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江苏省南通市2020年中考数学试卷
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这是一份江苏省南通市2020年中考数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省南通市2020年中考数学试卷
一、选择题（共10题；共20分）
1.计算|﹣1|﹣3，结果正确的是（ ）
A. ﹣4 B. ﹣3 C. ﹣2 D. ﹣1
2.今年6月13日是我国第四个文化和自然遗产日.目前我国世界遗产总数居世界首位，其中自然遗产总面积约68000km2.将68000用科学记数法表示为（ ）
A. 6.8×104 B. 6.8×105 C. 0.68×105 D. 0.68×106
3.下列运算，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）
A. 36° B. 34° C. 32° D. 30°
6.一组数据2，4，6，x，3，9的众数是3，则这组数据的中位数是（ ）
A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5
7.下列条件中，能判定▱ABCD是菱形的是（ ）
A. AC＝BD B. AB⊥BC C. AD＝BD D. AC⊥BD
8.如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（ ）
A. 48πcm2 B. 24πcm2 C. 12πcm2 D. 9πcm2
9.如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s.现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（ ）
A. 96cm2 B. 84cm2 C. 72cm2 D. 56cm2
10.如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）
A. B. 2 C. 2 D. 3
二、填空题（共8题；共8分）
11.分解因式：xy﹣2y2＝________.
12.已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为________cm.
13.若m＜2 ＜m+1，且m为整数，则m＝________.
14.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上.设△ABC的周长为C1 ， △DEF的周长为C2 ， 则 的值等于________.
15. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步.若设长为x步，则可列方程为________.
16.如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为________m.（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
17.若x1 ， x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于________.
18.将双曲线y＝ 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）＝________.
三、解答题（共8题；共86分）
19.计算：
（1）（2m+3n）2﹣（2m+n）（2m﹣n）；
（2）
20.如图
（1）如图①，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C.求证：AB＝AC.
（2）如图②，A为⊙O上一点，按以下步骤作图：
①连接OA；
②以点A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B；
③在射线OB上截取BC＝OA；
④连接AC.
若AC＝3，求⊙O的半径.
21.如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B.
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标.
22.为了解全校学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，某初级中学的两个兴趣小组分别抽样调查了100名学生.为方便制作统计图表，对“垃圾分类”知识的掌握情况分成四个等级：A表示“优秀”，B表示“良好”，C表示“合格”，D表示“不合格”.第一小组认为，八年级学生对“垃圾分类”知识的掌握不如九年级学生，但好于七年级学生，所以他们随机调查了100名八年级学生.
第二小组随机调查了全校三个年级中的100名学生，但只收集到90名学生的有效问卷调查表.
两个小组的调查结果如图的图表所示：
第二小组统计表
等级
人数
百分比
A
17
18.9%
B
38
42.2%
C
28
31.1%
D
7
7.8%
合计
90
100%
若该校共有1000名学生，试根据以上信息解答下列问题：
（1）第________小组的调查结果比较合理，用这个结果估计该校学生对“垃圾分类”知识掌握情况达到合格以上（含合格）的共约________人；
（2）对这两个小组的调查统计方法各提一条改进建议.
23.某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机.张先生和李先生乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求.
请用所学概率知识解决下列问题：
（1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果；
（2）两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由.
24.矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12.将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE.
（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求 的值；
（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长.
25.已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1.关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；
（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2 ， 求n的取值范围.
26.（了解概念）
有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线.
（1）（理解运用）
如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC.若AC＝AB，求sin∠CAD的值；
（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形.证明你的结论；
（3）（拓展提升）
在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC.设 ＝u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式.
答案解析部分
一、选择题
1.【答案】 C
【解析】【解答】解：原式＝1﹣3＝﹣2.
故答案为：C.
【分析】首先应根据负数的绝对值是它的相反数，求得|-1|=1，再根据有理数的减法法则进行计算.
2.【答案】 A
【解析】【解答】解：68000＝6.8×104.
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.
3.【答案】 D
【解析】【解答】解：A. 与 不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B.3与 不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
C. ，此选项错误；
D. ，此选项计算正确.
故答案为：D.
