2022版新教材高考数学一轮复习48双曲线训练含解析新人教B版

这是一份2022版新教材高考数学一轮复习48双曲线训练含解析新人教B版，共9页。试卷主要包含了已知双曲线C，若双曲线C，已知F为双曲线C，已知动点P在双曲线C等内容，欢迎下载使用。

A组 全考点巩固练
1．(2021·泸县高三月考)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为4eq \r(2)，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为( )
A．2B．4
C．6D．8
B 解析：双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x.
因为两条渐近线互相垂直，所以－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2＝－1，得a＝b.
因为双曲线的焦距为4eq \r(2)，所以c＝2eq \r(2).
由c2＝a2＋b2得2a2＝8，解得a＝2，所以实轴长为2a＝4.
2．(2020·内蒙古自治区高三二模)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的顶点分别为A1，A2，以线段A1A2为直径的圆与直线ax＋by－2ab＝0相切，且双曲线C的焦距为4，则双曲线C的方程为( )
A.eq \f(x2,3)－y2＝1 B.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝1
C.x2－eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(y2,9)－eq \f(x2,3)＝1
A 解析：由题意知，圆的半径为a，圆心为(0,0)．设圆心到直线的距离为d，则d＝eq \f(|－2ab|,\r(a2＋b2))＝a，
所以a2＝3b2.
因为双曲线的焦距为4，所以c＝2，又c2＝a2＋b2，解得a＝eq \r(3)，b＝1，
所以双曲线的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1.
3．(2020·青岛市高三二模)已知曲线C的方程为eq \f(x2,k2－2)－eq \f(y2,6－k)＝1(k∈R)，则下列结论正确的是( )
A．当k＝8时，曲线C为椭圆，其焦距为4＋eq \r(15)
B．当k＝2时，曲线C为双曲线，其离心率为eq \r(3)
C．存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线
D．当k＝3时，曲线C为双曲线，其渐近线与圆(x－4)2＋y2＝9相切
B 解析：对于A，当k＝8时，曲线C的方程为eq \f(x2,62)＋eq \f(y2,2)＝1，轨迹为椭圆，焦距为2c＝2eq \r(62－2)＝4eq \r(15)，A错误；
对于B，当k＝2时，曲线C的方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1，轨迹为双曲线，则a＝eq \r(2)，c＝eq \r(6)，所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)，B正确；
对于C，若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6－k<0，,k2－2<0，))解集为空集，所以不存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线，C错误；
对于D，当k＝3时，曲线C的方程为eq \f(x2,7)－eq \f(y2,3)＝1，轨迹为双曲线，其渐近线方程为y＝±eq \f(\r(21),7)x，则圆(x－4)2＋y2＝9的圆心到渐近线的距离d＝eq \f(|±4\r(21)|,\r(21＋49))＝eq \f(4\r(3),\r(10))＝eq \f(2\r(30),5)≠3，
所以双曲线渐近线与圆(x－4)2＋y2＝9不相切，D错误．
4．(2020·邢台市第二中学高三模拟)已知点A(0，－1)是抛物线x2＝2py的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且|PF|＝m|PA|.若双曲线C的中心在原点，F是它的一个焦点，且过P点，当m取最小值时，双曲线C的离心率为
( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3)
C.eq \r(2)＋1 D.eq \r(3)＋1
C 解析：由点A在抛物线的准线上，得p＝2，故抛物线方程为x2＝4y，焦点坐标为F(0,1)．过点P作准线的垂线，垂足为N，如图所示，由抛物线定义可得|PN|＝|PF|.因为|PF|＝m|PA|，所以|PN|＝m|PA|，则eq \f(|PN|,|PA|)＝m.当直线PA的斜率不存在时，m＝1.当直线PA的斜率存在时，设直线PA的倾斜角为α，则sin α＝m，当m取得最小值时，sin α最小，此时直线PA与抛物线相切．设直线PA的方程为y＝kx－1，代入抛物线方程得x2－4kx＋4＝0.由根的判别式Δ＝16k2－16＝0，解得k＝±1，易得点P的坐标为(2,1)或(－2,1)．由题意可知，A，F是双曲线的两个焦点，所以|PA|－|PF|＝2eq \r(2)－2＝2a，c＝1，所以双曲线的离心率为eq \f(1,\r(2)－1)＝eq \r(2)＋1.
5．(多选题 )若双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是( )
A．C的渐近线上的点到F距离的最小值为4
B．C的离心率为eq \f(5,4)
C．C上的点到F距离的最小值为2
D．过F的最短的弦长为eq \f(32,3)
AC 解析：由题意可得2a＝6,2c＝10，所以a＝3，c＝5，b＝eq \r(c2－a2)＝4，右焦点F(5,0)，渐近线的方程为4x－3y＝0，
所以C的渐近线上的点到F距离的最小值为F到渐近线的距离d＝eq \f(bc,c)＝b＝4，所以A正确，
离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,3)，所以B不正确；
双曲线上的点为顶点到焦点的距离最小，5－3＝2，所以C正确；
过焦点的弦长为垂直与x轴的直线与双曲线的弦长，eq \f(2b2,a)＝eq \f(32,3)，而斜率为0时，弦长为实轴长2a＝6＜eq \f(32,3)，所以最短的弦长为6，故D不正确．
6．(2020·全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
2 解析：点B为双曲线的通径位于第一象限的端点，其坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，点A的坐标为(a,0)．因为AB的斜率为3，所以eq \f(\f(b2,a),c－a)＝3，即eq \f(c2－a2,ac－a)＝eq \f(c＋a,a)＝e＋1＝3，所以e＝2.
