2023年湖北省黄冈市浠水县方铺中学中考数学一模试卷(含答案解析)

2023年湖北省黄冈市浠水县方铺中学中考数学一模试卷

1.  x的相反数是，则x的倒数为(    )

A.  B. 3 C.  D.

2.  平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.  如图，在中，AD是BC边上的高，BE平分交AC边于E，，，则的大小是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  一个袋子中装有4个相同的小球，它们分别标有号码1，2，3，4，摇匀后随机取出一球，记下号码后放回：再将小球摇匀，并从袋中随机取出一球，则第二次取出的球的号码不大于第一次取出的球的号码的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

7.  如图，在正方形ABCD外取一点P，连接AP、BP、若，则DP的最大值为(    )

A.
B.
C. 5
D. 6

8.  如图，在中，，，，点D是斜边AC上的动点，将线段BD绕点B旋转至BE，连接CE，DE，则CE的最小值是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  若与互为相反数，则______ .

10.  如图，直线MN与相切于点M，且，则______ .

11.  因式分解：__________.

12.  点和点关于x轴对称，则______ .

13.  如图，矩形ABCD中，点A在双曲线上，点B、C在x轴上，延长CD至点E，使，连接BE交y轴于点F，连接CF，已知的面积为6，则______ .

14.  如图，BD是的直径，A是外一点，点C在上，AC与相切于点C，，若，，，则弦BC的长为__________.

15.  如图所示，已知点，将长方形ABOC沿x轴正方向连续翻转2022次，点A依次落在点，，，……，的位置，则的坐标是______ .

16.  如图，在中，，，，P为边BC上一动点，于E，于F，M为EF中点，则AM的取值范围是_____________.

 

17.  计算：

18.  某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：
在扇形统计图中，“非常重视”所占的圆心角的度数为______ ，并补全条形统计图；
该校共有学生4800人，请你估计该校对视力保护“比较重视”的学生人数；
对视力“非常重视”的4人有，两名男生，其中是七年级学生，是八年级学生；，两名女生，其中是八年级，是九年级.若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请求出恰好抽到不同年级、不同性别的学生的概率.
 

19.  某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车，若购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元．
型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元？
该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．

20.  如图，AB和与x轴垂直，A点的坐标是，和是位似三角形，且位似比是1：3，点C是的中心，反比例函数的图象经过点C，与交于点
求点D坐标；
连接BD、CD，求四点边形ABDC的面积.

21.  如图，在等腰三角形ABC中，，D是AB上任意一点，以D为圆心，DB为半径作，分别交AB、BC于点E、F，过点F作，垂足为
判断直线FG与的位置关系并证明.
若，，，求的半径.

22.  有一种葡萄：从树上摘下后不保鲜最多只能存放一周，如果放在冷藏室，可以延长保鲜时间，但每天仍有一定数量的葡萄变质，假设保鲜期内的重量基本保持不变，现有一位个体户，按市场价收购了这种葡萄200千克放在冷藏室内，此时市场价为每千克2元，据测算，此后每千克鲜葡萄的市场价格每天可以上涨元，但是，存放一天需各种费用20元，平均每天还有1千克葡萄变质丢弃．
设5天后每千克鲜葡萄的市场价为P元，则______ ；
若存放x天后将鲜葡萄一次性出售，销售金额为760元，求x的值？
问个体户将这批葡萄存放多少天后出售，可获得最大利润？最大利润Q是多少？

23.  在中，，O是AB的中点，作分别交AC，BC于点P，Q，连接
【尝试探究】如图1，若，求证：；
【深入研究】如图2，试探索中的结论在一般情况下是否仍然成立；
【解决问题】如图3，若，，点C，P，O，Q在同一个圆上，求面积的最大值.

24.  如图，抛物线与x轴交于A，B两点点A在点B左侧，与y轴交于点C，连接AC，点E为线段BC上的一点，直线AE与抛物线交于点
直接写出A，B，C三点的坐标，并求出直线BC的表达式；
连接HB，HC，求面积的最大值；
若点P为抛物线上一动点，试判断在平面内是否存的一点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：的相反数是，
，
的倒数为
故选：
根据只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，进行解答即可．
本题考查了相反数以及倒数的定义，熟记相关定义是解本题的关键．
 

2.【答案】C 

【解析】

【分析】
本题考查关于坐标轴对称的点的坐标的关系，解题的关键是掌握关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数.
【解答】
解：点关于x轴的对称点的坐标是，
故选  

3.【答案】B 

【解析】解：平分，
，
是BC边上的高，
，

故选：
根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据计算即可得解．
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
 

4.【答案】C 

【解析】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算正确，符合题意；
D、，计算错误，不符合题意；
故选：
根据同底数幂乘除法计算法则和合并同类项法则求解判断即可．
本题主要考查了同底数幂乘除法和合并同类项，掌握同底数幂乘除法和合并同类项法则是解题的关键．
 

