2 km
【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ACB中，
∵∠ACB＝90°，AM＝BM，
∴CM＝AB＝AM，
∵AM＝1.2km，
∴CM＝1.2km，
故选：D．
6．（3分）把函数y＝x的图象向上平移2个单位，下列各点在平移后的函数图象上的是（ ）
A．（2，2） B．（2，3） C．（2，4） D．（2，5）
【分析】根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，然后把x＝2代入求得函数值即可判断．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将直线y＝x的图象向上平移2个单位所得直线的解析式为：y＝x+2，
当x＝2时，y＝2+2＝4，
所以在平移后的函数图象上的是（2，4），
故选：C．
7．（3分）一次函数y＝kx+2中，若k＞0，则其图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】当k＞0时，图象过一，三象限，k＜0时，图象过二，四象限，当b＞0图象与y轴交于正半轴，当b＞0图象与y轴交于正半轴，据此可求解．
【解答】解：∵k＞0，b＝2＞0，
∴图象过一，二，三象限，
故选：A．
8．（3分）如图，点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分三段来考虑点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小，据此选择即可．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥DA交DA的延长线于H，设BH＝h，则有当点P在线段AD上时，y＝×h×x，h是定值，y是x的一次函数．
点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大，且y是x的一次函数，
点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；
点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小．同法可知y是x的一次函数，
故选：A．
9．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．12
【分析】由正方形的性质及三角形的中位线可求得BE＝2，由直角三角形斜边上的中线可求得△CEF的周长为ED+EC，利用勾股定理可求解ED的长，进而可求解．
【解答】解：在正方形ABCD中，BO＝DO，BC＝CD，∠BCD＝90°，
∵F为DE的中点，
∴OF为△DBE的中位线，ED＝2CF＝2EF，
∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC，
∵OF＝1，
∴BE＝2OF＝2，
∵CE＝6，
∴BC＝BE+CE＝2+6＝8，
∴CD＝BC＝8，
在Rt△CED中，∠ECD＝90°，CD＝8，CE＝6，
∴ED＝，
∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC＝10+6＝16，
故选：B．
10．（3分）直线y＝x+1与y＝﹣2x+a的交点在第一象限，则a的取值可以是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】联立两直线解析式，解关于x、y的二元一次方程组，然后根据交点在第一象限，横坐标是正数，纵坐标是正数，列出不等式组求解即可．
【解答】解：联立，
解得：，
∵交点在第一象限，
∴，
解得：a＞1．
故选：D．
二、填空题：本大题共7小题，11-16题，每题3分，17题4分，共22分。
11．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
12．（3分）若正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限，请写出一个满足上述要求的k的值 2 ．
【分析】正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限，k＞0即可，k＜0时图象经过二、四象限．
【解答】解：k＞0时直线经过一、三象限，
∴k＞0即可．
故答案为：2（满足k＞0即可）．
13．（3分）如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地可上，此处离树底部 8 m处．
【分析】首先设树顶端落在离树底部x米处，根据勾股定理可得62+x2＝（16﹣6）2，再解即可．
【解答】解：设树顶端落在离树底部x米处，由题意得：
62+x2＝（16﹣6）2，
解得：x1＝8，x2＝﹣8（不合题意舍去）．
故答案为：8．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝8cm，AB＝6cm，BE平分∠ABC交AD边于点E，则线段DE的长度为 2cm ．
【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE＝∠AEB，继而可得AB＝AE，然后根据已知可求得DE的长度
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD＝BC＝8cm，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝6cm，
∴DE＝AD﹣AE＝8﹣6＝2（cm）；
故答案为：2cm．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，等边△AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝ 75 °．