7．(2020·临沂市高三模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆F：(x－2)2＋y2＝3相切，且双曲线C的一个焦点与圆F的圆心重合，则双曲线C的方程为____________．
x2－eq \f(y2,3)＝1 解析：由题意，圆F：(x－2)2＋y2＝3的圆心F(2,0)是双曲线C的右焦点，所以c＝2.
双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x.
因为双曲线C的渐近线与圆F相切，
所以圆心F(2,0)到直线y＝eq \f(b,a)x的距离等于圆的半径，即eq \f(|2b－0|,\r(a2＋b2))＝eq \r(3).所以b2＝3a2.又c2＝a2＋b2＝4，所以a2＝1，b2＝3.所以双曲线C的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
8．已知双曲线C：x2－y2＝m(m>0)的焦距为4eq \r(2)，且它的渐近线与圆x2＋(y－m)2＝16有交点，连接所有交点的线段围成了几何图形M，则几何图形M的面积为________．
16 解析：由双曲线C：x2－y2＝m(m>0)，得eq \f(x2,m)－eq \f(y2,m)＝1，则c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(2m)＝2eq \r(2)，解得m＝4.所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
圆x2＋(y－m)2＝16化为x2＋(y－4)2＝16，如图．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,x2＋y－42＝16，))
解得B(4,4)；
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－x，,x2＋y－42＝16，))解得A(－4,4)．
所以几何图形M的面积为eq \f(1,2)×8×4＝16.
9．(2019·黄冈中学高三月考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq \r(2)，且过点(4，－eq \r(10))．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
(1)解：因为e＝eq \r(2)，所以双曲线的实轴、虚轴相等．
可设双曲线方程为x2－y2＝λ.
因为双曲线过点(4，－eq \r(10))，
所以16－10＝λ，即λ＝6.
所以双曲线方程为eq \f(x2,6)－eq \f(y2,6)＝1.
(2)证明：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，
则eq \(MF1,\s\up6(→))＝(－2eq \r(3)－3，－m)，eq \(MF2,\s\up6(→))＝(2eq \r(3)－3，－m)，
所以eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝(3＋2eq \r(3))×(3－2eq \r(3))＋m2＝－3＋m2.
因为点M在双曲线上，
所以9－m2＝6，即m2－3＝0，所以eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0.
(3)解：△F1MF2的底边|F1F2|＝4eq \r(3).
由(2)知m＝±eq \r(3)，
所以△F1MF2的高h＝|m|＝eq \r(3)，
所以S△F1MF1＝eq \f(1,2)×4eq \r(3)×eq \r(3)＝6.
B组 新高考培优练
10．(多选题)(2020·淄博市高三二模)已知动点P在双曲线C：x2－eq \f(y2,3)＝1上，双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，下列结论正确的是( )
A．双曲线C的离心率为2
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x
C．动点P到两条渐近线的距离之积为定值
D．当动点P在双曲线C的左支上时，eq \f(|PF1|,|PF2|2)的最大值为eq \f(1,4)
AC 解析：对于双曲线C：x2－eq \f(y2,3)＝1，a＝1，b＝eq \r(3)，c＝2，所以双曲线C的离心率为e＝eq \f(c,a)＝2，渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，A选项正确，B选项错误；
设点P的坐标为(x0，y0)，则xeq \\al(2,0)－eq \f(y\\al(2,0),3)＝1，双曲线C的两条渐近线方程分别为x－eq \f(\r(3),3)y＝0和x＋eq \f(\r(3),3)y＝0，则点P到两条渐近线的距离之积为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x0－\f(\r(3),3)y0)),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)))2))·
eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(\r(3),3)y0)),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x\\al(2,0)－\f(y\\al(2,0),3))),\f(4,3))＝eq \f(3,4)，C选项正确；
当动点P在双曲线C的左支上时，|PF1|≥c－a＝1，|PF2|＝2a＋|PF1|＝|PF1|＋2，
所以eq \f(|PF1|,|PF2|2)＝eq \f(|PF1|,|PF1|＋22)＝eq \f(|PF1|,|PF1|2＋4＋4|PF1|)＝eq \f(1,|PF1|＋\f(4,|PF1|)＋4)≤eq \f(1,2\r(|PF1|·\f(4,|PF1|))＋4)＝eq \f(1,8)，当且仅当|PF1|＝2时，等号成立，所以eq \f(|PF1|,|PF2|2)的最大值为eq \f(1,8)，D选项错误．
11．(2021·甘肃适应测试)已知F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为eq \f(π,6)，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±2xB．y＝±eq \f(1,2)x
C．y＝±eq \f(\r(2),2)xD．y＝±eq \r(2)x
D 解析：不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|>|PF2|.由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2c>2a，,4a>2a，))所以∠PF1F2为最小内角，故∠PF1F2＝eq \f(π,6).由余弦定理，得cseq \f(π,6)＝eq \f(4a2＋2c2－2a2,2·4a·2c)＝eq \f(\r(3),2)，即(eq \r(3)a－c)2＝0，所以c＝eq \r(3)a，则b＝eq \r(2)a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(2)x.