【分析】（1）由同类二次根式的定义可知与不是同类二次根式，所以不能合并；
（2）同理可知不能合并；
（3）由二次根式的除法法则可得原式=；
（4）由二次根式的乘法法则可得原式=.
4.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，∵点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，
得点Q所在的象限为第二象限.
故答案为：B.
【分析】根据旋转的性质，以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，即可得到点Q所在的象限.
5.【答案】 A
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示.
∵EF∥AB，
∴∠AEF＝∠A＝54°，
∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°.
又∵EF∥CD，
∴∠C＝∠CEF＝36°.
故答案为：A.
【分析】过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由EF∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠AEF的度数，结合∠CEF=∠AEF-∠AEC可得出∠CEF的度数，由EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠C的度数.
6.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵这组数据2，4，6，x，3，9的众数是3，
∴x＝3，
从小到大排列此数据为：2，3，3，4，6，9，
处于中间位置的两个数是3，4，
∴这组数据的中位数是（3+4）÷2＝3.5.
故答案为：B.
【分析】根据众数求出 的值，将这组数据按从小到大排列，找出排最中间位置的两个数的平均数即可.
7.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；
故答案为：D.
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知，当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形.
8.【答案】 B
【解析】【解答】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，
所以这个几何体的侧面积＝ ×π×6×8＝24π（cm2）.
故答案为：B.
【分析】先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积.
9.【答案】 B
【解析】【解答】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，
过点E作EH⊥BC，
由三角形面积公式得：y＝ ，
解得EH＝AB＝6，
由图2可知当x＝14时，点Q与点C重合，
∴BC＝14，
∴矩形的面积为14×6＝84.
故答案为：B.
【分析】过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式求出EH=AB=6，由图2可知当x=14时，点P与点D重合，则AD=12，可得出答案.
10.【答案】 A
【解析】【解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝ ，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝ ，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为 ，
综上所述，AE+BF的最大值为 .
故答案为：A.
【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可.
二、填空题
11.【答案】 y（x﹣2y）
【解析】【解答】解：xy﹣2y2＝y（x﹣2y），
故答案为：y（x﹣2y）.
【分析】观察代数式可知每一项都有公因式y，所以提公因式y即可得原式=y(x-2y).
12.【答案】 12
【解析】【解答】解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，
则AC＝BC＝ AB＝5，
在Rt△OAC中，OC＝ ＝12，
所以圆心O到AB的距离为12cm.
故答案为：12.
【分析】如图，作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理得到AC=BC= AB=5，然后利用勾股定理计算OC的长即可.
13.【答案】 5
【解析】【解答】解： ，
∵ ，
∴5＜ ＜6，
又∵m＜ ＜m+1，
∴m＝5，
故答案为：5.
【分析】利用二次根式的估值方法进行计算即可.
14.【答案】
【解析】【解答】解：∵ ，
，
，
∴ ，
∴△ABC∽△DEF，
∴ ，
故答案为： .
【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可.
15.【答案】 x（x﹣12）＝864
【解析】【解答】解：∵长为x步，宽比长少12步，∴宽为（x﹣12）步.
依题意，得：x（x﹣12）＝864.
【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
16.【答案】 7.5
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，
则DE＝BC＝5，DC＝BE＝1.5，
在Rt△ADE中，
∵tan∠ADE＝ ，
∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），
∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（米），
故答案为：7.5.
【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为点E，根据正切进行求解即可.
17.【答案】 2028
【解析】【解答】解：∵x1 ， x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2020+2×4
＝2020+8
＝2028，
故答案为：2028.
【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12-4x1=2020，x1+x2=4，将代数式变形为x12-4x1+2x1+2x2=x12-4x1+2（x1+x2），然后整体代入计算可得.
18.【答案】 -3
【解析】【解答】解：一次函数y＝kx﹣2﹣k（k＞0）的图象过定点P（1，﹣2），而点P（1，﹣2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，
因此将双曲线y＝ 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，在没平移前是关于原点对称的，
平移前，这两个点的坐标为为（a﹣1， ），（ ，b+2），
∴a﹣1＝﹣ ，
∴（a﹣1）（b+2）＝﹣3，
故答案为：﹣3.
