新高考数学复习专题50 圆锥曲线（多选题部分）（解析版）

专题50  圆锥曲线（多选题部分）

一、题型选讲

题型一 、圆锥曲线定义与性质的考查

例1、（202年山东卷）已知曲线（    ）

A．若，，则是两条直线

B．若，则是圆，其半径为

C．若，则是椭圆，其焦点在轴上

D．若，则是双曲线，其渐近线方程为

【答案】AD

【详解】对于A，若，，则即，为两条直线，故A正确；

对于B，若，则，所以是圆，半径为，故B错误；

对于C，若，则，

所以即为椭圆，且焦点在轴上，故C错误；

对于D，若，则为双曲线，

且其渐近线为，故D正确.

例2、已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（    ）

A．的方程为 B．的离心率为

C．曲线经过的一个焦点 D．直线与有两个公共点

【答案】AC

【详解】对于A：由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为，

把点代入，得，即．

双曲线的方程为，故正确；

对于B：由，，得，

双曲线的离心率为，故错误；

对于C：取，得，，曲线过定点，故正确；

对于D：双曲线的渐近线，直线与双曲线的渐近线平行，直线与有1个公共点，故不正确．

故选：．

例3、（2020·山东济南外国语学校高三月考）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，且，若，则对双曲线中的有关结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABCD

【解析】由双曲线的定义知：，

由可得，

在中，由余弦定理可得：，

解得或，

或，

或，

又，

可得或

故选：ABCD

例4、已知双曲线，若的离心率最小，则此时（    ）

A． B．双曲线的渐近线方程为

C．双曲线的一个焦点坐标为 D．双曲线的焦点到渐近线的距离为

【答案】AB

【解析】因为，所以双曲线的焦点在轴上，所以，，所以．又双曲线的离心率，则．因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，则双曲线的离心率最小时，，，，则双曲线的渐近线方程为，故A，B正确；双曲线的焦点坐标为（，0），故C错误；焦点到渐近线的距离为，故D错误.

故选：AB．

题型二圆锥曲线的综合性问题

例5、我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆：，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点，，分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（     ）

A． B．

C．轴，且 D．四边形的内切圆过焦点，

【答案】BD

【详解】∵椭圆

∴

对于A，若，则，∴，∴，不满足条件，故A不符合条件；

对于B，，∴

∴，∴

∴，解得或（舍去），故B符合条件；

对于C，轴，且，∴

∵

∴，解得

∵，∴

∴，不满足题意，故C不符合条件；

对于D，四边形的内切圆过焦点

即四边形的内切圆的半径为c，∴

∴，∴，解得（舍去）或，∴，故D符合条件．

例6、已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（    ）

A．的最小值为

B．椭圆的短轴长可能为2

C．椭圆的离心率的取值范围为

D．若，则椭圆的长轴长为

【答案】ACD

【详解】A.因为，所以，所以，当，三点共线时，取等号，故正确；

B．若椭圆的短轴长为2，则，所以椭圆方程为，，则点在椭圆外，故错误；

C．因为点在椭圆内部，所以，又，所以，所以，即，解得，所以，所以，所以椭圆的离心率的取值范围为，故正确；

D．若，则为线段的中点，所以，所以，又，即，解得，所以，所以椭圆的长轴长为，故正确．

例7、（2020·山东高三开学考试）已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点、，则（    ）

A．若、同在双曲线的右支，则的斜率大于

B．若在双曲线的右支，则最短长度为

C．的最短长度为

D．满足的直线有4条

【答案】BD

【解析】易知双曲线的右焦点为，

设点、，设直线的方程为，

当时，直线的斜率为，

联立，消去并整理得.

则，解得.

对于A选项，当时，直线轴，则、两点都在双曲线的右支上，此时直线的斜率不存在，A选项错误；

对于B选项，，B选项正确；

对于C选项，当直线与轴重合时，，C选项错误；

对于D选项，当直线与轴重合时，；

当直线与轴不重合时，由韦达定理得，，

由弦长公式可得，解得或.

故满足的直线有条，D选项正确.

故选：BD.