【分析】只要证明△ABE≌△ADF，可得∠BAE＝∠DAF＝（90°﹣60°）÷2＝15°，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF＝（90°﹣60°）÷2＝15°，
∴∠AEB＝75°，
故答案为75．
16．（3分）春耕期间，某农资门市部连续8天调进一批化肥进行销售，在开始调进化肥的第7天开始销售．若进货期间每天调入化肥的吨数与销售期间每天销售化肥的吨数都保持不变，这个门市部的化肥存量S（单位：t）与时间t（单位：天）之间的函数关系如图所示，则该门市部这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用时间是 10天 ．
【分析】通过分析题意和图象可求调入化肥的速度，销售化肥的速度；从而可计算最后销售化肥16吨所花的时间．
【解答】解：调入化肥的速度是24÷6＝4吨/天，
当在第6天时，库存物资应该有24吨，在第8天时库存16吨，
所以销售化肥的速度是＝8（吨/天），
所以剩余的16吨完全调出需要16÷8＝2（天），
故该门市部这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用时间是8+2＝10（天）．
故答案为10天．
17．（4分）在平面直角坐标系xOy中，过点A（5，3）作y轴的平行线，与x轴交于点B，直线y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）经过点A且与x轴交于点C（9，0）．我们称横、纵坐标都是整数的点为整点．
（1）记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．请你结合函数图象，则区域W内的整点个数为 3 ；
（2）将直线y＝kx+b向下平移n个单位（n≥0），若平移后的直线与线段AB，BC围成的区域（不含边界）存在整点，请结合图象写出n的取值范围 ≤n＜ ．
【分析】（1）根据题意和图象，可以得到区域W内的整点个数；
（2）根据直线y＝kx+b过点A和点C，从而可以得到直线的表达式是y＝﹣x+，设平移后的直线解析式是y＝﹣x+m，分别代入（6，2）、（6，1）求得m的值，结合图象即可求得．
【解答】解（1）由图象可得，
区域W内的整点的坐标分别为（6，1），（6，2），（7，1），
即区域W内的整点个数是3个，
故答案为3；
（2）∵直线y＝kx+b过点A（5，3），点C（9，0），
∴，
∴，
即直线y＝kx+b的表达式是y＝﹣x+
设平移后的直线解析式是y＝﹣x+m，
把（6，2）代入得，2＝﹣+m，解得m＝，则﹣＝，
把（6，1）代入得，1＝﹣+m，解得m＝，则﹣＝，
由图象可知，将直线y＝kx+b向下平移n个单位（n≥0），若平移后的直线与线段AB，BC围成的区域（不含边界）存在整点，请结合图象写出n的取值范围≤n＜．
故答案为≤n＜．
三、解答题：本大题共8小题，第18题6分，第19、20、21题，每题5分，第22题6分，第23、24、25题，每题7分，共48分。
18．（6分）计算：
（1）3﹣﹣；
（2）（3+）（3﹣）．
【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可解答本题；
（2）根据平方差公式即可解答本题．
【解答】解：（1）3﹣﹣
＝3﹣2+﹣3
＝﹣；
（2）（3+）（3﹣）
＝（3）2﹣（）2
＝18﹣6
＝12．
19．（5分）已知点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，求证：四边形EBFD为平行四边形．
【分析】由平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC，再由中点的定义得DE＝AD，BF＝BC，则DE＝BF，DE∥BF，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，
∴DE＝AD，BF＝BC，
∴DE＝BF，DE∥BF，
∴四边形EBFD为平行四边形．
20．（5分）已知y与x﹣2成正比例，且当x＝1时，y＝﹣2．
（1）求变量y与x的函数关系式；
（2）请在给出的平面直角坐标系中画出此函数的图象；
（3）已知点A在函数y＝ax+b的图象上，请直接写出关于x的不等式ax+b＞2x﹣4的解集 x＜3 ．
【分析】（1）设y＝k（x﹣2）（k为常数，k≠0），把x＝1，y＝﹣2代入求出k即可；
（2）在平面直角坐标系中画出函数的图象即可；
（3）根据A点的坐标和函数的图象得出答案即可．
【解答】解：（1）∵y与x﹣2成正比例，
∴设y＝k（x﹣2）（k为常数，k≠0），
把x＝1，y＝﹣2代入得：﹣2＝k（1﹣2），
解得：k＝2，
即y＝k（x﹣2）＝2（x﹣2）＝2x﹣4，
所以变量y与x的函数关系式是y＝2x﹣4；
（2）y＝2x﹣4的图象是：
；
（3）从图象可知：A点的坐标是（3，2），
把A点的坐标代入y＝2x﹣4时，左边＝右边，
即点A也在函数y＝2x﹣4的图象上，
即点A是函数y＝ax+b和函数y＝2x﹣4的交点，
所以关于x的不等式ax+b＞2x﹣4的解集是x＜3，
故答案为：x＜3．
21．（5分）如图，直线l1的函数解析式为y＝﹣x+1，且l与x轴交于点A，直线l2经过点B，D，直线l1，l2交于点C．
（1）求直线l2的函数解析式；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）由B，D两点坐标利用待定系数法可求解；
（2）易求A点坐标，将两关系式联立求解交点坐标，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【解答】解：（1）设直线l2的解析式为y＝kx+b，
由直线l2经过点B（6，0），D（4，﹣1）可得，
解得，
∴直线l2的解析式为y＝x﹣3；
（2）当y＝0时，﹣x+1＝0，
