上海市嘉定区2022-2023学年高一数学下学期3月调研试题（Word版附解析）

嘉定区高一调研数学试卷

2023.03

一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）

1. 已知集合，，则______.

【答案】##

【解析】

【分析】利用交集的定义可求得集合.

【详解】因为集合，，则.

故答案为：.

2. 若，则_______________．

【答案】

【解析】

【分析】利用指数对数互化式即可求出答案.

【详解】因为，所以.

故答案为：

【点睛】本题主要考查指数的定义，熟练掌握指数对数互化式为解题的关键，属于简单题.

3. 当时，化简______.

【答案】

【解析】

【分析】利用根式的性质化简可得结果.

【详解】因为，则.

故答案为：.

4. 不等式的解集为______.

【答案】

【解析】

【分析】利用指数函数的单调性解原不等式，即可得解.

【详解】因为函数为上的增函数，由可得，

故原不等式的解集为.

故答案为：.

5. 若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为___________.

【答案】##

【解析】

【分析】由幂函数所过点求参数a，即可得函数表达式.

【详解】由题设，，可得，

∴幂函数表达式为.

故答案为：.

6. 用反证法证明命题“已知x、，且，求证：或”时，应首先假设“______”.

【答案】且

【解析】

【分析】根据反证法的原理可知.

【详解】根据反证法的原理可知，求证或时，应首先假设且.

故答案为：且

7. 已知常数，，假设无论为何值，函数的图象恒经过一个定点，则这个定点的坐标是______．

【答案】

【解析】

【分析】利用对数函数性质可知，令即可求出的图象恒过的定点的坐标.

【详解】因为的图象必过，即，当，即时，，

从而图象必过定点.

故答案为：.

8. 若时，指数函数的值总大于1，则实数a的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】根据已知条件能够判断出原指数函数为增函数，所以底数大于1，这样即可求出a的范围．

【详解】时， ，∴该指数函数应为增函数；

则有，解得，

∴实数a的范围为．

故答案为∶．

9. 若是奇函数，当时，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题设条件，利用，即可求解.

【详解】由题意，函数是奇函数，当时，

所以.

故答案为：.

10. 已知，方程的解集为______.

【答案】

【解析】

【分析】分、、三种情况讨论，去绝对值符号，解原方程即可.

【详解】当时，则；

当时，则；

当时，则.

综上所述，原方程的解集为.

故答案为：.

11. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】分别求出原函数在、上的值域，根据两段值域的并集为可得出关于实数的不等式，解之即可.

【详解】当时，；

当时，.

因为原函数的值域为，即，

则，解得.

故答案为：.

12. 设，，若存在唯一的，使得关于的不等式组有解，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】由推导出，解不等式，可得出，再有，所以，即可得出，即得，根据整数的唯一性可求得实数的取值范围.

【详解】因为，所以，即.

因为，所以，于是，解得.

又因为，所以，因此，即.

令函数，其中，

因为存在唯一的整数满足题意，则有，

即，解得.

故答案为：.

二、选择题（本大题共4题，满分20分）

13. 已知、，且，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由不等式的基本性质可判断A选项；取，，可判断BCD选项.

【详解】对于A选项，因为，由不等式的基本性质可得，A对；

对于B选项，取，，则，B错；

对于C选项，取，，则，C错；

对于D选项，取，，则，D错.

故选：A.

14. 若与互为相反数，则（    ）

A.  B.  C.  D. 以上答案均不对

【答案】C

【解析】

【分析】利用对数运算的基本性质可得出结论.

【详解】因为与互为相反数，则，因此，.

故选：C

15. 若命题：“存在整数使不等式成立”是假命题，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】分析可知“对任意的整数，恒成立”是真命题，对实数的取值进行分类讨论，解不等式，结合已知条件可得出关于的等式或不等式，综合可求得实数的取值范围.

【详解】“存在整数使不等式成立”是假命题，

则“对任意的整数，恒成立”是真命题，

当时，则对任意的整数恒成立，不合乎题意；

当且时，原不等式化为.

因为，则不等式的解集为或，

所以，，即，解得且；

当时，则有对任意的整数恒成立，合乎题意；

当时，，不等式的解集为，不合乎题意.

综上所述，实数的取值范围是.

故选：B.

16. 对于定义在上的函数，考查以下陈述句：

：是上的严格增函数；

：任意， ，且当时，都有；

：当时，都有 ；

关于以上陈述句，下列判断正确的是（ ）

A. 、都是的充分条件 B. 、中仅是 的充分条件

C. 、中仅是 的充分条件 D. 、都不是的充分条件

【答案】B

【解析】

【分析】

对于，首先利用赋值法求出函数为奇函数，再利用函数的单调性定义即可判断；对于，由增函数的定义中自变量具有任意性，从而可判断.

