人教A版高考数学一轮总复习课时质量评价27解三角形应用举例课时质量评价含答案

课时质量评价(二十七)

(建议用时：45分钟)

A组　全考点巩固练

1．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15 n mile后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是(　　)

A．5 n mile   B．10 n mile

C．5 n mile   D．5 n mile

C　解析：作出示意图(如图)，点A为该船开始的位置，点B为灯塔的位置，点C为该船后来的位置，所以在△ABC中，有∠BAC＝60°－30°＝30°，C＝30°，B＝120°，AC＝15.

由正弦定理，得＝，

即AB＝＝5，所以这时船与灯塔的距离是5 n mile.

2．在△ABC中，已知AC＝，∠ABC＝60°，AB<BC，且△ABC的面积为，则BC边上的高等于(　　)

A．1  B.  C.  D．2

C　解析：设BC＝a，AC＝b，AB＝c.因为∠ABC＝60°，△ABC的面积为，

所以acsin 60°＝，即ac＝6.①

又AC＝，所以b2＝a2＋c2－2accos 60°＝7，

即a2＋c2－ac＝7.②

联立①②，结合a>c，解得a＝3，c＝2.

设BC边上的高为h，所以h＝csin 60°＝.

3．某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 n mile/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C.若船C位于A处北偏东30°方向上，则缉私艇B与船C的距离是(　　)

A．5(＋) n mile   B．5(－) n mile

C．10(＋) n mile   D．10(－) n mile

D　解析：如图，由题意得AB＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝75°.

所以∠ACB＝75°，由正弦定理＝，

得BC＝＝10(－) n mile，

故缉私艇B与船C的距离为10(－) n mile.

4．小华想测出操场上旗杆OA的高度，在操场上选取了一条基线BC，请从测得的数据①BC＝10 m，②B处的仰角60°，③C处的仰角45°，④cos∠BAC＝，⑤∠BOC＝30°中选取合适的，计算出旗杆的高度为(　　)

A．9 m  B．10 m  C．10 m  D．10 m

D　解析：选①②③⑤.设旗杆的高度OA＝h，则OC＝h，OB＝.

在△BOC中，由余弦定理得BC2＝OB2＋OC2－2OB·OC·cos∠BOC，

即102＝＋h2－2·h··，解得h＝10.

5．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五的“田域类”中写道：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13里、14里、15里，求三角形沙田的面积．则该沙田的面积为________平方里．

84　解析：如图，由题意画出△ABC，且AB＝13，BC＝14，AC＝15.

在△ABC中，由余弦定理得，

cos B＝＝＝，所以sin B＝＝，

则该沙田的面积S＝AB·BC·sin B＝×13×14×＝84(平方里)．

6．如图，为了测量A，B两处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40 n mile至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为________n mile.

20　解析：连接AB(图略)，由题意可知，CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，所以∠CAD＝45°，∠ADB＝60°.在△ACD中，由正弦定理，得＝.所以AD＝20.在Rt△BCD中，因为∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，所以BD＝CD＝40.在△ABD中，由余弦定理，得AB2＝800＋3 200－2×20×40×cos 60°＝2 400(n mile)，即AB＝20(n mile)．

7．如图，在平面四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝，∠ABC＝，∠ADB＝，则tan∠ACD＝______.

　解析：不妨设∠ACD＝θ，AC＝1，则AB＝，AD＝sin θ.

在△ABD中，∠BAD＝＋－θ＝π－θ，∠ADB＝，则∠ABD＝θ－.

由正弦定理得＝，

即＝，

所以sinsin θ＝，

所以sin θ＝－sincos θ，

所以2·sin θ＝－sin·cos θ，

所以2cossin θ＝sincos θ，

所以tan θ＝＝×＝.

8．在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4米后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°.

(1)求BC的长；

(2)若小明身高为1.70米，求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01米，其中≈1.732)．

解：(1)在△ABC 中，∠CAB＝45°.

又∠DBC＝75°，则∠ACB＝75°－45°＝30°.

由正弦定理得，＝，

将AB＝4代入上式，得 BC＝4(米)．

(2)在△CBD中，∠CBD＝75°，BC＝4，

所以CD＝4sin 75°.

