专题3.1 待定系数求方程，几何转至代数中-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（原卷版）

专题1  待定系数求方程，几何转至代数中

【题型综述】

　　求圆锥曲线方程的策略一般有以下几种：①几何分析法＋方程思想；②设而不求＋韦达定理；③第二定义＋数形结合；④参数法＋方程思想。几何分析法，利用图形结合圆锥曲线的定义与几何性质，分析图中已知量与未知量之间的关系，列出关于方程中参数的方程，解出参数值即可得到圆锥曲线方程，要求平面几何中相似等数学知识必须十分熟练。设而不求、韦达定理是解圆锥曲线问题的通性通法，缺点是计算量较大，费时费力，容易出错，通常根据题设条件，设出点的坐标和直线方程，将直线方程代入曲线方程，化为关于的一元二次方程，利用韦达定理用参数表示出来，根据题中条件列出关于参数的方程，通过解方程解出参数值，即可得出圆锥曲线的方程。不管是哪种方法，最终都要列出关于圆锥曲线方程中的参数的方程问题，通过解方程解出参数值，即可得到圆锥曲线方程，故将利用平面几何知识和圆锥曲线的定义与性质是将几何问题转化为代数问题，简化解析几何计算的重要途径.

【典例指引】

类型一  待定系数法求椭圆方程 

例1 【2014年全国课标Ⅱ，理20】设,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.

（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；

（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.

类型2  参数法求椭圆方程

例2.【2015高考安徽，理20】设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为.

（I）求E的离心率e；

（II）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求

E的方程.

类型3 设而不求思想与韦达定理求抛物线方程

例3【2013年高考数学湖南卷】过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点A，B，相交于点C，D.以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为.

（I）若，证明；；

（II）若点M到直线的距离的最小值为，求抛物线E的方程.

类型4  待定系数法求抛物线方程

例4  （2012全国课标理20）.设抛物线：（＞0）的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于,两点.

(Ⅰ)若,的面积为，求的值及圆的方程；

(Ⅱ)若，，三点在同一条直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到，距离的比值.

【扩展链接】

1.       焦点三角形面积公式：圆锥曲线的左右焦点分别为F1，F 2，点P为曲线上任意一点，（1）若P在椭圆上，则椭圆的焦点角形的面积为.

（2）若P在双曲线上，则双曲线的焦点角形的面积为.

2.椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：

,( , ).

【新题展示】

1．【2019四川绵阳二诊（节选）】己知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点．

（1）若直线l过点F1，且｜AF2｜十｜BF2 ｜＝，求直线l的方程；

【思路引导】

（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立  整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．根据弦长公式|AB|=，代入整理得，解得．得到直线l的方程．

2．【2019广东省模（节选）】已知点，都在椭圆：上．

（1）求椭圆的方程；

【思路引导】

（1）把点，代入椭圆方程，得即可；

3．【2019闽粤赣三省十校联考（节选）】已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为，．

（1）求椭圆的方程；

【思路引导】

（1）利用椭圆的离心率和椭圆上的点，构造关于的方程，求解得到椭圆方程；

4．【2019四川凉山二诊（节选）】椭圆长轴右端点为，上顶点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且，离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

【思路引导】

（1）由条件布列关于a，b的方程组，即可得到椭圆的标准方程；

5．【2019陕西榆林一模（节选）】已知椭圆的离心率，左顶点到直线的距离，为坐标原点．

（1）求椭圆的方程；

【思路引导】

（1）结合离心率，计算出a，b，c之间的关系，利用点到直线距离，计算a，b值即可。

【同步训练】

1．设椭圆： （）的左右焦点分别为， ，下顶点为，直线的方程为.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设为椭圆上异于其顶点的一点， 到直线的距离为，且三角形的面积为，求椭圆的方程；

2．已知抛物线（）和定点，设过点的动直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线交点为.

（Ⅰ）若在以为直径的圆上，求的值；

（Ⅱ）若三角形的面积最小值为4，求抛物线的方程.

3．已知抛物线：（）的焦点为，直线交抛物线于、两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点.

（1）是抛物线上的动点，点，若直线过焦点，求的最小值；

（Ⅱ）是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

4．设直线l：y=k（x+1）与椭圆x2+3y2=a2（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，O为坐标原点．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，△OAB的面积取得最大值时椭圆方程．

5．已知点F是椭圆C的右焦点，A，B是椭圆短轴的两个端点，且△ABF是正三角形.

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）直线l与以AB为直径的圆O相切，并且被椭圆C截得的弦长的最大值为2，求椭圆C的标准方程．

6．如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB|=|BF|．

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）若点M（﹣，）在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P、Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C的方程．

7．已知A、B分别为曲线C：+y2=1（a＞0）与x轴的左、右两个交点，直线l过点B且与x轴垂直，P为l上异于点B的点，连结AP与曲线C交于点M．

（Ⅰ）若曲线C为圆，且|BP|=，求弦AM的长；

（Ⅱ）设N是以BP为直径的圆与线段BM的交点，若O、N、P三点共线，求曲线C的方程．

8．若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，且|AB|=2，又M为AB的中点，若O为坐标原点，直线OM的斜率为，求该椭圆的方程．

9．已知直线x+y﹣1=0与椭圆相交于A，B两点，线段AB中点M在直线上．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若椭圆右焦点关于直线l的对称点在单位圆x2+y2=1上，求椭圆的方程．

10.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，△ABC的三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线l的方程为4x＋y－20＝0.

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）若O是坐标原点，P，Q是抛物线C上的两动点，且满足PO⊥OQ，证明：直线PQ过定点．

11.已知拋物线y2＝的焦点为F，斜率为的直线与该抛物线交于，且存在实数λ，使，＝.

（Ⅰ）求该抛物线的方程；

（Ⅱ）求△AOB的外接圆的方程．