(新高考)高考数学一轮复习第27讲《解三角形应用举例》达标检测(解析版)

第27讲 解三角形应用举例（达标检测）

[A组]—应知应会

1．（春•镇江期末）如图，在高速公路建设中，要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的，两点到点的距离分别为，，且，则隧道长度为　　

A． B． C． D．

【分析】利用余弦定理，不难求出的长，即隧道的长．

【解答】解：在中，

由已知得，，且，

故

，故．

故选：．

2．（•邯郸二模）如图，在中，．是边上的高，若，则的面积为　　

A．4 B．6 C．8 D．12

【分析】直接利用三角形的面积公式以及余弦定理，勾股定理化简求解即可．

【解答】解：

．

故选：．

3．（春•梅州期末）如图，要测量底部不能到达的某铁塔的高度，在塔的同一侧选择、两观测点，且在、两点测得塔顶的仰角分别为、．在水平面上测得，、两地相距，则铁塔的高度是　　

A． B． C． D．

【分析】设出，则，均可用表达，进而在中，由余弦定理和，的值列方程求得，即的长．

【解答】解：设，则，，

在中，由余弦定理知，

求得米，

故铁塔的高度为600米．

故选：．

4．（春•河南期末）在中，，是的平分线，交于，，，则　　

A．2 B． C． D．

【分析】先由二倍角公式求得，进而由平方关系得到，再在中，运用正弦定理即可求得的值．

【解答】解：是的平分线，，

，

由题意知，为锐角，

，

，

在中，由正弦定理可得，，

．

故选：．

5．（•长春二模）在中，，，，则边上的高为　　

A． B．2 C． D．

【分析】先利用平方关系求得，再由及正弦定理可求得，最后由等面积法求得边长的高．

【解答】解：，

，

，

由正弦定理有，，即，解得，

，即，

，即边上的高为．

故选：．

6．（•长春四模）如图，为测量某公园内湖岸边，两处的距离，一无人机在空中点处测得，的俯角分别为，，此时无人机的高度为，则的距离为　　

A． 

B． 

C． 

D．

【分析】利用正弦定理求出，再结合选项化简即可得出答案．

【解答】解：如图所示，

由题意作，可得，，，则，，

在中，，

在中，，，

由正弦定理，

解得；

又

，

又，且、，

所以，

所以．

故选：．

7．（•湖北模拟）平面四边形为凸四边形，且，，，，则的取值范围为　　

A． B． C． D．

【分析】做出图形，可知，当时，最小；延长与，相交于，此时最大（但取不到）；利用解三角形的知识求解即可．

【解答】解：做出图形：如图所示，点在边上移动，当时，最小为；将与延长后交于点，易知，．

在中，，，，故，．

，．

．．

在中，由余弦定理得，

即，解得（舍，

所以，故．

故的取值范围是．

故选：．

8．（•湖北模拟）平面四边形中，，，，，，则四边形的面积为　　

A． B． C． D．

【分析】由已知利用余弦定理可得：，，可求，在中，由余弦定理可得，解得的值，根据三角形的面积公式可求四边形的面积的值．

【解答】解：如图，，，，，

，

在中，由余弦定理，

可得：，

整理解得：，可得：，

可得：，

由于

在中，由余弦定理，

可得：，可得：，

解得：，或舍去，

则四边形的面积

．

故选：．

9．（多选）（•烟台模拟）在中，在线段上，且，，若，，则　　

A． B．的面积为8 

C．的周长为 D．为钝角三角形

【分析】由已知结合余弦定理余弦定理，同角平方关系及三角形的面积公式分别判断各选项即可．

【解答】解：由可得，故错误；

设，，

在中由余弦定理可得，，

整理可得，，

解可得，，即，，

所以，故正确；

由余弦定理可知，，

即，解可得，，故周长，故正确；