【分析】由于一次函数y＝kx−2−k（k＞0）的图象过定点P（1，−2），而点P（1，−2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，因此将双曲线y＝ 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx−2−k（k＞0）相交于两点，在平移之前是关于原点对称的，表示出这两点坐标，根据中心对称两点坐标之间的关系求出答案.
三、解答题
19.【答案】 （1）解：原式＝4m2+12mn+9n2﹣（4m2﹣n2）
＝4m2+12mn+9n2﹣4m2+n2
＝12mn+10n2；
（2）解：原式＝
＝
＝
＝ .
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式，平方差公式去括号，再合并同类项即可；
（2）括号内先通分计算，将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，然后变除为乘，进行约分即可.
20.【答案】 （1）证明：在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC；
（2）解：连接AB，如图②，
由作法得OA＝OB＝AB＝BC，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝60°，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠BAC，
∵∠OBA＝∠C+∠BAC，
∴∠C＝∠BAC＝30°
∴∠OAC＝90°，
在Rt△OAC中，OA＝ AC＝ ×3＝ .
即⊙O的半径为 .
【解析】【分析】（1）根据“AAS“证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的对应边相等得到结论；
（2）连接AB，如图②,由作法得OA=OB=AB=BC,先判断△OAB为等边三角形得到∠OAB=∠OBA=60°，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠C=∠BAC=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求OA的长.
21.【答案】 （1）解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
把x＝1代入y＝x+3得y＝4，
∴C（1，4），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得 ，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）解：AB＝3﹣（﹣3）＝6，
设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），
MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，
解得a＝3或a＝﹣1，
∴M（3，6）或（﹣1，2）.
【解析】【分析】（1）根据直线与x轴交点的坐标特点求出点B的坐标，把点C的坐标代入y＝x＋3，求出m的值，得出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式；
（2）由已知条件得出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标.
22.【答案】 （1）二；922
（2）解：第一小组，仅仅调查八年级学生情况，不能代表全校的学生对垃圾处理知识的掌握情况，应从全校范围内抽查学生进行调查.；
对于第二小组要把问卷收集齐全，并尽量从多个角度进行抽样，确保抽样的代表性、普遍性和可操作性.
【解析】【解答】解：（1）根据抽样调查的样本要具有代表性，因此第二小组的调查结果比较合理；
1000×（1﹣7.8%）＝1000×0.922＝922（人），
故答案为：二，922；
【分析】（1）根据样本要具有代表性可知第二小组的调查结果比较合理；用这个结果估计总体，1000人的（1-7.8%）就是“合格及以上”的人数；
（2）从抽样的代表性、普遍性和可操作性方面提出意见和建议.
23.【答案】 （1）解：甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲；共6种；
（2）解：由（1）可知张先生坐到甲车有两种可能，乙、丙、甲，丙、乙、甲，
则张先生坐到甲车的概率是 ；
由（1）可知李先生坐到甲车有两种可能，甲、乙、丙，甲、丙、乙，
则李先生坐到甲车的概率是 ；
所以两人坐到甲车的可能性一样.
【解析】【分析】（1）假定甲车先出发，乙车后出发，丙车最后出发，用简单的列举法可列举出三辆车按先后顺序出发的所有等可能的结果数；
（2）分别求出两人坐到甲车的概率，然后进行比较即可得出答案.
24.【答案】 （1）解：如图①中，取DE的中点M，连接PM.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠C＝90°，
由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，
在Rt△EPD中，∵EM＝MD，
∴PM＝EM＝DM，
∴∠3＝∠MPD，
∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，
∵∠ADP＝2∠3，
∴∠1＝∠ADP，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠DPC，
∴∠1＝∠DPC，
∵∠MOP＝∠C＝90°，
∴△POM∽△DCP，
∴ ，
∴ .
（2）解：如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H.则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x
∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，
∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，
∴∠EPG＝∠PDH，
∴△EGP∽△PHD，
∴ ，
∴PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，
在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2 ，
∴（3x）2+（4+x）2＝122 ，
解得：x＝ （负值已经舍弃），
∴BG＝4﹣ ＝ ，
在Rt△EGP中，GP＝ ，
∵GH∥BC，
∴△EGP∽△EBF，
∴ ，
∴ ，
∴BF＝3.
