全国卷Ⅲ衡水金卷2021年高三先享题信息卷（三）数学（理）（含答案）

（全国卷Ⅲ，衡水金卷）2021年高三先享题信息卷（三）

理科数学

本试卷共4页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效。

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}，集合A{－1，0，1，2，3}，集合B＝{x∈Z|－3<x≤2}，则(∁UA)∩B＝

A.     B.{－2}     C.{－2，0}     D.{－2，0，4}

2.若复数z满足(1－i)z＝3－2i，则z的虚部为

A.－     B.－i     C.     D.

3.若双曲线C：－y2＝1(m>0)的焦距为2，则C的渐近线方程为

A.x±y＝0     B.2x±y＝0     C.x±2y＝0     .D.x±y＝0

4.下图是我国2016年第一季度至2020年第二季度部分城市各季度建筑面积规化供应统计图，针对这些季度的数据，下列说法错误的是

A.各季度供应规划建筑面积的最大值超过25000万平方米

B.各季度供应规划建筑面积的极差超过15000万平方米

C.2019年各季度供应同比有增有减

D.2020年第一季度与2019年第一季度相比，供应同比下降幅度超过10%

5.已知函数f(x)＝4x＋2sinx，则使不等式f(m＋1)＋f(1－2m)<0成立的实数m的取值范围为

A.(－∞，2)     B.(2，＋∞)     C.(－∞，0)     D.(0，＋∞)

6.我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲、乙、丙、丁、戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯＝1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为

A.30.8贯     B.39.2贯     C.47.6贯     D.64.4贯

7.执行如图所示的程序框图，如果输入x1＝1时，输出的值为y1，输入x2＝－2时，输出的值为y2，则为

A.     B.     C.3     D.9

8.对于问题“已知关于x的不等式ax＋b>0的解集为(－1，＋∞)，解关于x的不等式ax－b<0”，给出一种解法：由ax＋b>0的解集为(－1，＋∞)，得a(－x)＋b>0的解集为(－∞，1)，即关于x的不等式ax－b<0的解集为(－∞，1)。思考上述解法，若关于x的不等式(a，b，c，d，m∈R)的解集为(－2，－)，则关于x的不等式的解集为

A.(－2，－)     B.(，2)     C.(－4，－)     D.(，4)

9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，记直线BC1与过A1，B，C三点的截面所成的角为θ，则cosθ＝

A.     B.     C.     D.1

10.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线交C于A，B两点，点A，B在C的准线l上的投影分别为点E，G，若，则四边形ABGE的面积为

A.     B.     C.     D.2

11.已知m>0，n>0，log2m＝log4n＝log8(4m＋3n)，下列结论正确的是

A.n＝2m     B.     C.＝2     D.log3m－2log9n＝2log32

12，已知函数f(x)＝，若f(x)≥|x－t|恒成立，则实数t的取值范围为

A.[，＋∞)     B.[5－2ln2，＋∞)     C.[，4－2ln2]     D.[，5－2ln2]

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13.已知非零向量a，b的夹角为90°，|3a－b|＝6，|a|＝1，则|b|＝          。

14.若x，y满足约束条件，则z＝x－2y的最小值为          。

15.琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅。为弘扬中国传统文化，某校在周日学生业余兴趣活动中开展了“八雅”知识讲座。若安排“八雅”中的“六雅”知识讲座，每雅安排一节，连排六节，并要求若“诗”与“花”都选中时不相邻，则周日“六雅”讲座不同的排课方式共有           种。(用数字作答)

16.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，a2n＋1－anan＋1＝2an2；若对于任意的n∈N*，不等式λ(Sn＋1)≥6an＋16(n－3)恒成立，则实数λ的最小值为          。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足。

(1)求cosA；

(2)若a＝3，求b＋c的最大值。

18.(本小题满分12分)

如图，在五边形ABCFD中，AF // BC，AD＝ DF，AF＝2BC＝2CF，CF⊥AF，点E为AF的中点。现将△ADF沿AF折起，使得点D到达点P的位置，且使得平面PAF⊥平面ABCF。点H是棱PC的中点，PF∩平面BEH＝G。

(1)求证：GH// BE；

(2)若EP＝AE，求平面PAF与平面ABH所成的锐二面角的余弦值。

19.(本小题满分12分)

新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验。根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力。通过检测，用x表示注射疫苗后的天数，y表示人体中抗体含量水平(单位：miu/mL，即：百万国际单位/毫升)，现测得某志愿者的相关数据如下表所示：

根据以上数据，绘制了散点图。

(1)根据散点图判断，y＝c·edx与y＝a＋bx(a，b，c，d均为大于零的常数)哪一个更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果求出y关于x的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值；

(3)从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取4天的数据作进一步的分析，记其中的y值大于50的天数为X，求X的分布列与数学期望。

参考数据：

其中ω＝lny。

参考公式：用最小二乘法求经过点(u1，v1)，(u2，v2)，(u3，v3)，…，(ui，vi)的线性回归方程的系数公式。

20.(本小题满分12分)

已知点M为圆O：x2＋y2＝1上的一个动点，点M在x轴、y轴上的射影分别是M1，M2，且。

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)斜率存在且不为零的直线l经过点F(－1，0)且交曲线C于A，B两点，点D为AB的中点，过点F且与AB垂直的直线为l1， l2与直线OD交于点E，试判断点E是否在定直线上，若在，求出此定直线；若不在，请说明理由。

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝aln(x＋1)－x＋2(a>0)。

(1)讨论f(x)的单调性并求f(x)的极值；

(2)证明：(1＋)(1＋)…(1＋)<e(n∈N*)，其中e为自然对数的底数。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是(φ为参数)。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρcosθ＋ρsinθ＝4。

(1)求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；

(2)若A(ρ1，α)是曲线C上一点，B(ρ2，α＋)是直线l上一点，求的最大值。

23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x－1|。

(1)求不等式f(x)＋f(2x＋2)>3的解集M；

(2)设a，b∈M，求证：。