由余弦定理可得，，

故为钝角，正确，

故选：．

10．（多选）（春•福州期中）如图，设的内角、、所对的边分别为、、，若、、成等比数列，、、成等差数列，是外一点，，，下列说法中，正确的是

A． 

B．是等边三角形 

C．若、、、四点共圆，则 

D．四边形面积无最大值

【分析】对于，因为、、成等差数列，所以，，故正确；

对于，因为、、成等比数列，利用及余弦定理计算可知，进而可知，故正确；

对于，若、、、四点共圆，则，根据余弦定理可得，代入计算可得，故正确；

对于，等边中，设，，在中，由余弦定理可得：，利用四边形面积表达式得到最值，故错误．

【解答】解：对于，因为、、成等差数列，

所以，则．解得，故正确；

对于，因为、、成等比数列，则，

由余弦定理可得，带入得，即，所以，故正确；

对于，若、、、四点共圆，则，故，

根据余弦定理可得，代入计算可得，解得，故正确；

对于，等边中，设，，

在中，由余弦定理可得：，由于，，

代入上式可得：，

所以，

所以四边形面积的最大值为，故错误．

故选：．

11．（春•宜宾期末）一渔船在处望见正北方向有一灯塔，在北偏东方向的处有一小岛，渔船向正东方向行驶2海里后到达处，这时灯塔和小岛分别在北偏西和北偏东的方向，则灯塔和小岛之间的距离为　　   海里．

【分析】根据条件求出题中所涉及到的角，再根据正弦定理分别求出，，即可得出结论．

【解答】解：由题意画出图形，如图所示；

在中，，，所以；

在中，，，所以，

由正弦定理得，所以；

在中，，，，

所以，

所以，

即、两岛之间的距离是海里．

故答案为：．

12．（春•绍兴期末）在中，，，，则　　  ，　　．

【分析】由已知利用正弦定理即可解得的值，根据余弦定理可得，解得的值，由正弦定理可得的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求的值．

【解答】解：在中，，，，

由正弦定理，可得，

在中，由余弦定理，可得，

整理可得：，解得，负值舍去，

由正弦定理，可得，

．

故答案为：，．

13．（•厦门模拟）一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形，在点，处各放一个目标球，表演者先将母球放在点处，通过击打母球，使其依次撞击点，处的目标球，最后停在点处，若，，，，则该正方形的边长为　　   ．

【分析】连接、，利用余弦定理求出，由正弦定理求出，从而求出，再求和边长的值．

【解答】解：连接、，如图所示，

中，由余弦定理得，，

解得；

由正弦定理得，，解得，

所以，

所以，

中，由余弦定理得，，

解得，

所以该正方形的边长为．

故答案为：．

14．（•宁波模拟）在中，，以为边在平面内向外作正方形，使，在的两侧．

（1）当时，　　；

（2）的最大值为　　．

【分析】（1）当时，由正弦定理可得的正弦值为1，可得，可得为等腰直角三角形，在中由余弦定理可得的值；

（2）设，在中，由余弦定理可得的表达式，在中，设，由余弦定理可得的表达式，在中，由正弦定理可得，进而可得，进而可得当时最大，求出最大值．

【解答】解：（1）当时，在中，根据正弦定理可得，

所以，则，所以，，

由余弦定理得，

则；

（2）在中，设，

由余弦定理，

在中，设，，，所以，

所以，

在中，由正弦定理可得，所以，

所以，

所以当，即时最大为8，即，

所以的最大值为，

故答案分别为：，

15．（春•石家庄期末）已知是底部不可到达的建筑物，是建筑物的最高点，为测量建筑物的高度，先把高度为1.5米的测角仪放置在位置，测得的仰角为，再把测角仪放置在位置，测得的仰角为，已知米，，，在同一水平线上，求建筑物的高度．