【解析】【分析】（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM.证明△POM∽△DCP，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H.设EG=x，则BG=4-x.证明△EGP∽△PHD，推出 ,推出PG=2EG=3x,DH=AG=4+x,在Rt△PHD中，由PH2+DH2=PD2 ， 可得（3x）2+（4+x）2=122 ， 求出x，再证明△EGP∽△EBF，利用相似三角形的性质求解即可.
25.【答案】 （1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），
∴0＝4a+2b+c①，
∵对称轴是直线x＝1，
∴ ②，
∵关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，
∴△＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，
由①②③可得： ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+x；
（2）解：∵n＜﹣5，
∴3n﹣4＜﹣19，5n+6＜﹣19
∴点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，
∵抛物线y＝﹣ x2+x，
∴﹣ ＜0，即在对称轴的左侧y随x的增大而增大，
∵（3n﹣4）﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＝﹣2（n+5）＞0，
∴3n﹣4＞5n+6，
∴y1＞y2；
（3）解：若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点C在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得 ，
∴0＜n＜ ，
若点C在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得： ，
∴不等式组无解，
综上所述：0＜n＜ .
【解析】【分析】（1）由题意可得0=4a+2b+c①， ②，△=（b-1）2-4ac=0③，联立方程组可求a，b，c，可求解析式；
（2）由n＜-5，可得点B，点C在对称轴直线x=1的左侧，由二次函数的性质可求解；
（3）分两种情况讨论，列出不等式组可求解.
26.【答案】 （1）解：过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥AD于F.
∵AC＝AB，
∴BE＝CE＝3，
在Rt△AEB中，AE＝ ，
∵CF⊥AD，
∴∠D+∠FCD＝90°，
∵∠B+∠D＝90°，
∴∠B＝∠DCF，
∵∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△AEB∽△DFC，
∴ ，
∴ ，
∴CF＝ ，
∴sin∠CAD＝ .
（2）解：如图②中，结论：四边形ABCD是对余四边形.
理由：过点D作DM⊥DC，使得DM＝DC，连接CM.
∵四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，
∴∠DAB＝∠DBA＝45°，
∵∠DCM＝∠DMC＝45°，
∵∠CDM＝∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝∠BDM，
∵AD＝DB，CD＝DM，
∴△ADC≌△BDM（SAS），
∴AC＝BM，
∵2CD2+CB2＝CA2 ， CM2＝DM2+CD2＝2CD2 ，
∴CM2+CB2＝BM2 ，
∴∠BCM＝90°，
∴∠DCB＝45°，
∴∠DAB+∠DCB＝90°，
∴四边形ABCD是对余四边形.
（3）解：如图③中，过点D作DH⊥x轴于H.
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），
∴OA＝1，OB＝3，AB＝4，AC＝BC＝ ，
∴AC2+BC2＝AB2 ，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵四边形ABCD是对余四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝90°，
∴∠ADC＝45°，
∵∠AEC＝90°+∠ABC＝135°，
∴∠ADC+∠AEC＝180°，
∴A，D，C，E四点共圆，
∴∠ACE＝∠ADE，
∵∠CAE+∠ACE＝∠CAE+∠EAB＝45°，
∴∠EAB＝∠ACE，
∴∠EAB＝∠ADB，
∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴ ，
∴
∴u＝ ，
设D（x，t），
由（2）可知，BD2＝2CD2+AD2 ，
∴（x﹣3）2+t2＝2[（x﹣1）2+（t﹣2）2]+（x+1）2+t2 ，
整理得（x+1）2＝4t﹣t2 ，
在Rt△ADH中，AD＝ ，
∴u＝ ＝ （0＜t＜4），
即u＝ （0＜t＜4）.
【解析】【分析】（1）先构造直角三角形，然后利用对余四边形的性质和相似三角形的性质，求出sin∠CAD的值;（2）通过构造手拉手模型，即构造等腰直角三角形，通过证明三角形全等，利用勾股定理来证明四边形ABCD为对余四边形;
（3）过点D作DH⊥x轴于点H，先证明△ABE∽△DBA，得出u与AD的关系，设D（x，t），再利用（2）中结论，求出AD与t的关系即可解决问题.