解得x＝1，
∴A（1，0），
∴AB＝4﹣1＝3，
联立，
解得，
∴C（，），
∴S△ABC＝×3×＝．
22．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．
（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；
（2）若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．
【分析】（1）证△ABE≌△CBF（ASA），得AB＝CB，即可得出平行四边形ABCD是菱形；
（2）由菱形的性质得AD＝AB＝13，设AE＝x，则DE＝13﹣x，在Rt△ABE和Rt△BDE中，由勾股定理得出方程：132﹣x2＝102﹣（13﹣x）2，解得x＝，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠AEB＝∠CFB＝90°，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（ASA），
∴AB＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝13，
设AE＝x，则DE＝13﹣x，
在Rt△ABE和Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2＝AB2﹣AE2＝DB2﹣DE2，
即132﹣x2＝102﹣（13﹣x）2，
解得：x＝，
∴BE＝＝，
∴平行四边形ABCD的面积＝AD×BE＝13×＝120．
23．（7分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为A（a，0），B（0，b），其中a，b满足+b2﹣8b+16＝0，点P在y轴上，且在B点上方，PB＝m（m＞0），以AP为边作等腰直角△APM，∠APM＝90°，PM＝PA，点M落在第一象限．
（1）a＝ 4 ；b＝ ﹣4 ；
（2）求点M的坐标（用含m代数式表示）；
（3）若射线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，若不变，求出Q点的坐标；若变化，请说明理由．
【分析】（1）根据完全平方公式把原式变形，根据算术平方根、偶次方的非负性分别求出a、b；
（2）证明△AOP≌△PNM，根据全等三角形的性质得到NM＝OP＝m+4，NP＝OA＝4，得到点M的坐标；
（3）利用待定系数法求出直线MB的解析式，根据x轴上点的坐标特征计算即可．
【解答】解：（1）+b2﹣8b+16＝0，
则+（b+4）2＝0，
∵≥0，（b+4）2≥0，
∴a﹣4＝0，b+4＝0，
解得，a＝4，b＝﹣4，
故答案为：4；﹣4；
（2）过点M作MN⊥y轴于点N，
∵∠APM＝90°．
∴∠OPA+∠NPM＝90°．
∵∠NMP+∠NPM＝90°，
∴∠OPA＝∠NMP，
在△AOP和△PNM中，
，
∴△AOP≌△PNM（AAS），
∴NM＝OP＝m+4，NP＝OA＝4，
∴ON＝OP+NP＝m+8，
∴点M的坐标为（m+4，m+8）；
（3）点Q的坐标不变，
理由如下：设直线MB的解析式为y＝kx+4，
则k（m+4）+4＝m+8，
整理得，k（m+4）＝m+4，
∵m＞0，
∴m+4≠0，
解得，k＝1，
∴直线MB的解析式为y＝x+4，
∴无论m的值如何变化，点Q的坐标都为（﹣4，0）．
24．（7分）在△ABC中，CD⊥AB于点D．
（1）如图1，当点D是线段AB中点时，延长AC至点E，使得CE＝CB，连接EB．
①按要求补全图1；
②若AB＝2，AC＝，求EB的长．
（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，作∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠CAB，CE＝CB，连接AE，用等式表示线段AB，CD，AE的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）①按题意画出图形即可；
②由中位线定理证出∠ABE＝90°，由勾股定理可得出答案．
（2）如图2中，在AC的上方作△ACT，使得CT＝CA，∠ACT＝∠BCE，过点C作CH⊥AT于H．证明△ACE≌△TCB（SAS），推出AE＝BT，由勾股定理可得出结论．
【解答】解：（1）①补全图形如图1，
②∵CD⊥AB，D为AB的中点，
∴AC＝CB，
∵CE＝CB，
∴AC＝CE，
∴CD是△ABE的中位线，
∴CD∥BE，
∴AB⊥BE，
∴∠ABE＝90°，
∵AB＝2，AC＝，
∴AE＝2AC＝2，
∴BE＝＝＝2；
（2）如图2所示：
线段AB，CD，AE的数量关系为：4CD2+AB2＝AE2．
理由如下：
如图2中，在AC的上方作△ACT，使得CT＝CA，∠ACT＝∠BCE，过点C作CH⊥AT于H．
∵CA＝CT，CH⊥AT，
∴AH＝HT，∠ACH＝∠TCH，
∵∠BCE＝2∠CAB，∠ECB＝∠ACT，
∴∠ACH＝∠CAB，
∴CH∥AB，
∴∠CHA＝∠HAB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCH是矩形，
∴CD＝AH＝HT，
∴AT＝2AH＝2CD，
∵∠ACT＝∠ECB，
∴∠ACE＝∠TCB，
∵CA＝CT，CE＝CB，
∴△ACE≌△TCB（SAS），
∴AE＝BT，
∵AT2+AB2＝BT2，
∴（2CD）2+AB2＝AE2，
即4CD2+AB2＝AE2．
25．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：如果图形M上存在点Q，使得0≤PQ≤2，那么称点P为图形M的和谐点．已知点A（﹣4，3），B（4，3）．
（1）在点P1（﹣2，1），P2（﹣1，0），P3（5，4）中，直线AB的和谐点是 P1，P3 ；
