2022版新教材高考数学一轮复习课时质量评价28平面向量的概念与线性运算含解析新人教A版

这是一份2022版新教材高考数学一轮复习课时质量评价28平面向量的概念与线性运算含解析新人教A版，共6页。试卷主要包含了给出下面四个结论等内容，欢迎下载使用。

A组 全考点巩固练
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )
A．a与λa的方向相反
B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a|
D．|－λa|≥|λ|a
B 解析：当λ>0时，a与λa的方向相同；当λ<0时，a与λa的方向相反．A错误，B正确．|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定．C错误．|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．D错误．
2．如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量eq \(CD,\s\up6(→))等于( )
A．－eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))B．－eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))
C．eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))D．eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))
A 解析：因为D是△ABC的边AB的中点，
所以eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))．
因为eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))，
所以eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→)))＝－eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→)).
3．(2020·大同模拟)已知O，A，B三点不共线，P为该平面内一点，且eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)，则( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的延长线上
C．点P在线段AB的反向延长线上
D．点P在射线AB上
D 解析：由eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)，得eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,|\(AB,\s\up6(→))|)·eq \(AB,\s\up6(→))，所以点P在射线AB上．
4．(2020·青州模拟)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b.若c与d反向共线，则实数λ的值为( )
A．1 B．－eq \f(1,2) C．eq \f(1,2) D．－2
B 解析：由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.因为a，b不共线，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq \f(1,2).又k<0，所以λ<0，所以λ＝－eq \f(1,2).
5．(2020·合肥模拟)设D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，则eq \(DA,\s\up6(→))＋2eq \(EB,\s\up6(→))＋3eq \(FC,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)) B．eq \f(3,2)eq \(AD,\s\up6(→)) C．eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→)) D．eq \f(3,2)eq \(AC,\s\up6(→))
D 解析：因为D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，所以eq \(DA,\s\up6(→))＋2eq \(EB,\s\up6(→))＋3eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))＋2×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))＋3×eq \f(1,2)×(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(AC,\s\up6(→)).
6．若|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝2，则|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝________.
2eq \r(3) 解析：因为|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝2，
所以△ABC是边长为2的正三角形，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|为△ABC的边BC上的高的2倍，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3).
7．如图，设O是△ABC内部一点，且eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝－2eq \(OB,\s\up6(→))，则△ABC与△AOC的面积之比为________．
2∶1 解析：取AC的中点D，连接OD，如图．
则eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OD,\s\up6(→))，
所以eq \(OB,\s\up6(→))＝－eq \(OD,\s\up6(→))，
所以O是AC边上的中线BD的中点，
所以S△ABC＝2S△OAC，
所以△ABC与△AOC面积之比为2∶1.
8．给出下面四个结论：
①若线段AC＝AB＋BC，则向量eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))；
②若向量eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))，则线段AC＝AB＋BC；
③若向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))共线，则线段AC＝AB＋BC；
④若向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))反向共线，则|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))|＝AB＋BC．其中正确的结论有________(填序号)．
①④ 解析：①由AC＝AB＋BC得点B在线段AC上，则eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))，正确；
②三角形内，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))，但AC≠AB＋BC，错误；
③eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))反向共线时，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))|≠|eq \(AB,\s\up6(→))|＋|eq \(BC,\s\up6(→))|，错误；
④eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))反向共线时，|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))＋(－eq \(BC,\s\up6(→)))|＝AB＋BC，正确．
9．如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b.
(1)试用a，b表示eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))；
(2)证明：B，E，F三点共线．
(1)解：在△ABC中，因为eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，
所以eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝b－a，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,4)(b－a)＝eq \f(3,4)a＋eq \f(1,4)b，
eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(1,3)b.
(2)证明：因为eq \(BE,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(1,3)b，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)a＋\f(1,4)b))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,6)b＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a＋\f(1,3)b)).所以eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))与eq \(BE,\s\up6(→))共线，且有公共点B，所以B，E，F三点共线．
B组 新高考培优练
10．(多选题)A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)．若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值可能是( )
A．eq \f(1,2) B．2 C．eq \r(2) D．3
BCD 解析：设eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OD,\s\up6(→))，则m>1.
因为eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，
所以meq \(OD,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，
即eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(λ,m)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(μ,m)eq \(OB,\s\up6(→)).
又知A，B，D三点共线，
所以eq \f(λ,m)＋eq \f(μ,m)＝1，即λ＋μ＝m，
所以λ＋μ>1.
11．(多选题)(2020·山东四校联考)如图，在△ABC中，点D在边BC上，且CD＝2DB，点E在边AD上，且AD＝3AE，则( )
A．eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(2,9)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(8,9)eq \(AC,\s\up6(→))
B．eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(2,9)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(8,9)eq \(AC,\s\up6(→))
C．eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))
D．eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))
BD 解析：因为eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(BA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AC,\s\up6(→))))，
所以eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,9)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,9)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,9)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(8,9)eq \(AC,\s\up6(→)).
12．如图，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D．若eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，则m＋n的取值范围是________．
(－1,0) 解析：由点D是圆O外的一点，可设eq \(BD,\s\up6(→))＝λeq \(BA,\s\up6(→))(λ>1)，则eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋λeq \(BA,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(OB,\s\up6(→)).
因为C，O，D三点共线，令eq \(OD,\s\up6(→))＝－μeq \(OC,\s\up6(→))(μ>1)．
所以eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \f(λ,μ)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(1－λ,μ)eq \(OB,\s\up6(→))(λ>1，μ>1)．
因为eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，
所以m＝－eq \f(λ,μ)，n＝－eq \f(1－λ,μ)，
所以m＋n＝－eq \f(λ,μ)－eq \f(1－λ,μ)＝－eq \f(1,μ)∈(－1，0)．
13．如图，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OQ,\s\up6(→))＝neq \(OB,\s\up6(→))，m，n∈R，求eq \f(1,n)＋eq \f(1,m)的值．
解：设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，
由题意知eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)(a＋b)，
eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \(OQ,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→))＝nb－ma，
eq \(PG,\s\up6(→))＝eq \(OG,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m))a＋eq \f(1,3)b.
由P，G，Q三点共线得，存在实数λ，
使得eq \(PQ,\s\up6(→))＝λeq \(PG,\s\up6(→))，即nb－ma＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m))a＋eq \f(1,3)λb，
从而eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－m＝λ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m))，,n＝\f(1,3)λ，))消去λ得eq \f(1,n)＋eq \f(1,m)＝3.
14．直线l上有不同的三点A，B，C，O是直线l外一点，对于向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1－cs α)eq \(OB,\s\up6(→))＋sin αeq \(OC,\s\up6(→))(α是锐角)总成立，求α.
解：因为直线l上有不同的三点A，B，C，所以存在实数λ，使得eq \(BA,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，
所以eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝λ(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))，
即eq \(OA,\s\up6(→))＝(1－λ)eq \(OB,\s\up6(→))＋λeq \(OC,\s\up6(→))，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－λ＝1－cs α，,λ＝sin α，))所以sin α＝cs α.
因为α是锐角，所以α＝45°.