数学-（湖南长沙卷）2021年中考考前最后一卷

这是一份数学-（湖南长沙卷）2021年中考考前最后一卷，共22页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，考试范围，下列命题中，真命题是等内容，欢迎下载使用。

2021年中考考前最后一卷【湖南长沙卷】
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
5．考试范围：中考全部内容。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．下列各数中，最小的数是
A． B． C． D．－2021
2．下列计算正确的是（　　）
A．（﹣3x）3＝﹣27x3 B．（x﹣2）2＝x4
C．x2÷x﹣2＝x2 D．x﹣1•x﹣2＝x2
3．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
4．要想了解九年级1000名考生的数学成绩，从中抽取了100名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是
A．这100名考生是总体的一个样本 B．每位考生的数学成绩是个体
C．1000名考生是总体 D．100名考生是样本的容量
5．如图，直线a∥b，点A在直线11上，以点A为圆心，适当的半径画弧，分别交直线l1、l2于点C、B两点，连接AC、BC，若∠ABC＝58°，则∠1的大小为（　　）

A．54° B．58° C．64° D．68°
6．下列命题中，真命题是
A．有两个内角是的四边形是矩形 B．一组邻边互相垂直的菱形是正方形
C．对角线相互垂直的梯形是等腰梯形 D．两组内角相等的四边形是平行四边形
7．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是－3和4时，输出的y值相等，则m等于（ ）

A．－17 B．－25 C．25 D．－43
8．已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
9．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　）

A． B． C． D．
10．若整数a是使得关于x的不等式组有且只有2个整数解，且使得且关于y的分式方程＋＝a有非负数解，则所有满足条件的整数a的个数为
A．6 B．5 C．4 D．3
11．已知点，，三点都在反比例函数的图像上，则下列关系正确的是
A． B． C． D．
12．如图，已知，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，，M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点Р在线段AB上移动时，点MN之间的距离最短为（ ）

A．2 B． C．4 D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．用科学计数法表示0.00000708=______________.
14．分解因式：______________.
15．中，，，，将沿所在直线旋转一周，所得几何体的全面积是______________.（结果保留）
16．如图，半圆的半径为1，为直径，、为切线，，P为上一动点，求的最小值______________.

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算的值
18．先化简，再求值：，其中．
19．已知，按下列要求：（尺规作图，保留痕迹，不写作法）
（1）作边上的高；
（2）作的平分线．（尺规作图）
（3）作出线段的垂直平分线．（尺规作图）

20．某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试．根据测试成绩绘制出下面的统计表和下图的统计图（成绩均为整数，满分为10分）．
已知甲组的平均成绩为8.7分．
甲组成绩统计表
成绩
7
8
9
10
人数
1
9
5
5

请根据上面的信息，解答下列问题：
（1）__________，甲组成绩的中位数是__________，乙组成绩的众数是__________；
（2）参考下面甲组成绩方差的计算过程，求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？

（3）在甲组的5名满分同学中，有3名男生和2名女生，现从这5人中任选两人进行复测，请用列表或画树状图的方法求选中的这两人都是男生的概率．
21．已知在和中，，，，，相交于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求的度数．

22．清明时节“雨后绿初见，择艾作青团”．“元祖“推出一款鲜花青团和一款芒果青团，鲜花青团每个售价是芒果青团的倍，4月份鲜花青团和芒果青团总计销售6000个．鲜花青团销售额为250000元，芒果青团销售额为280000元．
（1）求鲜花青团和芒果青团的售价？
（2）5月份正值“元祖”店庆，计划再生产12000个青团回馈新老顾客，但考虑到芒果青团较受欢迎，同时也考虑受机器设备限制，因此芒果青团的个数不少于鲜花青团个数的，且不多于鲜花青团的2倍，其中，鲜花青团每个让利3元销售，芒果青团售价不变，问：“元祖”如何设计生产方案？可使总销售额最大，并求出总销售额的最大值．
23．（特例感知）
（1）如图①，∠ABC 是⊙O 的圆周角，BC 为直径，BD 平分∠ABC 交⊙O 于点 D，CD=3， BD=4，则点 D 到直线 AB 的距离为 ．
（类比迁移）
（2）如图②，∠ABC 是⊙O 的圆周角，BC 为⊙O 的弦，BD 平分∠ABC 交⊙O 于点 D，过 点 D 作 DE⊥BC，垂足为 E，探索线段 AB、BE、BC 之间的数量关系，并说明理由．
（问题解决）
（3）如图③，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠ABC=90°，BD 平分∠ABC，BD= 7， AB=6，则△ABC 的内心与外心之间的距离为 ．

图① 图② 图③
24．已知抛物线y＝ax2+bx+c(a＞0)，顶点D在y轴上，与x轴的一个交点的横坐标为．
(1)求a、c满足的关系式；
(2)若直线y＝kx-2a与抛物线交于A、B两点(点A在点B左侧)，以AB为直径的圆恒过点D．
①求抛物线的解析式；
②设直线y＝kx-2a与y轴交于点M、直线l1：y＝px+q过点B，且与抛物线只有一个公共点，过点D作x轴的平行线l2，l1与l2交于点N．分别记、的面积为S1，S2，求．
25．如图，二次函数与轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，且，∠BAC的角平分线交于点D，过D点的直线与射线AB，AC分别交于E，F．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，证明：当直线绕点D旋转时，为定值，并求出该定值；
（3）如图2，在第一象限的抛物线存在点P，使得，请求出点P的坐标．