江苏省南通市2020年中考数学试卷
一、选择题（共10题；共20分）
1.计算|﹣1|﹣3，结果正确的是（ ）
A. ﹣4 B. ﹣3 C. ﹣2 D. ﹣1
2.今年6月13日是我国第四个文化和自然遗产日.目前我国世界遗产总数居世界首位，其中自然遗产总面积约68000km2.将68000用科学记数法表示为（ ）
A. 6.8×104 B. 6.8×105 C. 0.68×105 D. 0.68×106
3.下列运算，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）
A. 36° B. 34° C. 32° D. 30°
6.一组数据2，4，6，x，3，9的众数是3，则这组数据的中位数是（ ）
A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5
7.下列条件中，能判定▱ABCD是菱形的是（ ）
A. AC＝BD B. AB⊥BC C. AD＝BD D. AC⊥BD
8.如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（ ）
A. 48πcm2 B. 24πcm2 C. 12πcm2 D. 9πcm2
9.如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s.现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（ ）
A. 96cm2 B. 84cm2 C. 72cm2 D. 56cm2
10.如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）
A. B. 2 C. 2 D. 3
二、填空题（共8题；共8分）
11.分解因式：xy﹣2y2＝________.
12.已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为________cm.
13.若m＜2 ＜m+1，且m为整数，则m＝________.
14.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上.设△ABC的周长为C1 ， △DEF的周长为C2 ， 则 的值等于________.
15. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步.若设长为x步，则可列方程为________.
16.如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为________m.（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
17.若x1 ， x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于________.
18.将双曲线y＝ 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）＝________.
三、解答题（共8题；共86分）
19.计算：
（1）（2m+3n）2﹣（2m+n）（2m﹣n）；
（2）
20.如图
（1）如图①，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C.求证：AB＝AC.
（2）如图②，A为⊙O上一点，按以下步骤作图：
①连接OA；
②以点A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B；
③在射线OB上截取BC＝OA；
④连接AC.
若AC＝3，求⊙O的半径.
21.如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B.
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标.
22.为了解全校学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，某初级中学的两个兴趣小组分别抽样调查了100名学生.为方便制作统计图表，对“垃圾分类”知识的掌握情况分成四个等级：A表示“优秀”，B表示“良好”，C表示“合格”，D表示“不合格”.第一小组认为，八年级学生对“垃圾分类”知识的掌握不如九年级学生，但好于七年级学生，所以他们随机调查了100名八年级学生.
第二小组随机调查了全校三个年级中的100名学生，但只收集到90名学生的有效问卷调查表.
两个小组的调查结果如图的图表所示：
第二小组统计表
等级
人数
百分比
A
17
18.9%
B
38
42.2%
C
28
31.1%
D
7
7.8%
合计
90
100%
若该校共有1000名学生，试根据以上信息解答下列问题：
（1）第________小组的调查结果比较合理，用这个结果估计该校学生对“垃圾分类”知识掌握情况达到合格以上（含合格）的共约________人；
（2）对这两个小组的调查统计方法各提一条改进建议.
23.某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机.张先生和李先生乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求.
请用所学概率知识解决下列问题：
（1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果；
（2）两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由.
24.矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12.将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE.
（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求 的值；
（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长.
25.已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1.关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；
（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2 ， 求n的取值范围.
26.（了解概念）
有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线.
（1）（理解运用）
如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC.若AC＝AB，求sin∠CAD的值；
（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形.证明你的结论；
（3）（拓展提升）
在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC.设 ＝u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式.
答案解析部分
一、选择题
1.【答案】 C
【解析】【解答】解：原式＝1﹣3＝﹣2.
故答案为：C.
【分析】首先应根据负数的绝对值是它的相反数，求得|-1|=1，再根据有理数的减法法则进行计算.
2.【答案】 A
【解析】【解答】解：68000＝6.8×104.
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.
3.【答案】 D
【解析】【解答】解：A. 与 不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B.3与 不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
C. ，此选项错误；
D. ，此选项计算正确.
故答案为：D.