【详解】对于，令，则，解得，

令，，则，

所以，所以函数奇函数，

设，则，

因为，所以，

所以，

所以函数是上的增函数，

故是的充分条件.

对于，当时存在情况，不符合严格单调性的定义，

故不是的充分条件.

故选：B

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

17. 设集合，.

（1）若，试用区间表示集合、，并求；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1），，   

（2）.

【解析】

【分析】（1）当时，解出集合、，利用并集的定义可求得集合；

（2）求出集合，根据可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.

【小问1详解】

解：当时，由得，解得，所以

由得，则有，解得，所以.

因此.

【小问2详解】

解：由得，解得，所以.

由（1）得，由于，所以，解得.

所以实数的取值范围是.

18. 已知是实数.

（1）求证：，并指出等号成立的条件；

（2）若，求的最小值.

【答案】（1）证明见解析，当且仅当，时，不等式等号成立   

（2）4

【解析】

【分析】（1）作差法证明即可；

（2）构造基本不等式，利用基本不等式解决即可.

【小问1详解】

证明：因为

，

所以，

当且仅当，时，不等式中等号成立.

【小问2详解】

，

当且仅当，即或时，不等式中等号成立.

所以的最小值为4.

19. 2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆车售价800万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.

（1）求出2023年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：百辆）的函数关系；（利润＝销售额－成本）

（2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

【答案】（1）   

（2）当2023年的年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1600万元.

【解析】

【分析】（1）由题意得，当年产量为百辆时，全年销售额为万元，分，两种情况即可；

（2）利用二次函数的性质及基本不等式求最值进行分析即可.

【小问1详解】

由题意得，当年产量为百辆时，全年销售额为万元，

则，

当时，

，

当时，

，

所以所求函数关系为：.

【小问2详解】

当时，，则，

当且仅当时，不等式中等号成立；

当时，

，即.

当且仅当，即时，不等式中等号成立.

因为，

所以当时，即当2023年的年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1600万元.

20. 已知函数的表达式为，其中、为实数.

（1）若不等式的解集是，求的值；

（2）若方程有一个根为，且、为正数，求的最小值；

（3）若函数在区间上是严格减函数，试确定实数的取值范围，并证明你的结论.

【答案】（1）   

（2）   

（3），证明见解析

【解析】

【分析】（1）分析可知关于的方程的两根分别为、，根据韦达定理可求得、的值，即可求得的值；

（2）由可得出，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值；

（3）令，任取、且，作差，由函数单调性的定义可得出，可得出，求出的取值范围，即可求得实数的取值范围.

【小问1详解】

解：因为不等式的解集是，

所以，关于的方程的两根分别为、，

所以，，解得，，因此，.

【小问2详解】

解：由题意可得，，

又因为、均为正数，则，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为.

【小问3详解】

解：因为，

令，其中，由题意可知，函数在上为减函数，

任取、且，则，且，

所以，

，

所以，，可得，

而，则，.

因此，当函数函数在区间上是严格减函数，.

21. 已知定义域为的函数，若存在实数，使得对任意，都存在满足，则称函数具有性质.

（1）判断函数是否具有性质，说明理由；

（2）若函数的定义域为D，且具有性质，求证：“函数存在零点”是“”的一个必要不充分条件；

（3）若存在唯一的实数a，使得函数，具有性质，求实数t的值.

【答案】（1）不具有，理由见解析   

（2）证明见解析    （3）或

【解析】

【分析】（1）根据新定义证明即可；

（2）由定义结合必要不充分条件证明即可；

（3）由唯一，则函数的定义域与值域关于对称，因为，值域为，则，然后对进行分类讨论即可.

【小问1详解】

指数函数不具有性质.

理由如下：指数函数的定义域为，

对于，，

因为，，

所以不存在满足，

因此函数不具有性质.

【小问2详解】

因为，由于函数具有性质，

取，则存在，使得，

所以，

因此函数存在零点.

即“函数存在零点”是“”的必要条件.

若函数存在零点，

设，，则，

因为对于任意，则，则，

且满足，

所以函数具有性质，但，

因此“函数存在零点”不是“”的充分条件.

“函数存在零点”是“”的一个必要不充分条件；

【小问3详解】

由唯一，则函数的定义域与值域关于对称，

因为，值域为，则，

i：当时，的值域为，此时不满足题意；

ii：当时，的对称轴为，

开口向上且，

值域为：，此时，

所以不满足题意，

iii：当时，对称轴为，

开口向下，

①当即时，

且，

解得或（舍去），

②当即时，

且，

不满足题意；

③当即时，

且，满足题意；

综上所述：或.

【点睛】思路点睛：

对新定义的题型要注意一下几点：

（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点

（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件

（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.