因为sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝，

所以CD＝2＋2，

所以CE＝2＋2＋1.70＝3.70＋2≈7.16(米)．

所以这棵桃树顶端点C离地面的高度约为7.16米．

B组　新高考培优练

9．(2020·福建质量检测)20世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1)，充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系．图2为骨笛测量“春(秋)分”“夏(冬)至”的示意图．图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计)，夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角．

图1

图2

图3

由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：

根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是(　　)

A．公元前2 000年到公元元年

B．公元前4 000年到公元前2 000年

C．公元前6 000年到公元前4 000年

D．早于公元前6 000年

D　解析：由题意可画示意图，

如图，其中AO⊥BO(BO代表骨笛)，得到AO＝10，BC＝9.4，BO＝16，

故求得OC＝6.6.

设黄赤交角为θ，

由题意得∠BAC＝∠CAD＝θ，

故可得θ＝∠BAO－∠CAO，

其中tan ∠BAO＝＝1.6，

tan∠CAO＝＝0.66，

所以tan θ＝tan(∠BAO－∠CAO)

＝，

代入数据得tan θ＝＝≈0.457.

对照年代表格，

由0.455<0.457<0.461，

得该骨笛的年代早于公元前6 000年，

故选D.

10．(多选题)如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，(acos C＋ccos A)＝2bsin B，且∠CAB＝.若点D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，下列说法正确的是(　　)

A．△ABC的内角B＝

B．△ABC的内角C＝

C．四边形ABCD面积的最大值为＋3

D．四边形ABCD面积无最大值

ABC　解析：因为(acos C＋ccos A)＝2bsin B，

所以(sin Acos C＋sin Ccos A)＝2sin2B，

所以sin(A＋C)＝2sin2B，

所以sin B＝2sin2B，

所以sin B＝.

因为∠CAB＝，所以B∈，所以B＝，所以C＝π－A－B＝，因此A，B正确．

S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AC2＋AD·CD·sin∠ADC＝(AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC)＋AD·DC·sin∠ADC＝(9＋1－6cos∠ADC)＋×3sin∠ADC＝＋(sin ∠ADC－cos ∠ADC)＝＋3sin≤＋3，

因此C正确，D错误．故选ABC.

11．若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且C为钝角，则B＝________，的取值范围是________．

　(2，＋∞)　解析：由余弦定理得cos B＝，所以a2＋c2－b2＝2accos B.

又因为S＝(a2＋c2－b2)，

所以acsin B＝×2accos B，

所以tan B＝，所以B＝.

又因为C为钝角，

所以C＝－A>，

所以0<A<.

由正弦定理得＝＝＝＋·.

因为0<tan A<，

所以>，

所以>＋×＝2，即>2.

12．我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展．输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为27米峡谷拐入宽为8米的峡谷．如图所示，位于峡谷悬崖壁上E，F两点的连线恰好经过拐角内侧顶点O(点E，O，F在同一水平面内)．设EF与较宽侧峡谷悬崖壁所成角为θ，则EF的长为＋(用θ表示)米．要使输气管顺利通过拐角，其长度不能超过________米．

13　解析：EF＝OE＋OF＝＋，θ∈.

令f(θ)＝＋，θ∈，

则f′(θ)＝－＋，θ∈.

令f′(θ)＝0，得3cos θ＝2sin θ>0，结合sin2θ＋cos2θ＝1，

解得sin θ＝，cos θ＝，此时EF取得最大值为27×＋8×＝13.

13．(2020·北京卷)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

(1)a的值．

(2)sin C和△ABC的面积．

条件①：c＝7，cos A＝－；

条件②：cos A＝，cos B＝.

解：选择条件①.

(1)因为c＝7，cos A＝－，a＋b＝11，

a2＝b2＋c2－2bccos A，所以a2＝(11－a)2＋72－2×(11－a)×7×，即192－24a＝0，

解得a＝8.

(2)因为cos A＝－，A∈(0，π)，

所以sin A＝＝.

由正弦定理得＝，

所以＝，所以sin C＝.

S＝absin C＝×(11－8)×8×＝6.

选择条件②.

(1)因为cos A＝，cos B＝，A，B∈(0，π)，

所以sin A＝＝，sin B＝＝.

由正弦定理得＝，

所以＝，所以a＝6.

(2)sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A＝×＋×＝，

所以S＝absin C＝×(11－6)×6×＝.