5.【答案】D 

【解析】解：根据题意画图如下：

由图可得，共有16种等情况数，其中第二次取出的球的号码不大于第一次取出的球的号码的有10种，
所以第二次取出的球的号码不大于第一次取出的球的号码的概率为，
故选：
根据题意画出树状图得出所有等情况数和第二次取出的球的号码不大于第一次取出的球的号码的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

6.【答案】C 

【解析】解：关于x的一元二次方程有实数根，
且，
解得且，
故选：
根据关于x的一元二次方程有实数根知且，解之即可．
本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：
①当时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当时，方程有两个相等的两个实数根；
③当时，方程无实数根．
 

7.【答案】D 

【解析】解：过点A作，使E、B在AP两侧，，连接BE，

，
四边形ABCD为正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
当点P落在线段BE上时，BE有最大值为6，
的最大值为
故选：
过点A作，使E、B在AP两侧，，连接BE，根据勾股定理得到，根据正方形的性质得到，，易发现，以此即可通过SAS证明≌，则，由三角形的三边关系可得，以此即可解答．
本题主要考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、三角形三边关系，解题关键是正确作出辅助线，利用三角形三边关系答题．
 

8.【答案】B 

【解析】解：如图，过点E作于点F，过点D作于点M，

则当点C，E，F三点共线时，CE最小，
由旋转的性质得：，，
是等边三角形，
点F是BD的中点，，
，
又，点F是BD的中点，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即CE的最小值为，
故选：
过点E作于点F，过点D作于点M，先确定出当点C，E，F三点共线时，CE最小，再根据等边三角形的判定与性质、勾股定理可得，根据线段垂直平分线的性质可得，然后解直角三角形可得，，从而可得，利用勾股定理可得，则，最后根据三角形的面积公式可得，由此即可得出答案．
本题考查了解直角三角形、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确找出当CE的值最小时，点E的位置是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
，，
解得：，，
，
故答案为：
根据相反数的性质列出等式，再根据非负数的性质可求出a、b的值，再将它们代入代数式中求解即可．
本题考查了非负数的性质，代数式求值，熟知如果几个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接OM，OM的反向延长线交EF于点C，如图，
直线MN与相切于点M，
，
，
，
，
，
而，
，
为等边三角形，
，

故答案为：
连接OM，OM的反向延长线交EF于点C，由直线MN与相切于点M，根据切线的性质得，而，根据平行线的性质得到，于是根据垂径定理有，再利用等腰三角形的判定得到，易证得为等边三角形，所以，然后根据特殊角的三角函数值求解．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质和特殊角的三角函数值．
 

11.【答案】 

【解析】解：


故答案为：
直接提取公因式3，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确掌握公式法分解因式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：点和点关于x轴对称，
，
，，
，
故答案为：
根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数得出a，b的值，进而代入代数式即可求解．
本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，得出a，b的值是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设，则，设则，

，
四边形ABCD是矩形，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
的面积为6，
，

故答案为：
设AD交y轴于J，交BE于K，设，则，设利用平行线分线段成比例定理求出BC，OF即可解决问题．
本题考查反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接CD、OC，如图．
与相切于点C，

，
，
，

，
，

是的直径，
，
∽，
，
，

故答案为：
连接CD、OC，由切线的性质得出，证出，由平行线的性质和等腰三角形的性质得出，由圆周角定理得出，证明∽，得出，即可得出结果．
本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证明三角形相似是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意得：从A开始翻转，当旋转到，时，A回到矩形的起始位置，所以为一个循环，
故坐标变换规律为4次一循环．，，，，，，，，，，，，
……，
，，，，
当时，即，解得，
横坐标为，纵坐标为0，
则的坐标，
故答案为：
先求出，，，，，找到规律求解．
本题主要考查图形的旋转变换，解题关键是找到图形在旋转的过程中，点坐标变化规律进而求解．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接AP，

，，
，
，
四边形AEPF是矩形，
，
，M为EF中点，
，
在中，，，，
，
当时，AP值最小，
此时，
，
即AP的范围是，
，
的范围是，
，
即，
，

故答案为：
首先连接AP，由在中，，于E，于F，可证得四边形AEPF是矩形，即可得，即，然后由当时，AP最小，可求得AM的最小值，又由，即可求得AM的取值范围．
此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理以及直角三角形的面积问题．注意掌握辅助线的作法，将AM的长转化为的长是解题的关键，注意当时，AP最小，且
 

17.【答案】解：


 

【解析】先计算有理数的乘方，算术平方根，立方根，绝对值，然后合并即可．
本题主要考查了实数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：调查的学生人数为人，
“非常重视”所占的圆心角的度数为，
故答案为：；
“重视”的人数为人，补全条形统计图如图：

由题意得：人，
即估计该校对视力保护“比较重视”的学生人数为2160人；
画树状图如图：

共有12个等可能的结果，恰好抽到不同年级、不同性别的学生的结果有6个，
恰好抽到同性别学生的概率为
先由“不重视”的学生人数和所占百分比求出调查总人数，再由乘以“非常重视”的学生所占比例得所占的圆心角的度数；求出“重视”的人数，补全条形统计图即可；
由该校共有学生人数乘以“比较重视”的学生所占比例即可；
画树状图，共有12个等可能的结果，恰好抽到不同年级、不同性别的学生的结果有6个，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了扇形统计图和条形统计图以及样本估计总体．
 

