2022版新教材高考数学一轮复习10指数与指数函数训练含解析新人教B版

十　指数与指数函数

(建议用时：45分钟)

A组　全考点巩固练

1．函数y＝(0＜a＜1)的图像的大致形状是(　　)

A                            B

C                           D

D　解析：当x＞0时，|x|＝x，此时y＝ax(0＜a＜1)；当x＜0时，|x|＝－x，此时y＝－ax(0＜a＜1)，则函数y＝(0＜a＜1)的图像的大致形状如图所示．故选D.

2．3·6等于(　　)

A．－   B．－

C.   D.

A　解析：由6知a<0，

故原式＝a·(－a)＝－(－a)·(－a)＝－(－a)＝－.

3．函数f(x)＝ax－b的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列结论中正确的是(　　)

A．a>1，b<0   B．a>1，b>0

C．0<a<1,0<b<1   D．0<a<1，b<0

D　解析：(方法一)由题图可知0<a<1，当x＝0时，a－b∈(0,1)，故－b>0，得b<0.故选D.

(方法二)由题图可知0<a<1，f(x)的图像可由函数y＝ax的图像向左平移得到，故－b>0，则b<0.故选D.

4．已知a＝()，b＝2，c＝9，则(　　)

A．b<a<c   B．a<b<c

C．b<c<a   D．c<a<b

A　解析：a＝()＝2＝2，b＝2，c＝9＝3.由2<3，得a<c.由>，得a>b，所以c>a>b.故选A.

5．(多选题)已知a＋a－1＝3，在下列各选项中，正确的是(　　)

A．a2＋a－2＝7   B．a3＋a－3＝18

C．a＋a＝±   D．a＋＝2

ABD　解析：因为a＋a－1＝3，所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝9－2＝7，故选项A正确；因为a＋a－1＝3，所以a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝(a＋a－1)·[(a＋

a－1)2－3]＝3×6＝18，故选项B正确；因为a＋a－1＝3，所以(a＋a)2＝a＋

a－1＋2＝5，且a＞0，所以a＋a＝，故选项C错误；因为a3＋a－3＝18，且a＞0，所以2＝a3＋a－3＋2＝20，所以a＋＝2，故选项D正确．

6．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图像经过点(2,1)，则f(x)的值域为

(　　)

A．[9,81]   B．[3,9]

C．[1,9]   D．[1，＋∞)

C　解析：由f(x)的图像过定点(2,1)可知b＝2.因为f(x)＝3x－2在[2,4]上单调递增，所以f(x)min＝f(2)＝32－2＝1；f(x)max＝f(4)＝34－2＝9.故选C.

7．方程4x－2x＋1－3＝0的解集是__________．

x＝log23　解析：设2x＝t(t＞0)，则方程变形为t2－2t－3＝0，即(t－3)(t＋1)＝0，解得t＝3或t＝－1(舍去)．所以2x＝3.所以x＝log23.

8．函数f(x)＝－x2＋2x＋1的单调递减区间为________．

(－∞，1]　解析：设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝u在R上为减函数，所以函数f(x)＝－x2＋2x＋1的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间．又u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(－∞，1]，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1]．

B组　新高考培优练

9．(多选题)下列说法中，正确的是(　　)

A．当a>0，且a≠1时，有a3>a2

B．y＝()－x是增函数

C．y＝2|x|的最小值为1

D．在同一平面直角坐标系中，y＝2x与y＝2－x的图像关于y轴对称

CD　解析：当a>1时，a3>a2；当0<a<1时，a3<a2，A错误．y＝()－x是减函数，B错误．y＝2|x|的最小值为1，C正确．在同一平面直角坐标系中，y＝2x与y＝2－x＝x的图像关于y轴对称，D正确．故选CD.

10．(多选题)设函数f(x)＝2x，对于任意的x1，x2(x1≠x2)，下列命题中正确的是(　　)

A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)

B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)

C．＞0

D．f ＜

ACD　解析：2x1·2 x2＝2 x1＋x2，所以A成立.2 x1＋2 x2≠2 x1·x2，所以B不成立．函数f(x)＝2x，在R上是单调递增函数．若x1＞x2，则f(x1)＞f(x2)，则＞0；若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)，则＞0，故C正确．f＜说明函数是凹函数，而函数f(x)＝2x是凹函数，故D正确．故选ACD.

11．已知函数f(x)＝的图像关于点对称，则a＝________，f(x)的值域为________．

1　(0,1)　解析：依题设f(x)＋f(－x)＝1，

则＋＝1，

整理得(a－1)[4x＋(a－1)·2x＋1]＝0.

所以a－1＝0，则a＝1.

因此f(x)＝＝1－.

因为1＋2x>1，所以0<<1，所以0<f(x)<1.

故f(x)的值域为(0,1)．

12．已知函数y＝f(x)和函数y＝g(x)的图像关于y轴对称．当函数y＝f(x)和y＝g(x)在[a，b]上同时递增或同时递减时，[a，b]叫做函数y＝f(x)的“不动区间”．若[1,2]为函数f(x)＝|2x＋t|的“不动区间”，则实数t的取值范围为______________．

　解析：当t≥0时，函数f(x)＝2x＋t在[1,2]上单调递增，此时g(x)＝x＋t在[1,2]上单调递减，不满足题意．当t＜0时，函数f(x)＝的图像与函数g(x)＝的图像有如图所示的两种情况，易知当函数f(x)＝的零点x0＝log2(－t)满足－1≤x0≤1时，区间[1,2]为函数f(x)＝的“不动区间”，由－1≤log2(－t)≤1，得－2≤t≤－.

13．已知定义在R上的函数f(x)＝2x－.

(1)若f(x)＝，求x的值；

(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)当x<0时，f(x)＝0，无解．

当x≥0时，f(x)＝2x－.

由2x－＝，

得2×22x－3×2x－2＝0.

将上式看成关于2x的一元二次方程，

解得2x＝2或2x＝－.

因为2x>0，所以x＝1.

(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，

即m(22t－1)≥－(24t－1)．

因为22t－1>0，所以m≥－(22t＋1)恒成立．

因为t∈[1,2]，所以－(22t＋1)∈[－17，－5]，

故实数m的取值范围是[－5，＋∞)．