【分析】（1）由同类二次根式的定义可知与不是同类二次根式，所以不能合并；
（2）同理可知不能合并；
（3）由二次根式的除法法则可得原式=；
（4）由二次根式的乘法法则可得原式=.
4.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，∵点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，
得点Q所在的象限为第二象限.
故答案为：B.
【分析】根据旋转的性质，以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，即可得到点Q所在的象限.
5.【答案】 A
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示.
∵EF∥AB，
∴∠AEF＝∠A＝54°，
∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°.
又∵EF∥CD，
∴∠C＝∠CEF＝36°.
故答案为：A.
【分析】过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由EF∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠AEF的度数，结合∠CEF=∠AEF-∠AEC可得出∠CEF的度数，由EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠C的度数.
6.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵这组数据2，4，6，x，3，9的众数是3，
∴x＝3，
从小到大排列此数据为：2，3，3，4，6，9，
处于中间位置的两个数是3，4，
∴这组数据的中位数是（3+4）÷2＝3.5.
故答案为：B.
【分析】根据众数求出 的值，将这组数据按从小到大排列，找出排最中间位置的两个数的平均数即可.
7.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；
故答案为：D.
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知，当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形.
8.【答案】 B
【解析】【解答】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，
所以这个几何体的侧面积＝ ×π×6×8＝24π（cm2）.
故答案为：B.
【分析】先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积.
9.【答案】 B
【解析】【解答】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，
过点E作EH⊥BC，
由三角形面积公式得：y＝ ，
解得EH＝AB＝6，
由图2可知当x＝14时，点Q与点C重合，
∴BC＝14，
∴矩形的面积为14×6＝84.
故答案为：B.
【分析】过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式求出EH=AB=6，由图2可知当x=14时，点P与点D重合，则AD=12，可得出答案.
10.【答案】 A
【解析】【解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝ ，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝ ，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为 ，
综上所述，AE+BF的最大值为 .
故答案为：A.
【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可.
二、填空题
11.【答案】 y（x﹣2y）
【解析】【解答】解：xy﹣2y2＝y（x﹣2y），
故答案为：y（x﹣2y）.
【分析】观察代数式可知每一项都有公因式y，所以提公因式y即可得原式=y(x-2y).
12.【答案】 12
【解析】【解答】解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，
则AC＝BC＝ AB＝5，
在Rt△OAC中，OC＝ ＝12，
所以圆心O到AB的距离为12cm.
故答案为：12.
【分析】如图，作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理得到AC=BC= AB=5，然后利用勾股定理计算OC的长即可.
13.【答案】 5
【解析】【解答】解： ，
∵ ，
∴5＜ ＜6，
又∵m＜ ＜m+1，
∴m＝5，
故答案为：5.
【分析】利用二次根式的估值方法进行计算即可.
14.【答案】
【解析】【解答】解：∵ ，
，
，
∴ ，
∴△ABC∽△DEF，
∴ ，
故答案为： .
【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可.
15.【答案】 x（x﹣12）＝864
【解析】【解答】解：∵长为x步，宽比长少12步，∴宽为（x﹣12）步.
依题意，得：x（x﹣12）＝864.
【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
16.【答案】 7.5
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，
则DE＝BC＝5，DC＝BE＝1.5，
在Rt△ADE中，
∵tan∠ADE＝ ，
∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），
∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（米），
故答案为：7.5.
【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为点E，根据正切进行求解即可.
17.【答案】 2028
【解析】【解答】解：∵x1 ， x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2020+2×4
＝2020+8
＝2028，
故答案为：2028.
【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12-4x1=2020，x1+x2=4，将代数式变形为x12-4x1+2x1+2x2=x12-4x1+2（x1+x2），然后整体代入计算可得.
18.【答案】 -3
【解析】【解答】解：一次函数y＝kx﹣2﹣k（k＞0）的图象过定点P（1，﹣2），而点P（1，﹣2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，
因此将双曲线y＝ 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，在没平移前是关于原点对称的，
平移前，这两个点的坐标为为（a﹣1， ），（ ，b+2），
∴a﹣1＝﹣ ，
∴（a﹣1）（b+2）＝﹣3，
故答案为：﹣3.
