2022版新教材高考数学一轮复习课时质量评价15导数的概念与运算含解析新人教A版

这是一份2022版新教材高考数学一轮复习课时质量评价15导数的概念与运算含解析新人教A版，共7页。试卷主要包含了已知函数f ＝x3＋x－16.等内容，欢迎下载使用。

A组 全考点巩固练
1．曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为( )
A．(1－e)x－y＋1＝0
B．(1－e)x－y－1＝0
C．(e－1)x－y＋1＝0
D．(e－1)x－y－1＝0
C 解析：因为y′＝ex－eq \f(1,x)，所以y′|x＝1＝e－1.故曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.
2．(2020·山东百师联盟测试二)已知函数f (x)＝x3＋2xf ′(1)－1，则f ′(1)＝( )
A．eq \f(3,2) B．3 C．－3 D．－eq \f(3,2)
C 解析：f ′(x)＝3x2＋2f ′(1)，则f ′(1)＝3＋2f ′(1)，所以f ′(1)＝－3.
3．若f (x)＝a－2＋asin 2x为奇函数，则曲线y＝f (x)在x＝0处的切线的斜率为( )
A．－2 B．－4 C．2 D．4
D 解析：因为f (x)是奇函数，所以a－2＝0，a＝2.所以f (x)＝2sin 2x，f ′(x)＝4cs 2x.所以f ′(0)＝4.所以曲线y＝f (x)在x＝0处的切线的斜率为4.
4．函数y＝f (x)，y＝g(x)的导函数的图象如图所示，那么y＝f (x)，y＝g(x)的图象可能是( )
D 解析：由y＝f ′(x)的图象知，y＝f ′(x)在(0，＋∞)上是单调递减的，说明函数y＝f (x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也是单调递减的，故可排除A，C；
又由图象知y＝f ′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f (x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相等，故可排除B.故选D．
5．(多选题)(2020·青岛三模)已知曲线f (x)＝eq \f(2,3)x3－x2＋ax－1上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于0，则实数a可能的取值为( )
A．eq \f(19,6) B．3 C．eq \f(10,3) D．eq \f(9,2)
AC 解析：f ′(x)＝2x2－2x＋a.
因为曲线y＝f (x)上存在两条斜率为3的不同切线，
所以f ′(x)＝3有两个不同的根，即2x2－2x＋a－3＝0有两个不同的根．
所以Δ＝(－2)2－4×2×(a－3)>0.①
设两切点的横坐标分别为x1，x2.
因为切点的横坐标都大于0，
所以x1>0，x2>0，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－\f(－2,2)＝1>0，,x1·x2＝\f(a－3,2)>0.)) ②
联立①②，解得3故选AC．
6．(2019·天津卷)曲线y＝cs x－eq \f(x,2)在点(0,1)处的切线方程为________．
x＋2y－2＝0 解析：因为y′＝－sin x－eq \f(1,2)，
所以y′|x＝0＝－sin 0－eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)，
故所求的切线方程为y－1＝－eq \f(1,2)x，
即x＋2y－2＝0.
7．(2020·全国卷Ⅰ)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．
y＝2x 解析：设该切线的切点坐标为(x0，y0)．由y＝ln x＋x＋1得y′＝eq \f(1,x)＋1，则在该切点处的切线斜率k＝eq \f(1,x0)＋1，即eq \f(1,x0)＋1＝2，解得x0＝1.所以y0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1,2)．所以该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
8．已知函数f (x)＝eq \f(1,4)x3－x2＋x，则曲线y＝f (x)的斜率为1的切线方程为________．
y＝x或y＝x－eq \f(64,27) 解析：由f (x)＝eq \f(1,4)x3－x2＋x得f ′(x)＝eq \f(3,4)x2－2x＋1.
令f ′(x)＝1，即eq \f(3,4)x2－2x＋1＝1，得x＝0或x＝eq \f(8,3).
又f (0)＝0，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)))＝eq \f(8,27)，
所以曲线y＝f (x)的斜率为1的切线方程是y＝x或y－eq \f(8,27)＝x－eq \f(8,3)，即y＝x或y＝x－eq \f(64,27).
9．已知函数f (x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f (x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f (x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f (x)的某一切线与直线y＝－eq \f(1,4)x＋3垂直，求切点坐标与切线方程．
解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f (x)上．
因为f ′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
所以f (x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f ′(2)＝13.
所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.
(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f ′(x0)＝3xeq \\al(2,0)＋1.
所以直线l的方程为y＝(3xeq \\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq \\al(3,0)＋x0－16.
又因为直线l过点(0,0)，
所以0＝(3xeq \\al(2,0)＋1)(－x0)＋xeq \\al(3,0)＋x0－16，
整理得，xeq \\al(3,0)＝－8.所以x0＝－2.
所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
f ′(－2)＝3×(－2)2＋1＝13.
所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)因为切线与直线y＝－eq \f(1,4)x＋3垂直，
所以切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，则f ′(x0)＝3xeq \\al(2,0)＋1＝4，
所以x0＝±1.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝1，,y0＝－14))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－1，,y0＝－18，))
即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)．
所以，切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18，
即y＝4x－18或y＝4x－14.