（2）点P为直线y＝x+1上一点，若点P为直线AB的和谐点，求点P的横坐标t的取值范围；
（3）已知点C（4，﹣3），D（﹣4，﹣3），如果直线y＝x+b上存在矩形ABCD的和谐点E，F，使得线段EF上的所有点都是矩形ABCD的和谐点，且EF＞2，请直接写出b的取值范围．
【分析】（1）作出直线AB图象根据到直线的距离即可得出结论；
（2）设出点P的坐标，根据和谐点的定义找出临界值即可求出t的取值范围；
（3）根据图象找出临界值，再根据对称性写全取值范围即可．
【解答】解：（1）作AB图象如图，P2到AB的距离为3不符合和谐点条件，
P1、P2点到直线AB的距离在0～2之间，符合和谐点的条件，
故直线AB的和谐点为P1，P2；
（2）∵点P为直线y＝x+1上一点，
∴设P点坐标为（t，t+1），
寻找直线上的点，使该点到AB垂线段的距离为2，
∴|t+1﹣3|＝2，
解得t＝0或t'＝4，
∴0≤t≤4；
（3）如图当b＝5时，图中线段EF上的点都是矩形ABCD的和谐点，且EF＝2，
当b＝3时，线段E'F'上的点都是矩形ABCD的和谐点，E'F'＞2，
∴3≤b＜5，
由对称性同法可知﹣5＜b≤﹣3也满足条件，
故3≤b＜5或﹣5＜b≤﹣3．
2020-2021学年北京市海淀区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分。
1．（3分）下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．5，12，13 D．1，，3
3．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，∠AOB＝60°，则AC的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．（3分）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（ ）
A．0.5 km B．0.6 km C．0.9 km D．1.2 km
6．（3分）把函数y＝x的图象向上平移2个单位，下列各点在平移后的函数图象上的是（ ）
A．（2，2） B．（2，3） C．（2，4） D．（2，5）
7．（3分）一次函数y＝kx+2中，若k＞0，则其图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．12
10．（3分）直线y＝x+1与y＝﹣2x+a的交点在第一象限，则a的取值可以是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
二、填空题：本大题共7小题，11-16题，每题3分，17题4分，共22分。
11．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）若正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限，请写出一个满足上述要求的k的值 ．
13．（3分）如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地可上，此处离树底部 m处．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝8cm，AB＝6cm，BE平分∠ABC交AD边于点E，则线段DE的长度为 ．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，等边△AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝ °．
16．（3分）春耕期间，某农资门市部连续8天调进一批化肥进行销售，在开始调进化肥的第7天开始销售．若进货期间每天调入化肥的吨数与销售期间每天销售化肥的吨数都保持不变，这个门市部的化肥存量S（单位：t）与时间t（单位：天）之间的函数关系如图所示，则该门市部这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用时间是 ．
17．（4分）在平面直角坐标系xOy中，过点A（5，3）作y轴的平行线，与x轴交于点B，直线y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）经过点A且与x轴交于点C（9，0）．我们称横、纵坐标都是整数的点为整点．
（1）记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．请你结合函数图象，则区域W内的整点个数为 ；
（2）将直线y＝kx+b向下平移n个单位（n≥0），若平移后的直线与线段AB，BC围成的区域（不含边界）存在整点，请结合图象写出n的取值范围 ．
三、解答题：本大题共8小题，第18题6分，第19、20、21题，每题5分，第22题6分，第23、24、25题，每题7分，共48分。
18．（6分）计算：
（1）3﹣﹣；
（2）（3+）（3﹣）．
19．（5分）已知点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，求证：四边形EBFD为平行四边形．
20．（5分）已知y与x﹣2成正比例，且当x＝1时，y＝﹣2．
（1）求变量y与x的函数关系式；
（2）请在给出的平面直角坐标系中画出此函数的图象；
（3）已知点A在函数y＝ax+b的图象上，请直接写出关于x的不等式ax+b＞2x﹣4的解集 ．
21．（5分）如图，直线l1的函数解析式为y＝﹣x+1，且l与x轴交于点A，直线l2经过点B，D，直线l1，l2交于点C．
（1）求直线l2的函数解析式；
（2）求△ABC的面积．
22．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．
（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；