【分析】由于一次函数y＝kx−2−k（k＞0）的图象过定点P（1，−2），而点P（1，−2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，因此将双曲线y＝ 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx−2−k（k＞0）相交于两点，在平移之前是关于原点对称的，表示出这两点坐标，根据中心对称两点坐标之间的关系求出答案.
三、解答题
19.【答案】 （1）解：原式＝4m2+12mn+9n2﹣（4m2﹣n2）
＝4m2+12mn+9n2﹣4m2+n2
＝12mn+10n2；
（2）解：原式＝
＝
＝
＝ .
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式，平方差公式去括号，再合并同类项即可；
（2）括号内先通分计算，将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，然后变除为乘，进行约分即可.
20.【答案】 （1）证明：在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC；
（2）解：连接AB，如图②，
由作法得OA＝OB＝AB＝BC，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝60°，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠BAC，
∵∠OBA＝∠C+∠BAC，
∴∠C＝∠BAC＝30°
∴∠OAC＝90°，
在Rt△OAC中，OA＝ AC＝ ×3＝ .
即⊙O的半径为 .
【解析】【分析】（1）根据“AAS“证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的对应边相等得到结论；
（2）连接AB，如图②,由作法得OA=OB=AB=BC,先判断△OAB为等边三角形得到∠OAB=∠OBA=60°，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠C=∠BAC=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求OA的长.
21.【答案】 （1）解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
把x＝1代入y＝x+3得y＝4，
∴C（1，4），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得 ，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）解：AB＝3﹣（﹣3）＝6，
设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），
MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，
解得a＝3或a＝﹣1，
∴M（3，6）或（﹣1，2）.
【解析】【分析】（1）根据直线与x轴交点的坐标特点求出点B的坐标，把点C的坐标代入y＝x＋3，求出m的值，得出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式；
（2）由已知条件得出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标.
22.【答案】 （1）二；922
（2）解：第一小组，仅仅调查八年级学生情况，不能代表全校的学生对垃圾处理知识的掌握情况，应从全校范围内抽查学生进行调查.；
对于第二小组要把问卷收集齐全，并尽量从多个角度进行抽样，确保抽样的代表性、普遍性和可操作性.
【解析】【解答】解：（1）根据抽样调查的样本要具有代表性，因此第二小组的调查结果比较合理；
1000×（1﹣7.8%）＝1000×0.922＝922（人），
故答案为：二，922；
【分析】（1）根据样本要具有代表性可知第二小组的调查结果比较合理；用这个结果估计总体，1000人的（1-7.8%）就是“合格及以上”的人数；
（2）从抽样的代表性、普遍性和可操作性方面提出意见和建议.
23.【答案】 （1）解：甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲；共6种；
（2）解：由（1）可知张先生坐到甲车有两种可能，乙、丙、甲，丙、乙、甲，
则张先生坐到甲车的概率是 ；
由（1）可知李先生坐到甲车有两种可能，甲、乙、丙，甲、丙、乙，
则李先生坐到甲车的概率是 ；
所以两人坐到甲车的可能性一样.
【解析】【分析】（1）假定甲车先出发，乙车后出发，丙车最后出发，用简单的列举法可列举出三辆车按先后顺序出发的所有等可能的结果数；
（2）分别求出两人坐到甲车的概率，然后进行比较即可得出答案.
24.【答案】 （1）解：如图①中，取DE的中点M，连接PM.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠C＝90°，
由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，
在Rt△EPD中，∵EM＝MD，
∴PM＝EM＝DM，
∴∠3＝∠MPD，
∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，
∵∠ADP＝2∠3，
∴∠1＝∠ADP，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠DPC，
∴∠1＝∠DPC，
∵∠MOP＝∠C＝90°，
∴△POM∽△DCP，
∴ ，
∴ .
（2）解：如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H.则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x
∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，
∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，
∴∠EPG＝∠PDH，
∴△EGP∽△PHD，
∴ ，
∴PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，
在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2 ，
∴（3x）2+（4+x）2＝122 ，
解得：x＝ （负值已经舍弃），
∴BG＝4﹣ ＝ ，
在Rt△EGP中，GP＝ ，
∵GH∥BC，
∴△EGP∽△EBF，
∴ ，
∴ ，
∴BF＝3.