B组 新高考培优练
10．(多选题)若函数f (x)＝ln x与g(x)＝x2＋ax的图象有一条与直线y＝x平行的公共切线，则实数a的值可能为( )
A．1 B．2 C．3 D．－1
CD 解析：设函数f (x)＝ln x图象上的切点为(x，y)．根据导数的几何意义得k＝eq \f(1,x)＝1，所以x＝1.故切点为(1,0)，切线方程为y＝x－1.而直线y＝x－1和g(x)＝x2＋ax的图象也相切，令x2＋ax＝x－1，化简得到x2＋(a－1)x＋1＝0，需满足Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3.
11．(2020·广州综合测试一)已知函数f (x)＝x3＋mx2－4x＋2.当x0≠eq \f(1,2)时，曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))和点(1－x0，f (1－x0))处的切线总是平行的，则曲线y＝f (x)在点(2m＋2，f (2m＋2))处的切线方程为( )
A．4x－2y＋11＝0 B．y＝－3
C．4x＋2y－11＝0 D．y＝－eq \f(3,2)
A 解析：f ′(x)＝3x2＋2mx－4，由题意得f ′(x0)＝f ′(1－x0)且x0≠eq \f(1,2)恒成立，化简得(1－2x0)(3＋2m)＝0，所以m＝－eq \f(3,2).而2m＋2＝－1，所以f (－1)＝eq \f(7,2)，f ′(－1)＝2，所以切线方程为4x－2y＋11＝0.
12．(2020·济南一模)已知直线y＝ax＋b(b>0)与曲线y＝x3有且只有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中x1A．－1 B．0 C．1 D．a
B 解析：由题意知，要使直线y＝ax＋b(b>0)与曲线y＝x3有且只有两个公共点，则直线与曲线相切于点A(x1，y1)，如图所示．由y＝x3，得y′＝3x2，则切线方程为y－xeq \\al(3,1)＝3xeq \\al(2,1)(x－x1)，即y＝3xeq \\al(2,1)x－2xeq \\al(3,1).又点B(x2，y2)也在切线上，所以xeq \\al(3,2)＝3xeq \\al(2,1)x2－2xeq \\al(3,1)，即xeq \\al(3,2)＝3xeq \\al(2,1)x2－3xeq \\al(3,1)＋xeq \\al(3,1)，即xeq \\al(3,2)－xeq \\al(3,1)＝3xeq \\al(2,1)x2－3xeq \\al(3,1)，整理得(x1－x2)2(2x1＋x2)＝0.因为x113．已知曲线y＝x3－2x2＋2在点A处的切线方程为y＝4x－6，且点A在直线mx＋ny－1＝0(其中m>0，n>0)上，则eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)的最小值为________．
6＋4eq \r(2) 解析：设A(s，t)，y＝x3－2x2＋2的导数为y′＝3x2－4x，可得切线的斜率为3s2－4s.
由切线方程为y＝4x－6，可得3s2－4s＝4，t＝4s－6，
解得s＝2，t＝2或s＝－eq \f(2,3)，t＝－eq \f(26,3).
由点A在直线mx＋ny－1＝0(其中m>0，n>0)上，
得2m＋2n＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(s＝－\f(2,3)，t＝－\f(26,3)舍去))，则eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)＝(2m＋2n)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(2,n)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\f(n,m)＋\f(2m,n)))≥2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋2\r(\f(n,m)·\f(2m,n))))＝6＋4eq \r(2)，
当且仅当n＝eq \r(2)m时，得最小值为6＋4eq \r(2).
14．(2020·北京卷)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f (t)，用－eq \f(f b－f a,b－a)的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．
给出下列四个结论：
①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是________________．
①②③ 解析：－eq \f(f b－f a,b－a)表示区间端点连线斜率的相反数，
在[t1，t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强，①正确；
在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强，②正确；
在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标，③正确；
甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，甲企业在[t1，t2]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1，t2]的污水治理能力最强，④错误．
15．已知函数f (x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f ′(－1)＝0.
(1)求a的值．
(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f (x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)由已知得f ′(x)＝3ax2＋6x－6a.
因为f ′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，所以a＝－2.
(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0,9)．若直线m是曲线y＝g(x)的切线，
则可设切点坐标为(x0,3xeq \\al(2,0)＋6x0＋12)．
因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3xeq \\al(2,0)＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)．
将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.
当x0＝－1时，切线方程为y＝9；
当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.
由(1)知f (x)＝－2x3＋3x2＋12x－11.
①由f ′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，
解得x＝－1或x＝2.
在x＝－1处，y＝f (x)的切线方程为y＝－18；
在x＝2处，y＝f (x)的切线方程为y＝9.
所以y＝f (x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.
②由f ′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，
解得x＝0或x＝1.
在x＝0处，y＝f (x)的切线方程为y＝12x－11；
在x＝1处，y＝f (x)的切线方程为y＝12x－10.
所以y＝12x＋9不是y＝f (x)与y＝g(x)的公切线．
综上所述，y＝f (x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.