（2）若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．
23．（7分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为A（a，0），B（0，b），其中a，b满足+b2﹣8b+16＝0，点P在y轴上，且在B点上方，PB＝m（m＞0），以AP为边作等腰直角△APM，∠APM＝90°，PM＝PA，点M落在第一象限．
（1）a＝ ；b＝ ；
（2）求点M的坐标（用含m代数式表示）；
（3）若射线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，若不变，求出Q点的坐标；若变化，请说明理由．
24．（7分）在△ABC中，CD⊥AB于点D．
（1）如图1，当点D是线段AB中点时，延长AC至点E，使得CE＝CB，连接EB．
①按要求补全图1；
②若AB＝2，AC＝，求EB的长．
（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，作∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠CAB，CE＝CB，连接AE，用等式表示线段AB，CD，AE的数量关系，并说明理由．
25．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：如果图形M上存在点Q，使得0≤PQ≤2，那么称点P为图形M的和谐点．已知点A（﹣4，3），B（4，3）．
（1）在点P1（﹣2，1），P2（﹣1，0），P3（5，4）中，直线AB的和谐点是 ；
（2）点P为直线y＝x+1上一点，若点P为直线AB的和谐点，求点P的横坐标t的取值范围；
（3）已知点C（4，﹣3），D（﹣4，﹣3），如果直线y＝x+b上存在矩形ABCD的和谐点E，F，使得线段EF上的所有点都是矩形ABCD的和谐点，且EF＞2，请直接写出b的取值范围．
2020-2021学年北京市海淀区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分。
1．（3分）下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的定义解答即可．
【解答】解：A、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
B、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
C、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
D、能表示y是x的函数，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．5，12，13 D．1，，3
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】解：A、42+52≠62，故不是直角三角形；
B、22+32≠42，故不是直角三角形；
C、52+122＝132，故是直角三角形；
D、12+（）2≠32，故不是直角三角形；
故选：C．
3．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、原式为最简二次根式，符合题意；
B、原式＝2，不符合题意；
C、原式＝，不符合题意；
D、原式＝|m|，不符合题意．
故选：A．
4．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，∠AOB＝60°，则AC的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】由矩形的性质可证明△ABC为等边三角形，即可求得∠ACB＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可求解．
【解答】解：∵矩形ABCD为矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，∠ABC＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∵AB＝2，
∴AC＝2AB＝4．
故选：C．
5．（3分）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（ ）
A．0.5 km B．0.6 km C．0.9 km D．1.2 km
【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ACB中，
∵∠ACB＝90°，AM＝BM，
∴CM＝AB＝AM，
∵AM＝1.2km，
∴CM＝1.2km，
故选：D．
6．（3分）把函数y＝x的图象向上平移2个单位，下列各点在平移后的函数图象上的是（ ）
A．（2，2） B．（2，3） C．（2，4） D．（2，5）
【分析】根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，然后把x＝2代入求得函数值即可判断．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将直线y＝x的图象向上平移2个单位所得直线的解析式为：y＝x+2，
当x＝2时，y＝2+2＝4，
所以在平移后的函数图象上的是（2，4），
故选：C．
7．（3分）一次函数y＝kx+2中，若k＞0，则其图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】当k＞0时，图象过一，三象限，k＜0时，图象过二，四象限，当b＞0图象与y轴交于正半轴，当b＞0图象与y轴交于正半轴，据此可求解．
【解答】解：∵k＞0，b＝2＞0，
∴图象过一，二，三象限，
故选：A．