【解析】【分析】（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM.证明△POM∽△DCP，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H.设EG=x，则BG=4-x.证明△EGP∽△PHD，推出 ,推出PG=2EG=3x,DH=AG=4+x,在Rt△PHD中，由PH2+DH2=PD2 ， 可得（3x）2+（4+x）2=122 ， 求出x，再证明△EGP∽△EBF，利用相似三角形的性质求解即可.
25.【答案】 （1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），
∴0＝4a+2b+c①，
∵对称轴是直线x＝1，
∴ ②，
∵关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，
∴△＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，
由①②③可得： ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+x；
（2）解：∵n＜﹣5，
∴3n﹣4＜﹣19，5n+6＜﹣19
∴点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，
∵抛物线y＝﹣ x2+x，
∴﹣ ＜0，即在对称轴的左侧y随x的增大而增大，
∵（3n﹣4）﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＝﹣2（n+5）＞0，
∴3n﹣4＞5n+6，
∴y1＞y2；
（3）解：若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点C在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得 ，
∴0＜n＜ ，
若点C在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得： ，
∴不等式组无解，
综上所述：0＜n＜ .
【解析】【分析】（1）由题意可得0=4a+2b+c①， ②，△=（b-1）2-4ac=0③，联立方程组可求a，b，c，可求解析式；
（2）由n＜-5，可得点B，点C在对称轴直线x=1的左侧，由二次函数的性质可求解；
（3）分两种情况讨论，列出不等式组可求解.
26.【答案】 （1）解：过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥AD于F.
∵AC＝AB，
∴BE＝CE＝3，
在Rt△AEB中，AE＝ ，
∵CF⊥AD，
∴∠D+∠FCD＝90°，
∵∠B+∠D＝90°，
∴∠B＝∠DCF，
∵∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△AEB∽△DFC，
∴ ，
∴ ，
∴CF＝ ，
∴sin∠CAD＝ .
（2）解：如图②中，结论：四边形ABCD是对余四边形.
理由：过点D作DM⊥DC，使得DM＝DC，连接CM.
∵四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，
∴∠DAB＝∠DBA＝45°，
∵∠DCM＝∠DMC＝45°，
∵∠CDM＝∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝∠BDM，
∵AD＝DB，CD＝DM，
∴△ADC≌△BDM（SAS），
∴AC＝BM，
∵2CD2+CB2＝CA2 ， CM2＝DM2+CD2＝2CD2 ，
∴CM2+CB2＝BM2 ，
∴∠BCM＝90°，
∴∠DCB＝45°，
∴∠DAB+∠DCB＝90°，
∴四边形ABCD是对余四边形.
（3）解：如图③中，过点D作DH⊥x轴于H.
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），
∴OA＝1，OB＝3，AB＝4，AC＝BC＝ ，
∴AC2+BC2＝AB2 ，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵四边形ABCD是对余四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝90°，
∴∠ADC＝45°，
∵∠AEC＝90°+∠ABC＝135°，
∴∠ADC+∠AEC＝180°，
∴A，D，C，E四点共圆，
∴∠ACE＝∠ADE，
∵∠CAE+∠ACE＝∠CAE+∠EAB＝45°，
∴∠EAB＝∠ACE，
∴∠EAB＝∠ADB，
∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴ ，
∴
∴u＝ ，
设D（x，t），
由（2）可知，BD2＝2CD2+AD2 ，
∴（x﹣3）2+t2＝2[（x﹣1）2+（t﹣2）2]+（x+1）2+t2 ，
整理得（x+1）2＝4t﹣t2 ，
在Rt△ADH中，AD＝ ，
∴u＝ ＝ （0＜t＜4），
即u＝ （0＜t＜4）.
【解析】【分析】（1）先构造直角三角形，然后利用对余四边形的性质和相似三角形的性质，求出sin∠CAD的值;（2）通过构造手拉手模型，即构造等腰直角三角形，通过证明三角形全等，利用勾股定理来证明四边形ABCD为对余四边形;
（3）过点D作DH⊥x轴于点H，先证明△ABE∽△DBA，得出u与AD的关系，设D（x，t），再利用（2）中结论，求出AD与t的关系即可解决问题.
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