12．(多选题)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，双曲线的左焦点在直线x＋y＋eq \r(5)＝0上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的取值可能为( )
A．eq \f(3,4)B．1
C．eq \f(4,3)D．2
CD 解析：由双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，可得a＝2b.由双曲线的左焦点在直线x＋y＋eq \r(5)＝0上，可得－c＝－eq \r(5)，即c＝eq \r(5).
由a2＋b2＝5，解得a＝2，b＝1，双曲线的方程为eq \f(x2,4)－y2＝1.
由题意可得A(－2,0)，B(2,0)，
设P(m，n)，
可得eq \f(m2,4)－n2＝1，即有eq \f(n2,m2－4)＝eq \f(1,4)，
所以k1k2＝eq \f(n,m＋2)·eq \f(n,m－2)＝eq \f(n2,m2－4)＝eq \f(1,4)(k1，k2＞0)，
则k1＋k2≥2eq \r(k1k2)＝1.
由A，B为左右顶点，可得k1≠k2，则k1＋k2＞1.
13．(2020·泉州模拟)已知椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，双曲线N：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
eq \r(3)－1 2 解析：如图，设椭圆的右焦点为F(c,0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A.
由题意可知Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,2)))，因为点A在椭圆M上，所以eq \f(c2,4a2)＋eq \f(3c2,4b2)＝1，所以b2c2＋3a2c2＝4a2b2.因为b2＝a2－c2，所以(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，所以4a4－8a2c2＋c4＝0，所以eeq \\al(4,椭圆)－8eeq \\al(2,椭圆)＋4＝0，所以eeq \\al(2,椭圆)＝4±2eq \r(3)，所以
e椭圆＝eq \r(3)＋1(舍去)或 e椭圆＝eq \r(3)－1，所以椭圆M的离心率为eq \r(3)－1.因为双曲线的渐近线过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,2)))，所以渐近线方程为y＝eq \r(3)x，所以eq \f(n,m)＝eq \r(3)，故双曲线的离心率e双曲线＝eq \r(\f(m2＋n2,m2))＝2.
14．已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,m)＝1与双曲线x2－eq \f(y2,n)＝1的离心率分别为e1，e2，且有公共的焦点F1，F2，则4eeq \\al(2,1)－eeq \\al(2,2)＝________.若P为两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝________.
0 3 解析：由题意得椭圆的半焦距满足ceq \\al(2,1)＝4－m，双曲线的半焦距满足ceq \\al(2,2)＝1＋n.
因为两曲线有相同的焦点，所以4－m＝1＋n，即m＋n＝3，
则4eeq \\al(2,1)－eeq \\al(2,2)＝4×eq \f(4－m,4)－(1＋n)＝3－(m＋n)＝0.
不妨设F1，F2分别为两曲线的左、右焦点，点P为两曲线在第一象限的交点，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＝4，,|PF1|－|PF2|＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＝3，,|PF2|＝1，))
所以|PF1|·|PF2|＝3.
15．(2021·八省联考)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
(1)解：设双曲线的半焦距为c，
则F(c,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，±\f(b2,a))).
因为|AF|＝|BF|，所以eq \f(b2,a)＝a＋c.故c2－ac－2a2＝0，即e2－e－2＝0.所以e＝2.
(2)证明：设B(x0，y0)，其中x0>a，y0>0.
因为e＝2，所以c＝2a，b＝eq \r(3)a.
故双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(3)x.所以∠BAF∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，∠BFA∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3))).
当x0>a，x0≠2a时，
tan∠BFA＝－eq \f(y0,x0－c)＝－eq \f(y0,x0－2a)，tan∠BAF＝eq \f(y0,x0＋a).
所以tan 2∠BAF＝eq \f(\f(2y0,x0＋a),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y0,x0＋a)))2)
＝eq \f(2y0x0＋a,x0＋a2－y\\al(2,0))
＝eq \f(2y0x0＋a,x0＋a2－b2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0),a2)－1)))
＝eq \f(2y0x0＋a,x0＋a2－3a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0),a2)－1)))
＝eq \f(2y0x0＋a,x0＋a2－3x\\al(2,0)－a2)
＝eq \f(2y0,x0＋a－3x0－a)
＝－eq \f(y0,x0－2a)＝tan∠BFA.
因为2∠BAF∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，所以∠BFA＝2∠BAF.
当x0＝2a时，由(1)可得∠BFA＝eq \f(π,2)，∠BAF＝eq \f(π,4).所以∠BFA＝2∠BAF.
综上，∠BFA＝2∠BAF.