2022版新教材高考数学一轮复习课时质量评价27解三角形应用举例含解析新人教A版

这是一份2022版新教材高考数学一轮复习课时质量评价27解三角形应用举例含解析新人教A版，共10页。试卷主要包含了在社会实践中，小明观察一棵桃树等内容，欢迎下载使用。
A组 全考点巩固练
1．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15 n mile后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( )
A．5 n mile B．10 n mile
C．5eq \r(3) n mile D．5eq \r(2) n mile
C 解析：作出示意图(如图)，点A为该船开始的位置，点B为灯塔的位置，点C为该船后来的位置，所以在△ABC中，有∠BAC＝60°－30°＝30°，C＝30°，B＝120°，AC＝15.
由正弦定理，得eq \f(15,sin 120°)＝eq \f(AB,sin 30°)，
即AB＝eq \f(15×\f(1,2),\f(\r(3),2))＝5eq \r(3)，所以这时船与灯塔的距离是5eq \r(3) n mile.
2．在△ABC中，已知AC＝eq \r(7)，∠ABC＝60°，ABc，解得a＝3，c＝2.
设BC边上的高为h，所以h＝csin 60°＝eq \r(3).
3．某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 n mile/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C.若船C位于A处北偏东30°方向上，则缉私艇B与船C的距离是( )
A．5(eq \r(6)＋eq \r(2)) n mile B．5(eq \r(6)－eq \r(2)) n mile
C．10(eq \r(6)＋eq \r(2)) n mile D．10(eq \r(6)－eq \r(2)) n mile
D 解析：如图，由题意得AB＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝75°.
所以∠ACB＝75°，由正弦定理eq \f(AB,sin C)＝eq \f(BC,sin A)，
得BC＝eq \f(20sin 30°,sin 75°)＝10(eq \r(6)－eq \r(2)) n mile，
故缉私艇B与船C的距离为10(eq \r(6)－eq \r(2)) n mile.
4．小华想测出操场上旗杆OA的高度，在操场上选取了一条基线BC，请从测得的数据①BC＝10 m，②B处的仰角60°，③C处的仰角45°，④cs∠BAC＝eq \f(3\r(6),8)，⑤∠BOC＝30°中选取合适的，计算出旗杆的高度为( )
A．9eq \r(3) m B．10 m C．10eq \r(2) m D．10eq \r(3) m
D 解析：选①②③⑤.设旗杆的高度OA＝h，则OC＝h，OB＝eq \f(h,\r(3)).
在△BOC中，由余弦定理得BC2＝OB2＋OC2－2OB·OC·cs∠BOC，
即102＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h,\r(3))))eq \s\up12(2)＋h2－2·h·eq \f(h,\r(3))·eq \f(\r(3),2)，解得h＝10eq \r(3).
5．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五的“田域类”中写道：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13里、14里、15里，求三角形沙田的面积．则该沙田的面积为________平方里．
84 解析：如图，由题意画出△ABC，且AB＝13，BC＝14，AC＝15.
在△ABC中，由余弦定理得，
cs B＝eq \f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq \f(132＋142－152,2×13×14)＝eq \f(5,13)，所以sin B＝eq \r(1－cs2B)＝eq \f(12,13)，
则该沙田的面积S＝eq \f(1,2)AB·BC·sin B＝eq \f(1,2)×13×14×eq \f(12,13)＝84(平方里)．
6．如图，为了测量A，B两处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40 n mile至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为________n mile.
20eq \r(6) 解析：连接AB(图略)，由题意可知，CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，所以∠CAD＝45°，∠ADB＝60°.在△ACD中，由正弦定理，得eq \f(AD,sin 30°)＝eq \f(40,sin 45°).所以AD＝20eq \r(2).在Rt△BCD中，因为∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，所以BD＝eq \r(2)CD＝40eq \r(2).在△ABD中，由余弦定理，得AB2＝800＋3 200－2×20eq \r(2)×40eq \r(2)×cs 60°＝2 400(n mile)，即AB＝20eq \r(6)(n mile)．
7．如图，在平面四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝eq \f(π,2)，∠ABC＝eq \f(π,6)，∠ADB＝eq \f(π,12)，则tan∠ACD＝______.
eq \f(3－\r(3),4) 解析：不妨设∠ACD＝θ，AC＝1，则AB＝eq \r(3)，AD＝sin θ.
在△ABD中，∠BAD＝eq \f(π,2)＋eq \f(π,2)－θ＝π－θ，∠ADB＝eq \f(π,12)，则∠ABD＝θ－eq \f(π,12).
由正弦定理得eq \f(AD,sin∠ABD)＝eq \f(AB,sin∠ADB)，
即eq \f(sin θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,12))))＝eq \f(\r(3),sin\f(π,12))，
所以sineq \f(π,12)sin θ＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θcs\f(π,12)－cs θsin\f(π,12)))，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,12)－\r(3)cs\f(π,12)))sin θ＝－eq \r(3)sineq \f(π,12)cs θ，
所以2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,6)sin\f(π,12)－cs\f(π,6)cs\f(π,12)))·sin θ＝－eq \r(3)sineq \f(π,12)·cs θ，
所以2cseq \f(π,4)sin θ＝eq \r(3)sineq \f(π,12)cs θ，
所以tan θ＝eq \f(\r(3)sin\f(π,12),2cs\f(π,4))＝eq \f(\r(3),\r(2))×eq \f(\r(6)－\r(2),4)＝eq \f(3－\r(3),4).
8．在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4米后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°.
(1)求BC的长；
(2)若小明身高为1.70米，求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01米，其中eq \r(3)≈1.732)．
解：(1)在△ABC 中，∠CAB＝45°.
又∠DBC＝75°，则∠ACB＝75°－45°＝30°.
由正弦定理得，eq \f(BC,sin 45°)＝eq \f(AB,sin 30°)，
将AB＝4代入上式，得 BC＝4eq \r(2)(米)．
(2)在△CBD中，∠CBD＝75°，BC＝4eq \r(2)，
所以CD＝4eq \r(2)sin 75°.
因为sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cs 30°＋cs 45°sin 30°＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，
所以CD＝2＋2eq \r(3)，
所以CE＝2＋2eq \r(3)＋1.70＝3.70＋2eq \r(3)≈7.16(米)．
所以这棵桃树顶端点C离地面的高度约为7.16米．
B组 新高考培优练
9．(2020·福建质量检测)20世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1)，充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系．图2为骨笛测量“春(秋)分”“夏(冬)至”的示意图．图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计)，夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角．
图1
图2
图3
由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：
根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( )
A．公元前2 000年到公元元年
B．公元前4 000年到公元前2 000年
C．公元前6 000年到公元前4 000年
D．早于公元前6 000年
D 解析：由题意可画示意图，
如图，其中AO⊥BO(BO代表骨笛)，得到AO＝10，BC＝9.4，BO＝16，
故求得OC＝6.6.
设黄赤交角为θ，
由题意得∠BAC＝∠CAD＝θ，
故可得θ＝∠BAO－∠CAO，
其中tan ∠BAO＝eq \f(16,10)＝1.6，
tan∠CAO＝eq \f(6.6,10)＝0.66，
所以tan θ＝tan(∠BAO－∠CAO)
＝eq \f(tan∠BAO－tan∠CAO,1＋tan∠BAO·tan∠CAO)，
代入数据得tan θ＝eq \f(1.6－0.66,1＋1.6×0.66)＝eq \f(0.94,2.056)≈0.457.
对照年代表格，
由0.455