全国卷Ⅲ衡水金卷2021年高三先享题信息卷（五）数学（理）（含答案）

（全国卷Ⅲ，衡水金卷）2021年高三先享题信息卷（五）

理科数学

本试卷共4页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡，上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z满足z＝i3(1＋i2021)，则|z|为：

A.2     B.     C.1     D.

2.已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，A＝{－1，0，1)，B＝{－1，3}，对应的Venn图如图所示，则图中阴影部分表示的集合为

A.{－2，0，1，2，3，4}     B.{－1，0，1，3}     C.{－2，2，4}     D.

3.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC中，D为BC边中点，点E满足，若＝(2，5)，＝(1，3)，则＝

A.(0.－)     B.(1，2)     C.(2，)     D.(2，)

4.乒乓球男女混合双打比赛是由比赛双方在比赛之前分别确定参赛的两名队员而进行的一种比赛，某队现有3名男队员(含甲)，2名女队员(含乙)，在甲队员确定参加混双比赛的情况下，乙队员也被确定与甲队员一同出场的概率为

A.     B.     C.     D.

5.定义在R上的图象不间断的奇函数f(x)，满足以下条件：①当x∈(0，1)时，f'(x)<0，当x∈(1，2)时，f'(x)>0；②f(x＋4)＝f(x)，则当x∈(4，8)时，f(x)>0的解集为

A.(3，5)     B.(4，6)     C.(5，7)     D.(6，8)

6.古代名著中的《营造法式》集中了当时的建筑设计与施工经验，对后世影响深远，右图为《营造法式》中的殿堂大木制作示意图，其中某处木件嵌入处部分的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A.＋     B.2＋     C.3＋     D.5＋

7.已知数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an－an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，则a1＋a2＋…＋a16＝

A.－4     B.－2     C.2     D.4

8.已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的最小正周期大于，且关于直线x＝对称，则ω的值为

A.1     B.2     C.3     D.4

9.已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F的直线交抛物线C于A、B两点，准线l上有点M(－1，1)，∠AMB＝90°，则kAB＝

A.2     B.     C.±2     D.±

10.如图，正△ABC的边长为2，点D为边AB的中点，点P沿着边AC，CB运动到点B，记∠ADP＝x。函数f(x)＝|PB|2－|PA|2，则y＝f(x)的图象大致为

11.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，△PF1F2的内切圆的圆心为C，，则双曲线的离心率为

A.     B.     C.     D.

12.当x∈(1，＋∞)时，不等式ln(x－1)－2ax＋3b≤0(a，b∈R，a≠0)恒成立，则的最大值为

A.     B.2     C.     D.2e

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13.今年第6号台风“米克拉”于8月10日正面登陆福建，影响波及面较大，为做好民众的安全防护工作，当地政府及有关部门做了大量的宣传及预防工作，事后某自由媒体从A、B、C三个社区按社区人数之比4：4：3，采用分层抽样的方法抽取n位居民进行问卷检测，了解其对突发事件的防护等安全知识的掌握情况。若A社区抽取了20位居民，则n的值是            。

14.已知正项等比数列{an}中，a4＝8，a6＝32，若a2，a4为等差数列{bn}的前两项，则数列{bn}的前20项的和为            。

15.某企业的A、B、C、D四个科研小组的一次竞赛活动，分别在编号为1，2，3，4的四个实验场地进行，为确定各自的实验场地，每个小组长抽取一个场地号，现他们的回答如下：A组长说：我们的场地编号不在头与尾；B组长说：我们场地编号不在中间；C组长说：我们组场地不在奇数号；D组长说：我们组的场地编号不会大于2。根据以上四位组长的回答，A、B、C、D四个科研小组的比赛场地的编号有        种。

16.如图所示的三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，BC＝BD＝2，BC⊥BD，BA＝CD，P，Q分别是棱AB与棱CD上的动点，且BP＝CQ，过点Q作QM//BD，则三棱锥P－BMQ的体积的最大值为            。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)

如图平面四边形ABCD中，∠BAD＝60°，BD＝，cos∠ABD＝。

(1)求AB的长；

(2)若∠BAD＋∠BCD＝180°，BC＝1，求四边形ABCD的面积。

18.(本小题满分12分)

如图所示的多面体ABCQP中，PA＝PB＝BC＝CA＝2，∠APB＝60°，平面PAB⊥平面ABC，CQ⊥平面ABC。

(1)求证：平面ABQ⊥平面PQC；

(2)若CQ的长度为，求二面角A－PQ－B的余弦值。

19.(本小题满分12分)

已知椭圆C：的，上顶点在圆E：x2－2x＋y2－1＝0上，且椭圆的离心率为。

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的右焦点为F，过F的直线l交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积为1时，求直线l的方程。

20.(本小题满分12分)

以下图表是20个省会城市的海拔高度(米)与当地人平均寿命(岁)之间的对应图表：

(1)填充下表，并计算有没有95%的把握认为“平均寿命超过78.5岁与海拔低于500米有关”；

(2)现在要从海拔高度低于500米的城市中随机抽取三个城市进行老龄化问题的研究。

①若X表示“抽到的平均寿命超过78.5岁的城市的个数”，写出X的分布列，并求E(X)；

②某退休职工准备从郑州、长沙、沈阳三地选择一个城市养老，选择的依据是：综合考虑当地平均寿命和房价均值的因素。其中S＝叫做宜居指数(m为当地平均寿命)，宜居指数越大，该城市越宜居。已知郑州、长沙、沈阳三市的房价均值分别为12160、8760、9698(单位：元/平方米)，则应该选择哪个城市最佳？

参考公式：，n＝a＋b＋c＋d。

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝(a∈R)。

(1)当a＝1时，证明：函数f(x)的导函数f'(x)存在唯一的零点；

(2)若不等式f(x)≥恒成立，求实数a的取值范围。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，圆O1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆O2的极坐标方程为ρ＝2sinθ。

(1)将圆O1的参数方程化为普通方程，圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设圆O1与x轴的正半轴的交点为A，点P在圆O1与圆O2公共弦所在的直线上，求|PA|＋|PO1|的最小值。

23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x－2|＋|x－a|。

(1)若不等式f(x)≤x－1的解集为[2，4]，求实数a的值；

(2)若a>2，f(x)的最小值为1，且m>0，n>0，＝a，求2m＋n的最小值。