【分析】利用正弦定理求得，再求出，即可求得的值．

【解答】解：中，由正弦定理得，

（米；

在中，；

；

所以，

即建筑物的高度为米．

故答案为：．

16．（春•湖北期末）中，、、分别是角、、的对边，已知，，是边的中点且．

（1）求的值；

（2）求的面积．

【分析】（1）由正弦定理求出，再利用三角恒等变换求出的值；

（2）由（1）知，求出，利用求出的值，再求的面积．

【解答】解：（1）中，，，

所以，

即，解得；

由，得；

所以；

；

（2）由（1）知，所以，

所以；

又，

所以，

即，

解得，所以舍去）；

所以，

所以的面积为．

17．（春•苏州期末）在①，②，③这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解．

在中，角，，的对边分别为，，，已知，，满足____．

（1）请写出你的选择，并求出角的值；

（2）在（1）的结论下，已知点在线段上，且，求长．

【分析】（1）依次代入条件①②③，可得①②不成立，故只能选③；

（2）由（1）结论再结合余弦定理可得，进而得到，结合两角和差公式得到，利用正弦定理得到．

【解答】解：（1）若选条件①，则有，不合题意；

若选条件②，由余弦定理可得，整理得，

又因为此时，不符合题意；

若选条件③，由余弦定理可得，即，

所以，

则，

因为，所以；

故（1）答案选：③；

（2）由（1）的，

因为，则，

，

在中，因为，

则．

18．（•泉州一模）在平面四边形中，．

（1）若，求；

（2）若，求．

【分析】（1）解直角三角形求得，，由题意可得为边长为2的等边三角形，在中，运用余弦定理计算可得所求值；

（2）设，则，，则，在直角三角形中．求得，在中，运用正弦定理，结合二倍角公式，计算可得所求值．

【解答】解：（1）如右图，，，

可得，

在直角三角形中，，，

可得为边长为2的等边三角形，

在中，，可得；

（2）如右图，设，则，，则，

在直角三角形中，，

在中，由正弦定理可得，

即，

化简可得，

即．

19．（2019秋•济宁期末）如图，某市三地，，有直道互通．现甲交警沿路线、乙交警沿路线同时从地出发，匀速前往地进行巡逻，并在地会合后再去执行其他任务．已知，，，甲的巡逻速度为，乙的巡逻速度为．

（Ⅰ）求乙到达地这一时刻的甲、乙两交警之间的距离；

（Ⅱ）已知交警的对讲机的有效通话距离不大于，从乙到达地这一时刻算起，求经过多长时间，甲、乙方可通过对讲机取得联系．

【分析】由题意设当乙到达地时甲处在点，利用余弦定理求得的值即可；

设乙到达地后，经过小时，甲、乙两交警之间的距离为，根据题意求出的解析式，利用求得的取值范围，从而求得结果．

【解答】解：由，，，知，．

设当乙到达地时，甲处在点，则；

所以在中，由余弦定理得：

，

解得；

即此时甲、乙两交警之间的距离为．

设乙到达地后，经过小时，甲、乙两交警之间的距离为，

在，

乙从地到达地，用时小时，甲从处到达地，用时小时，

所以当乙从地到达地，此时，甲从处行进到点处，且，

所以当；

令，即，；

解得或（舍去）；

又当时，甲、乙两交警间的距离为，

因为甲、乙间的距离不大于时方可通过对讲机取得联系；

所以从乙到达地这一时刻算起，经过小时，甲、乙可通过对讲机取得联系．

[B组]—强基必备

1．（2019•西湖区校级模拟）设锐角的三个内角，，的对边分别为，，，且，，则周长的取值范围为　　

A． B． C．， D．，

【分析】由锐角三角形求得，由正弦定理可得，求出，关于的函数，运用余弦函数的大小，可得所求范围．

【解答】解：锐角可得，即，

，而，

可得，

由正弦定理可得，

可得，

，

则

，

由，可得，

即有时，可得，

时，可得，

则的范围是，．

故选：．

2．（多选）（春•宿迁期末）已知中，，，，在上，为的角平分线，为中点下列结论正确的是　　

A． 

B． 的面积为 

C． 

D．在的外接圆上，则的最大值为

【分析】利用余弦定理计算，利用余弦定理计算，根据面积公式计算三角形的面积，利用正弦定理计算，设，用表示出，，得出关于的三角函数，从而得到的最大值．

【解答】解：在三角形中，由余弦定理，

，故，故错误；

在中，由余弦定理得：，

，故正确；

由余弦定理可知：，，

平分，，

，

在三角形中，由正弦定理可得：，故，故正确；

，，，，

，

为的外接圆的直径，故的外接圆的半径为1，

显然当取得最大值时，在优弧上．

故，设，则，，

，

，，

，其中，，

当时，取得最大值，故正确．

故选：．

3．（春•温江区期末）已知的角，，所对的边分别是，，，且满足．

（1）证明：，，成等差数列；

（2）如图，若，点是外一点，设，，求平面四边形面积的最大值．

【分析】（1）利用和与差化简，结合正弦定理边化角，即可证明．

（2）利用任意三角形面积公式，结合表示平面四边形面积，利用三角函数的有界限求解最大值．

【解答】（1）证明：由．

可得：

即

由正弦定理：，

故得，，成等差数列；

（2）解：由（1）可知，，则．

是等边三角形．

由题意，，

则．

余弦定理可得：

则．

故四边形面积．

，

，

当时，取得最大值为

故平面四边形面积的最大值为．