2021年中考考前最后一卷【湖南长沙卷】
数学·全解全析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
A
A
B
C
B
D
B
B
B
C
B
1．【答案】D
【解析】因为正数永远大于负数，
所以可知C选项不是最小，故排除C选项，
因为，所以，所以，
因为，所以，
所以，所以，
故可知：最小的数为-2021，故选：D．
2．【答案】A
【解析】A、（﹣3x）3＝﹣27x3，计算正确，故A符合题意；
B、（x﹣2）2＝x-4，原选项计算不正确，故B不符合题意；
C、x2÷x﹣2＝x4，原选项计算不正确，故C不符合题意；
D、x﹣1•x﹣2＝x-3，原选项计算不正确，故D不符合题意；
故选：A．
3．【答案】A
【解析】A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
4．【答案】B
【解析】这100名考生的数学成绩是总体的一个样本，故A错误；
每位考生的数学成绩是个体，故B正确；
1000名考生的数学成绩是总体，故C错误；
样本容量是100，故D错误；
故答案选B．
5．【答案】C
【解析】根据题意得，
，
，
a//b，

故选：C．
6．【答案】B
【解析】A、有两个内角是的四边形不一定是矩形，也有可能是梯形，故此选项不符合题意；
B、一组邻边互相垂直的菱形是正方形，故此选项符合题意；
C、对角线相互垂直的梯形不一定是等腰梯形，故此选项不符合题意；
D、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：B
7．【答案】D
【解析】当时，因为，所以，当时，
因为，所以，所以，解得：
故答案为：D.
8．【答案】B
【解析】点关于原点对称的点为，
因为在第四象限，所以 ，解得，
所以在数轴上表示为：，故选：B．
9．【答案】B
【解析】如图所示：根据网格的特点作AE⊥BC于E点，所以AE=4，
所以S△ABC＝×BC×AE＝×BD×AC，
因为AC＝，BC＝6，即×6×4＝×5×BD，
解得：BD＝．故选：B．

10．【答案】B
【解析】
由①得，2（x-1）＞3x-6，解得：x＜4，
由②得，x≥，
因为有且只有2个整数解，所以1＜≤2，解得，1＜a＜7,
＋＝a,
2y+3-a-1=a(y-1) ,
(2-a)y=-2 ,
y=,
a≠2,
因为有非负数解，所以2-a＜0，所以a＞2，所以1＜a≤7 ，所以2＜a≤7
所以a可为3、4、5、6、7，故答案为：B.
11．【答案】C
【解析】因为，所以，，所以．故选C．
12．【答案】B
【解析】连接PM、PN．

因为四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°，
所以∠APC＝120°，∠EPB＝60°，
因为M，N分别是对角线AC，BE的中点，
所以∠CPM＝∠APC＝60°，∠EPN＝∠EPB＝30°，
所以∠MPN＝60°+30°＝90°，
设PA＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝（4﹣a），
所以MN＝，
所以a＝3时，MN有最小值，最小值为2，
故选：B．
13．【答案】7.08×10−6
【解析】0.00000708＝7.08×10−6，故答案为：7.08×10−6．
14．【答案】
【解析】
=
=
=
=
故答案为：．
15．【答案】
【解析】如图，过B点作BO⊥AC与O点，

因为∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
所以AC＝，
因为BO•AC＝AB•BC，
所以OB＝3×45，
所以所得几何体的全面积＝×2π××4＋×2π××3＝．
故答案为．
16．【答案】
【解析】因为OA=AC=1，AC是切线，所以∠CAO=90°，所以CO=，
连接CO、OP，取CO中点M，连接DM，PM，

所以OM=，所以，∠POM=∠COP，所以，
所以，所以，
所以，
过M作MH⊥BD于H，MN⊥AB于N，
所以，MN=，
所以，
因为BD是切线，BD=2，
所以∠ABD=90°，
所以四边形MNBH为矩形，
所以，BH= MN=，
，
所以
所以，即最小值为，
故答案为：．
17．【解析】原式＝＝．
18．【解析】
=
=
=
=
当时，
19．【解析】（1）如图所示：AD为BC边上的高．
（2）如图所示：BE为△ABC的平分线．

（3）如图所示：为线段的垂直平分线．

20．【解析】（1）两种一共40人，甲组20人，乙组20人，
所以2+9+6+m=20
所以m=3，
甲组成绩的中位数是：，
乙组成绩的中位数是：8；
（2），,
= =0.75，
因为，所以乙组的成绩更加稳定．
（3）列表如下：