19.【答案】解：设A型汽车每辆的价格为x万元，B型汽车每辆的价格为y万元，
依题意，得：，
解得，
答：A型汽车每辆的价格为25万元，B型汽车每辆的价格为30万元；
设购进A型汽车m辆，购进B型汽车辆，根据题意得：

解得：，
是整数，
或4，
当时，该方案所用费用为：万元；
当时，该方案所用费用为：万元
，
最省的方案是购买A型汽车4辆，购进B型汽车6辆，该方案所需费用为280万元．
答：最省的方案是购买A型汽车4辆，购进B型汽车6辆，该方案所需费用为280万元． 

【解析】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组和方程组，利用方程和不等式的性质解答．
设A型汽车每辆的价格为x万元，B型汽车每辆的价格为y万元，根据“购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
根据题意列出不等式组解答即可．
 

20.【答案】解：和是位似三角形，且位似比是1：3，
，
点坐标是，
，，
，
，，
，
点C是的中点，
，
即反比例函数为：，
轴，
，
即；
如图，

，，，，，，
，
，
的面积，
的面积，
 

【解析】利用位似三角形的性质先求解，，再求解，C的坐标，可得反比例函数的解析式，从而可得答案；
先确定，再分别计算各三角形的面积即可．
本题考查的是位似三角形的性质，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，图形与坐标，熟练的运运位似图形的性质求解点的坐标是解本题的关键．
 

21.【答案】证明：连接DF，
，
，
，

，
，
于点G，

是的半径，
直线FG是的切线．
解：连接
是的直径，
，
，
，
，
∽
，
，

设的半径为，则，
，
，
，
，
，
，，

，
经检验，是原方程的根．
的半径为 

【解析】连接由等腰三角形的性质推出，得到，由于点G，得到即可证明问题．
连接EF，由条件可以证明∽得到，设的半径为，则，，由得到，因此，即可列出关于x的方程，求x即可．
本题考查切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是掌握切线的判定方法；通过辅助线构造相似三角形．
 

22.【答案】 

【解析】解：市场价为每千克2元，每天上涨元，存放x天后可上涨元，；
根据题意列方程
整理得：，
解得：，，
故存放10天或180天；
设利润为w，

当天时，利润最大，最大利润是405元．
根据市场价=原价天上涨的价格列出代数式；
根据销售金额天后的市场价可售葡萄的总质量列方程求解即可；
根据利润=销售总金额天的总费用-成本，列出函数表达式，进而求得最值即可．
本题主要考查了二次函数的应用；理解销售总金额和利润的意义，得到销售总金额和总利润的等量关系是解决本题的关键．
 

23.【答案】证明：是等腰直角三角形，点O是AB的中点，
，，，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
；
解：仍然成立．
证明：延长QO至D，使，连接AD、PD，

、DQ互相平分，
四边形ADBQ是平行四边形，
，，
，
，
，
垂直平分DQ，
，
；
解：连接OP、OQ，

，过C、O两点的圆分别交AC、BC于点P、Q，
是圆的直径，
，
由②知，，
设，，
，
，
，
，

当时，的面积的最大值是 

【解析】证明≌，求出，同理求出，根据勾股定理求出即可；
延长QO到D，使，连接AD，PD，证明四边形ADBQ是平行四边形，得出，，在中，由勾股定理得：，即可得出答案；
连接PO、OQ，则，根据勾股定理得出，设，，推出，求出，代入，由二次函数的性质求出答案即可．
本题是圆的综合题，考查了勾股定理，二次函数的最值，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
 

24.【答案】解：在，令得，
，
在，令得，
解得或，
，，
设直线BC的表达式为，把，代入得：
，
解得，
直线BC的表达式为，
的坐标为，B的坐标为，C的坐标为；直线BC的表达式为；
过H作轴交BC于K，如图：

设，面积为S，则，
，
，
，
当时，S取最大值8，
面积的最大值为8；
在平面内存在一点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形，理由如下：
设，，
而，，
①若PC，BQ为对角线，则PC，BQ的中点重合，且，
，
解得与B重合，舍去或，
；
②若PB，CQ为对角线，则PB，CQ的中点重合，且，
，
解得与B重合，舍去或，
；
综上所述，Q的坐标为或 

【解析】在，令可得，令得，，设直线BC的表达式为，用待定系数法得直线BC的表达式为，
过H作轴交BC于K，设，面积为S，可得，根据二次函数性质得面积的最大值为8；
设，，分两种情况：①若PC，BQ为对角线，则PC，BQ的中点重合，且，，②若PB，CQ为对角线，则PB，CQ的中点重合，且，，分别解方程组可得答案．
本题考查二次综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，矩形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．