8．（3分）如图，点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分三段来考虑点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小，据此选择即可．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥DA交DA的延长线于H，设BH＝h，则有当点P在线段AD上时，y＝×h×x，h是定值，y是x的一次函数．
点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大，且y是x的一次函数，
点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；
点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小．同法可知y是x的一次函数，
故选：A．
9．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．12
【分析】由正方形的性质及三角形的中位线可求得BE＝2，由直角三角形斜边上的中线可求得△CEF的周长为ED+EC，利用勾股定理可求解ED的长，进而可求解．
【解答】解：在正方形ABCD中，BO＝DO，BC＝CD，∠BCD＝90°，
∵F为DE的中点，
∴OF为△DBE的中位线，ED＝2CF＝2EF，
∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC，
∵OF＝1，
∴BE＝2OF＝2，
∵CE＝6，
∴BC＝BE+CE＝2+6＝8，
∴CD＝BC＝8，
在Rt△CED中，∠ECD＝90°，CD＝8，CE＝6，
∴ED＝，
∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC＝10+6＝16，
故选：B．
10．（3分）直线y＝x+1与y＝﹣2x+a的交点在第一象限，则a的取值可以是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】联立两直线解析式，解关于x、y的二元一次方程组，然后根据交点在第一象限，横坐标是正数，纵坐标是正数，列出不等式组求解即可．
【解答】解：联立，
解得：，
∵交点在第一象限，
∴，
解得：a＞1．
故选：D．
二、填空题：本大题共7小题，11-16题，每题3分，17题4分，共22分。
11．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
12．（3分）若正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限，请写出一个满足上述要求的k的值 2 ．
【分析】正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限，k＞0即可，k＜0时图象经过二、四象限．
【解答】解：k＞0时直线经过一、三象限，
∴k＞0即可．
故答案为：2（满足k＞0即可）．
13．（3分）如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地可上，此处离树底部 8 m处．
【分析】首先设树顶端落在离树底部x米处，根据勾股定理可得62+x2＝（16﹣6）2，再解即可．
【解答】解：设树顶端落在离树底部x米处，由题意得：
62+x2＝（16﹣6）2，
解得：x1＝8，x2＝﹣8（不合题意舍去）．
故答案为：8．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝8cm，AB＝6cm，BE平分∠ABC交AD边于点E，则线段DE的长度为 2cm ．
【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE＝∠AEB，继而可得AB＝AE，然后根据已知可求得DE的长度
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD＝BC＝8cm，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝6cm，
∴DE＝AD﹣AE＝8﹣6＝2（cm）；
故答案为：2cm．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，等边△AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝ 75 °．
【分析】只要证明△ABE≌△ADF，可得∠BAE＝∠DAF＝（90°﹣60°）÷2＝15°，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF＝（90°﹣60°）÷2＝15°，
∴∠AEB＝75°，
故答案为75．
16．（3分）春耕期间，某农资门市部连续8天调进一批化肥进行销售，在开始调进化肥的第7天开始销售．若进货期间每天调入化肥的吨数与销售期间每天销售化肥的吨数都保持不变，这个门市部的化肥存量S（单位：t）与时间t（单位：天）之间的函数关系如图所示，则该门市部这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用时间是 10天 ．
【分析】通过分析题意和图象可求调入化肥的速度，销售化肥的速度；从而可计算最后销售化肥16吨所花的时间．
【解答】解：调入化肥的速度是24÷6＝4吨/天，
当在第6天时，库存物资应该有24吨，在第8天时库存16吨，
所以销售化肥的速度是＝8（吨/天），
所以剩余的16吨完全调出需要16÷8＝2（天），
故该门市部这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用时间是8+2＝10（天）．
故答案为10天．