男1
男2
男3
女1
女2
男1

男1男2
男1男3
男1女1
男1女2
男2
男2男1

男2男3
男2女1
男2女2
男3
男3男1
男3男2

男3女1
男3女2
女1
女1男1
女1男2
女1男3

女1女2
女2
女2男1
女2男2
女2男3
女2女1

因为一共有20种等可能的结果，其中选中的两人均是男的情况共有6种等可能的结果，
所以（选中的两人都是男生）．
21．【解析】（1）证明：因为，，，
所以∠BAC＝∠EAF＝90°，
所以∠BAC+∠CAE＝∠FAE+∠CAE，
所以∠BAE＝∠CAF，
在△CAF和△BAE中，
所以△CAF≌△BAE，
所以；
（2）证明：如图，因为△CAF≌△BAE，
所以∠ABE＝∠ACF，
因为∠BAC＝90°，
所以∠ABO+∠BOA＝90°，
因为∠BOA＝∠COM，
所以∠COM+∠ACF＝90°，
所以∠CMO＝180°﹣90°＝90°，
所以BE⊥CF．

（3）如图；过点A分别作AG⊥BE于G，AH⊥CF于H，
则∠AGB＝∠AHC＝90°，
在△AGB和△AHC中，
所以△AGB≌△AHC，
所以AG＝AH，
因为AG⊥BE，AH⊥FC，
所以AM是∠HMG的平分线，
所以∠AMB∠HMG＝45°．

22．【解析】（1）设芒果青团每个售价为x元，鲜花青团每个售价x元，
根据题意：，
去分母化为整式方程280000+200000=6000x，
解得：，
经检验符合题意，
所以元，
鲜花青团每个售价为100元，芒果青团每个售价为80元；
（2）设芒果青团的个数为m个，则鲜花青团的个数为（12000-m）个，
根据题意得，
，
，
解得，
总销售额W=80m+(100-3)×（12000-m）=1164000-17m，
因为，
W随x的增大而减小，
所以当m=4000时，可使总销售额最大，
W总销售额的最大值=1164000-68000=1096000元．
23．【解析】（1）由AB是直径可得∠BDC=90°，根据勾股定理可得BC=5
过点D分别作DE⊥BC于点E，DF⊥BA于点F
由BD平分∠ABC可得DE=DF=，DF即为所求

（2）过点D分别作DE⊥BC于点E，DF⊥BA于点F
由∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EDF=180°
可得∠ADF=∠CDE
进而可证△ADF≌△CDE(ASA)
所以AF=CE
所以BF－AB=BC－BE
易证BF=BE
所以BE－AB=BC－BE，即AB+BC=2BE
（3）如图易得四边形BEDF为正方形，BD是对角线，可得正方形边长为7
由（2）可得BC=2BE－AB=8，由勾股定理可得AC=10
作△ABC内切圆，M为圆心，N为切点，由切线长定理可得ON=5－4=1,
由面积法易得内切圆半径为2,
所以，
故答案：（1）（2）AB+BC=2BE（3）
24．【解析】（1）抛物线，顶点D在y轴上，
抛物线的对称轴为y轴，即，
，
抛物线与x轴的一个交点的横坐标为，
抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为，
和是关于x的一元二次方程的两根，
，
即；
（2）①由（1）可得：抛物线的解析式为，
顶点D的坐标为，
由题意，设点A、B的坐标分别为，且，
由点A、D的坐标得：直线AD解析式中的一次项系数为，
由点B、D的坐标得：直线BD解析式中的一次项系数为，
联立可得，
则与是关于x的一元二次方程的两根，
由根与系数的关系得：，
以AB为直径的圆恒过点D，
，即，
则，
整理得：，
解得或（不符题意，舍去），
故抛物线的解析式为；
②由①可知，，
则直线的解析式为，
联立可得，
与抛物线只有一个公共点，
方程只有一个实数根，
其根的判别式，且，
解得，
将代入得：，
联立，解得，
即点N的坐标为，
，
，，
．
25．【解析】（1）设，
因为
所以
所以，对称轴
所以①
将A,C点坐标代入解析式：
所以①②③联立得：
所以抛物线解析式：．
（2）如图，过D点作DG//x轴，交线段AC于G点，过F点作FT//OA，交射线AD于T点，过C点作CQ//OA，交射线AD于Q点，

所以，，
所以，，
所以，
所以，
因为CQ//x轴，
所以∠Q=∠QAO，
又因为，
所以，
所以AC=CQ，
所以，
同理可得：，
由①知：，，
所以利用勾股定理得：，
所以，
所以，
所以为定值，为：
（3）如解（3）图，过C点作CS⊥AC，在CS上取S点，取CS=2AC，则，故P点在以AS为直径的圆上，

因为，所以，，
过C点作ML⊥y轴，过点A、点S作ML的垂线AM、SL，垂足分别为M、L，
所以∠MAC=∠SCL，
所以，
所以，
又因为，，
所以，，
所以点S坐标为（6，-1），
又因为点A坐标为（-1，0）
所以取AS中点R，点R坐标为，即
设，则，
整理得：，
所以，，，，
因为当时，故舍去，
因为当时，，
所以．