例8、（2020·江苏扬州中学高二月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（    ）

A．的最小值为

B．椭圆的短轴长可能为2

C．椭圆的离心率的取值范围为

D．若，则椭圆的长轴长为

【答案】ACD

【解析】

A. 因为，所以，所以，当，三点共线时，取等号，故正确；

B.若椭圆的短轴长为2，则，所以椭圆方程为，，则点在椭圆外，故错误；

C. 因为点在椭圆内部，所以，又，所以，所以，即，解得，所以，所以，所以椭圆的离心率的取值范围为，故正确；

D. 若，则为线段的中点，所以，所以，又，即，解得，所以，所以椭圆的长轴长为，故正确.

故选：ACD

例9、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，的外角平分线交x轴于点Q，过Q作交的延长线于，作交线段于点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【解析】

由抛物线的定义，，A正确；

∵，是的平分线，∴，∴，B正确；

若，由是外角平分线，，得，从而有，于是有，这样就有，为等边三角形，，也即有，这只是在特殊位置才有可能，因此C错误；

连接，由A、B知，又，是平行四边形，∴，显然，∴，D正确．

二、达标训练

1、（2020·山东高三其他模拟）关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（    ）.

A．它们有相同的渐近线 B．它们有相同的顶点

C．它们的离心率不相等 D．它们的焦距相等

【答案】CD

【解析】双曲线的顶点坐标，渐近线方程：，离心率为：，焦距为10．

双曲线，即：，它的顶点坐标，

渐近线方程：，离心率为：，焦距为10．

所以它们的离心率不相等，它们的焦距相等．

故选：．

2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，则能使双曲线C的方程为的是(     )

A．离心率为 B．双曲线过点

C．渐近线方程为 D．实轴长为4

【答案】ABC

【解析】由题意，可得：焦点在轴上，且；

A选项，若离心率为，则，所以，此时双曲线的方程为：，故A正确；

B选项，若双曲线过点，则，解得：；此时双曲线的方程为：，故B正确；

C选项，若双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的方程为：，

所以，解得：，所以此时双曲线的方程为：，故C正确；

D选项，若实轴长为4，则，所以，此时双曲线的方程为：，故D错误；

故选：ABC.

3、（2020届山东省德州市高三上期末）已知抛物线的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点、两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【解析】

如下图所示：

分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.

抛物线的准线交轴于点，则，由于直线的斜率为，其倾斜角为，

轴，，由抛物线的定义可知，，则为等边三角形，

，则，，得，

A选项正确；

，又，为的中点，则，B选项正确；

，，（抛物线定义），C选项正确；

，，D选项错误.

故选：ABC.

4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（    ）

A．以线段为直径的圆与直线相离  B．以线段为直径的圆与轴相切

C．当时， D．的最小值为4

【答案】ACD

【解析】对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离：

对于选项B，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误.

对于选项C，D，设，，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得 ，，，若设，则，于是，最小值为4；当可得，

，所，.

故选:ACD.

5、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则（    ）

A．C的焦距为

B．C的离心率为

C．圆D在C的内部

D．的最小值为

【答案】BC

【解析】 ，

，则C的焦距为，.

设（），

则，

所以圆D在C的内部，且的最小值为.

故选：BC.

6、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知抛物线的焦点为、准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则 （    ）

A．若，则

B．以为直径的圆与准线相切

C．设，则

D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条

【答案】ABC

【解析】对于选项A,因为,所以,则,故A正确；

对于选项B,设为中点,设点在上的射影为,点在上的射影为,则由梯形性质可得,故B正确；

对于选项C,因为,所以,故C正确；

对于选项D,显然直线,与抛物线只有一个公共点,设过的直线为,

联立,可得,令,则,所以直线与抛物线也只有一个公共点,此时有三条直线符合题意,故D错误；

故选：ABC

7、（2020·福清西山学校高二期中）在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（    ）

A．的方程为 B．的离心率为

C．的渐近线与圆相切 D．满足的直线仅有1条

【答案】AC

【解析】设点，由已知得，整理得，所以点的轨迹为曲线的方程为，故A正确；

又离心率，故B不正确；

圆的圆心到曲线的渐近线为的距离为，

又圆的半径为1，故C正确；

直线与曲线的方程联立整理得，

设， ，且，

有，所以，

要满足，则需，解得或或，当,此时，而曲线E上，所以满足条件的直线有两条，故D不正确，

故选：AC.