17．（4分）在平面直角坐标系xOy中，过点A（5，3）作y轴的平行线，与x轴交于点B，直线y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）经过点A且与x轴交于点C（9，0）．我们称横、纵坐标都是整数的点为整点．
（1）记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．请你结合函数图象，则区域W内的整点个数为 3 ；
（2）将直线y＝kx+b向下平移n个单位（n≥0），若平移后的直线与线段AB，BC围成的区域（不含边界）存在整点，请结合图象写出n的取值范围 ≤n＜ ．
【分析】（1）根据题意和图象，可以得到区域W内的整点个数；
（2）根据直线y＝kx+b过点A和点C，从而可以得到直线的表达式是y＝﹣x+，设平移后的直线解析式是y＝﹣x+m，分别代入（6，2）、（6，1）求得m的值，结合图象即可求得．
【解答】解（1）由图象可得，
区域W内的整点的坐标分别为（6，1），（6，2），（7，1），
即区域W内的整点个数是3个，
故答案为3；
（2）∵直线y＝kx+b过点A（5，3），点C（9，0），
∴，
∴，
即直线y＝kx+b的表达式是y＝﹣x+
设平移后的直线解析式是y＝﹣x+m，
把（6，2）代入得，2＝﹣+m，解得m＝，则﹣＝，
把（6，1）代入得，1＝﹣+m，解得m＝，则﹣＝，
由图象可知，将直线y＝kx+b向下平移n个单位（n≥0），若平移后的直线与线段AB，BC围成的区域（不含边界）存在整点，请结合图象写出n的取值范围≤n＜．
故答案为≤n＜．
三、解答题：本大题共8小题，第18题6分，第19、20、21题，每题5分，第22题6分，第23、24、25题，每题7分，共48分。
18．（6分）计算：
（1）3﹣﹣；
（2）（3+）（3﹣）．
【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可解答本题；
（2）根据平方差公式即可解答本题．
【解答】解：（1）3﹣﹣
＝3﹣2+﹣3
＝﹣；
（2）（3+）（3﹣）
＝（3）2﹣（）2
＝18﹣6
＝12．
19．（5分）已知点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，求证：四边形EBFD为平行四边形．
【分析】由平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC，再由中点的定义得DE＝AD，BF＝BC，则DE＝BF，DE∥BF，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，
∴DE＝AD，BF＝BC，
∴DE＝BF，DE∥BF，
∴四边形EBFD为平行四边形．
20．（5分）已知y与x﹣2成正比例，且当x＝1时，y＝﹣2．
（1）求变量y与x的函数关系式；
（2）请在给出的平面直角坐标系中画出此函数的图象；
（3）已知点A在函数y＝ax+b的图象上，请直接写出关于x的不等式ax+b＞2x﹣4的解集 x＜3 ．
【分析】（1）设y＝k（x﹣2）（k为常数，k≠0），把x＝1，y＝﹣2代入求出k即可；
（2）在平面直角坐标系中画出函数的图象即可；
（3）根据A点的坐标和函数的图象得出答案即可．
【解答】解：（1）∵y与x﹣2成正比例，
∴设y＝k（x﹣2）（k为常数，k≠0），
把x＝1，y＝﹣2代入得：﹣2＝k（1﹣2），
解得：k＝2，
即y＝k（x﹣2）＝2（x﹣2）＝2x﹣4，
所以变量y与x的函数关系式是y＝2x﹣4；
（2）y＝2x﹣4的图象是：
；
（3）从图象可知：A点的坐标是（3，2），
把A点的坐标代入y＝2x﹣4时，左边＝右边，
即点A也在函数y＝2x﹣4的图象上，
即点A是函数y＝ax+b和函数y＝2x﹣4的交点，
所以关于x的不等式ax+b＞2x﹣4的解集是x＜3，
故答案为：x＜3．
21．（5分）如图，直线l1的函数解析式为y＝﹣x+1，且l与x轴交于点A，直线l2经过点B，D，直线l1，l2交于点C．
（1）求直线l2的函数解析式；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）由B，D两点坐标利用待定系数法可求解；
（2）易求A点坐标，将两关系式联立求解交点坐标，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【解答】解：（1）设直线l2的解析式为y＝kx+b，
由直线l2经过点B（6，0），D（4，﹣1）可得，
解得，
∴直线l2的解析式为y＝x﹣3；
（2）当y＝0时，﹣x+1＝0，
解得x＝1，
∴A（1，0），
∴AB＝4﹣1＝3，
联立，
解得，
∴C（，），
∴S△ABC＝×3×＝．
22．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．
（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；
（2）若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．
【分析】（1）证△ABE≌△CBF（ASA），得AB＝CB，即可得出平行四边形ABCD是菱形；
（2）由菱形的性质得AD＝AB＝13，设AE＝x，则DE＝13﹣x，在Rt△ABE和Rt△BDE中，由勾股定理得出方程：132﹣x2＝102﹣（13﹣x）2，解得x＝，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠AEB＝∠CFB＝90°，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（ASA），
∴AB＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝13，
设AE＝x，则DE＝13﹣x，
在Rt△ABE和Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2＝AB2﹣AE2＝DB2﹣DE2，
即132﹣x2＝102﹣（13﹣x）2，
解得：x＝，
∴BE＝＝，
∴平行四边形ABCD的面积＝AD×BE＝13×＝120．
23．（7分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为A（a，0），B（0，b），其中a，b满足+b2﹣8b+16＝0，点P在y轴上，且在B点上方，PB＝m（m＞0），以AP为边作等腰直角△APM，∠APM＝90°，PM＝PA，点M落在第一象限．
（1）a＝ 4 ；b＝ ﹣4 ；
（2）求点M的坐标（用含m代数式表示）；
（3）若射线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，若不变，求出Q点的坐标；若变化，请说明理由．
【分析】（1）根据完全平方公式把原式变形，根据算术平方根、偶次方的非负性分别求出a、b；
（2）证明△AOP≌△PNM，根据全等三角形的性质得到NM＝OP＝m+4，NP＝OA＝4，得到点M的坐标；
（3）利用待定系数法求出直线MB的解析式，根据x轴上点的坐标特征计算即可．
【解答】解：（1）+b2﹣8b+16＝0，
则+（b+4）2＝0，
∵≥0，（b+4）2≥0，
∴a﹣4＝0，b+4＝0，
解得，a＝4，b＝﹣4，
故答案为：4；﹣4；
（2）过点M作MN⊥y轴于点N，
∵∠APM＝90°．
∴∠OPA+∠NPM＝90°．
∵∠NMP+∠NPM＝90°，
∴∠OPA＝∠NMP，
在△AOP和△PNM中，
，
∴△AOP≌△PNM（AAS），
∴NM＝OP＝m+4，NP＝OA＝4，
∴ON＝OP+NP＝m+8，
∴点M的坐标为（m+4，m+8）；
（3）点Q的坐标不变，
理由如下：设直线MB的解析式为y＝kx+4，
则k（m+4）+4＝m+8，
整理得，k（m+4）＝m+4，
∵m＞0，
∴m+4≠0，
解得，k＝1，
∴直线MB的解析式为y＝x+4，
∴无论m的值如何变化，点Q的坐标都为（﹣4，0）．
24．（7分）在△ABC中，CD⊥AB于点D．
（1）如图1，当点D是线段AB中点时，延长AC至点E，使得CE＝CB，连接EB．
①按要求补全图1；
②若AB＝2，AC＝，求EB的长．
（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，作∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠CAB，CE＝CB，连接AE，用等式表示线段AB，CD，AE的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）①按题意画出图形即可；
②由中位线定理证出∠ABE＝90°，由勾股定理可得出答案．
（2）如图2中，在AC的上方作△ACT，使得CT＝CA，∠ACT＝∠BCE，过点C作CH⊥AT于H．证明△ACE≌△TCB（SAS），推出AE＝BT，由勾股定理可得出结论．
【解答】解：（1）①补全图形如图1，
②∵CD⊥AB，D为AB的中点，
∴AC＝CB，
∵CE＝CB，
∴AC＝CE，
∴CD是△ABE的中位线，
∴CD∥BE，
∴AB⊥BE，
∴∠ABE＝90°，
∵AB＝2，AC＝，
∴AE＝2AC＝2，
∴BE＝＝＝2；
（2）如图2所示：
线段AB，CD，AE的数量关系为：4CD2+AB2＝AE2．
理由如下：
如图2中，在AC的上方作△ACT，使得CT＝CA，∠ACT＝∠BCE，过点C作CH⊥AT于H．
∵CA＝CT，CH⊥AT，
∴AH＝HT，∠ACH＝∠TCH，
∵∠BCE＝2∠CAB，∠ECB＝∠ACT，
∴∠ACH＝∠CAB，
∴CH∥AB，
∴∠CHA＝∠HAB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCH是矩形，
∴CD＝AH＝HT，
∴AT＝2AH＝2CD，
∵∠ACT＝∠ECB，
∴∠ACE＝∠TCB，
∵CA＝CT，CE＝CB，
∴△ACE≌△TCB（SAS），
∴AE＝BT，
∵AT2+AB2＝BT2，
∴（2CD）2+AB2＝AE2，
即4CD2+AB2＝AE2．
25．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：如果图形M上存在点Q，使得0≤PQ≤2，那么称点P为图形M的和谐点．已知点A（﹣4，3），B（4，3）．
（1）在点P1（﹣2，1），P2（﹣1，0），P3（5，4）中，直线AB的和谐点是 P1，P3 ；
（2）点P为直线y＝x+1上一点，若点P为直线AB的和谐点，求点P的横坐标t的取值范围；
（3）已知点C（4，﹣3），D（﹣4，﹣3），如果直线y＝x+b上存在矩形ABCD的和谐点E，F，使得线段EF上的所有点都是矩形ABCD的和谐点，且EF＞2，请直接写出b的取值范围．
【分析】（1）作出直线AB图象根据到直线的距离即可得出结论；
（2）设出点P的坐标，根据和谐点的定义找出临界值即可求出t的取值范围；
（3）根据图象找出临界值，再根据对称性写全取值范围即可．
【解答】解：（1）作AB图象如图，P2到AB的距离为3不符合和谐点条件，
P1、P2点到直线AB的距离在0～2之间，符合和谐点的条件，
故直线AB的和谐点为P1，P2；
（2）∵点P为直线y＝x+1上一点，
∴设P点坐标为（t，t+1），
寻找直线上的点，使该点到AB垂线段的距离为2，
∴|t+1﹣3|＝2，
解得t＝0或t'＝4，
∴0≤t≤4；
（3）如图当b＝5时，图中线段EF上的点都是矩形ABCD的和谐点，且EF＝2，
当b＝3时，线段E'F'上的点都是矩形ABCD的和谐点，E'F'＞2，
∴3≤b＜5，
由对称性同法可知﹣5＜b≤﹣3也满足条件，
故3≤b＜5或﹣5＜b≤﹣3．
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